内积空间,正规矩阵与H-矩阵

1、 第三章第三章 内积空间，正规矩阵与内积空间，正规矩阵与H-矩阵矩阵定义定义： 设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为定法则对应着一个实数，这个实数称为 与与 的的内积内积，记为，记为 ，并且要求，并且要求内积满足下列运算条件：内积满足下列运算条件：VRnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 这里这里 是是 中任意向量，中任意向量， 为任意实数为任意实数,只有当只有当 时时 ，我们称带有这，我们称带

2、有这样内积的样内积的 维线性空间维线性空间 为为欧氏空间欧氏空间。例例1 在在 中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个欧氏空间。如果规定成为一个欧氏空间。如果规定, Vk0( , )0 nVnR1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 1(,)nRnR21122( ,)2nnx yx ynx y 容易验证容易验证 也是也是 上的一个内积上的一个内积,这样这样 又成为另外一个欧氏空间。又成为另外一个欧氏空间。2(,)nR例例2 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定容易验证这是容易验证这是 上

3、的一个内积，这样上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。例例3 在线性空间在线性空间 中，规定中，规定n mRnm( , )()TA Btr AB , C a bn mRn mRnR( , )( ) ( )baf gf x g x dx容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内积，这样这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。定义定义： 设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确定按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为法则对应着一个复数，这个复数称为

4、 与与 的的内积内积，记为，记为 ，并且要求内积满足下，并且要求内积满足下列运算条件：列运算条件：( , )f g , C a b , C a bVCnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 这里这里 是是 中任意向量，中任意向量， 为任意复数为任意复数,只有当只有当 时时 ，我们称带有这，我们称带有这样内积的样内积的 维线性空间维线性空间 为为酉空间酉空间。欧氏空欧氏空间与酉空间通称为间与酉空间通称为内积空间内积空间。例例1 设设 是是 维复向量空间，任取维复向量空间，任取, 0( , )0 nVVknCn1212

5、(,),( ,)nna aab bb规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个酉空间。成为一个酉空间。例例2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义连续复值函数组成的线性空间，定义1 122( ,):()Tnna ba ba b (,)nCnC , C a b , a b( , ):( ) ( )baf gf x g x dx容易验证容易验证 是是 上的一个内上的一个内积，于是积，于是 便成为一个酉空间。便成为一个酉空间。例例3 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定其中其中 表示表示 中所有元素取共轭复数后再中所

6、有元素取共轭复数后再转置，容易验证转置，容易验证 是是 上的一上的一个内积，从而个内积，从而 连同这个内积一起成为连同这个内积一起成为酉空间。酉空间。内积空间的基本性质：内积空间的基本性质：(,) , C a b , C a b2nn nC( , )()HA Btr ABHBB(,)n nCn nC1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 欧氏空间的性质：欧氏空间的性质：酉空间的性质：酉空间的性质：1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,

7、)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 定义：定义：设设 是是 维酉空间，维酉空间， 为其一组为其一组基底，对于基底，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量那么那么 与与 的内积的内积Vn iV11,nniijjijxy11,1( ,)(,)(,)nnniiiiijijiji jxyx y 令令(,),1,2,ijijgi jn 111212122212nnnnnnggggggGggg称称 为基底为基底 的的度量矩阵度量矩阵，而且，而且定义定义：设：设 ，用，用 表示以表示以 的元素的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记的共轭复数为元素组成的矩阵，记G i,( )TijijggG

8、Gn nACAA( )HTAA则称则称 为为 的的复共轭转置矩阵复共轭转置矩阵。不难验证。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：复共轭转置矩阵满足下列性质：HAA(1)()(2)()(3)()(4)()HTHHHHHHHHAAABABkAkAABB A11(5)()()(6)()(7)(8)()()kHHkHHHHAAAAAAAA定义定义：设：设 ,如果如果 ，那么称，那么称 为为Hermite矩阵；如果矩阵；如果 ，那么，那么称称 为反为反Hermite矩阵。矩阵。例例 判断下列矩阵是判断下列矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。阵。n nACHAAAHAA A4242(1)2142126123(

9、2)1291317iiiiiiiiiiiii 018(3)1048403132(4)134152155iiiiiiiiiiii 熟悉下列概念熟悉下列概念:（1） 实对称矩阵实对称矩阵（2） 反实对称矩阵反实对称矩阵（3） 欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵（4） 酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间的度量定义定义：设设 为酉（欧氏）空间，向量为酉（欧氏）空间，向量 的的长度长度定义为非负实数定义为非负实数例例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度VV( , ) 4C(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii解解： 根据上面的公式可知根据上面的公式可知

10、一般地，我们有一般地，我们有: 对于对于 中的任意向量中的任意向量其长度为其长度为5196211491630 nC12(,)na aa21niia这里这里 表示复数表示复数 的模。的模。定理定理：向量长度具有如下性质：向量长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时，时， iaia(1)000(2),kkkC(3)(4)( ,) 例例1： 在线性空间在线性空间 中，证明中，证明例例2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的任意的 ，我们有，我们有( )n nMC()()()HHHTr ABTr AATr BB ,

11、 C a b , a b( ), ( ) , f x g xC a b22( ) ( ) ( )( )( )( )( )bbbaaaf x g x d xf xd xg xd x定义定义：设设 为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量 的的夹角夹角定义为定义为于是有于是有定理定理：V, ( ,),: arccos 0,2 ,( ,)02 因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义定义：在酉空间：在酉空间 中，如果中，如果 ，则称则称 与与 正交。正交。定义定义： 长度为长度为1的向量称为单位向量，对于的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量任何一个非零的向量 ，向量，向量总是

12、单位向量，称此过程为总是单位向量，称此过程为单位化单位化。 V( ,)0 标准正交基底与标准正交基底与SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法定义定义 设设 为一组不含有零向量的向量组，为一组不含有零向量的向量组，如果如果 内的任意两个向量彼此正交，则称内的任意两个向量彼此正交，则称其为其为正交的向量组。正交的向量组。定义定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量标准的正交向量组。组。例例 在在 中向量组中向量组 i i3C12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 ,

13、3 3 3 与向量组与向量组都是标准正交向量组。都是标准正交向量组。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 定义：在定义：在 维内积空间中，由维内积空间中，由 个正交向个正交向量组成的基底称为量组成的基底称为正交基底正交基底；由；由 个标准的个标准的正交向量组成的基底称为正交向量组成的基底称为标准正交基底。标准正交基底。注意：注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。中可以发现这一问题。定理定理：向量组：向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是 向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要条为

14、标准正交向量组的充分必要条件是件是nnn i(,)0,ijij i定理定理：正交的向量组是一个线性无关的向量：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。交向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程: 设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量，利用这个线性无关的向量，利用这 个向量完个向量完全可以构造一个标准正交向量组。全可以构造一个标准正交向量组。 1(,)0ijijijij Vnr12,r r1121221

15、1111111111,rrrrrrrr 第一步第一步 正交化正交化容易验证容易验证 是一个正交向量组是一个正交向量组.12,r 第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个标准的正交向量组。是一个标准的正交向量组。例例1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1, , ,1,3 3 3 再单位化再单位化 11122233311,0,022

16、112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即为所求的标准正交向量组。即为所求的标准正交向量组。例例2 求下面齐次线性方程组求下面齐次线性方程组123, 1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空间的一个标准正交基底。其解空间的一个标准正交基底。解解： 先求出其一个基础解系先求出其一个基础解系下面对下面对 进行正交化与单位化：进行正交化与单位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX112122111111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即为其解空间的一个标准正交基底

17、。即为其解空间的一个标准正交基底。12, 酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义：定义：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满阶复矩阵，如果其满足足则称则称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满阶实矩阵，如果其满足足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵，一般记为，一般记为 AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIAn nAE例例：22022(1)10022022是一个正交矩阵是一个正交矩阵212333221(2)333122333是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵cossin(3)sincos（5）设）设 且且 ，如果，如果 则

18、则 是一个酉矩阵。通常称为是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵矩阵。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一个酉矩阵是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 ，那么，那么设设 ，那么，那么,n nA BU1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理： 设设 ， 是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列（或行）向量组是个列（或行）向量组是标准正交向量组。标准正交向量组。定义定义：

19、设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间， 是是 的的一个线性变换，如果对任意的一个线性变换，如果对任意的 都都有有n nACAnAVnV,V ( ( ),( )( ,) 则称则称 是是 的一个的一个酉变换酉变换。定理定理：设：设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间， 是是 的的一个线性变换，那么下列陈述等价：一个线性变换，那么下列陈述等价：（1） 是酉变换；是酉变换；（3）将）将 的标准正交基底变成标准正交基的标准正交基底变成标准正交基底；底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。矩阵。注意注意：关于：关于正交变换正交变换也有类似的刻划。也有类似的刻划

20、。VVnV(2)( ),V V 幂等矩阵幂等矩阵定义：设定义：设 ，如果，如果 满足满足则称则称 是一个是一个幂等矩阵幂等矩阵。例例是一个分块幂等矩阵。是一个分块幂等矩阵。 n nACA2AAA(),rn nrn rIMACMCOO幂等矩阵的一些性质幂等矩阵的一些性质：设：设 是幂等矩阵，那是幂等矩阵，那么有么有（1） 都是幂都是幂等矩阵；等矩阵；（2）（3） （4） 的充分必要条件是的充分必要条件是（5）A,THTHAAIA IAIA()()0A IAIA A( )()N AR IAAxx( )xR A1( )( )nCR AN A定理定理：设设 是一个秩为是一个秩为 的的 阶矩阵，那阶矩阵

21、，那么么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 使得使得推论推论：设：设 是一个是一个 阶幂等矩阵，则有阶幂等矩阵，则有定义定义：设：设 为一个为一个 维标准正维标准正交列向量组，那么称交列向量组，那么称 型矩阵型矩阵 AnrAn nnPC1rIOP APOO( )( )tr ARank AAn12,r nnr112,rU 为一个为一个次酉矩阵次酉矩阵。一般地将其记为。一般地将其记为定理定理： 设设 为一个为一个 阶矩阵，则阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在一个 型次酉矩型次酉矩阵阵 使得使得其中其中 。 要证明定理要证明定理,先看下面的引

22、理先看下面的引理.An2HAAAnr1n rrUU1n rrUU11HAUU( )rRank A引理引理： 的充分必要条件是的充分必要条件是证明证明：设：设 ，那么，那么1n rrUU11Hr rU UI112,rU 121()()()TTHTrU必要性：如果必要性：如果 为一个为一个 维维标准正交列向量组，那么标准正交列向量组，那么12,r n121112111212122212()(),()()()()()()()()()()TTHrTrTTTrTTTrTTTrrrrU U 111r rI充分性：设充分性：设 ， 那么由那么由 ，可得，可得112,rU 11Hr rU UI12121112

23、12122212()(),()()()()()()()()()()TTrTrTTTrTTTrr rTTTrrrrI 即这表明 是一个 维标准正交列向量组。定理的证明定理的证明：必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵1(,)()0Tijjiijij 12,r nrankrAArrrrnrAr 。注意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出。即如果那么可得nU1212,n rrrnUUA n rrUU1212112111222212,nrnnHrrnrACCCCCCUVCCC 其中11121

24、2122212rrn rnnnrCCCCCCVCCCC由于向量组 的秩为 ，所以 的秩为 。rr12,n HV下面证明 。 由 可得 ，即注意到 ，所以VU2HAAAHAA AHHHUVVU UVHr rU UIHHUVVV即因为 ，所以 ，这样得到于是()0HUV Vrank()HVrrank()0UVUVHAUU充分性：若 ，则HAUU2HAAASchur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义定义：设 ，若存在 ，使得则称 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。,()n nn nA BCR或n nUU()n nE或

25、11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn证明证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。 取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因为 构成 的一个标准正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足1k 1k 1AW11HW AWR(上三角矩阵)令那么21k kUUW12112112100kHH

26、bbUUAUUR注意注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(Schur不等式不等式): 设设 为矩阵为矩阵 的的特征值特征值, 那么那么例例: 已知矩阵已知矩阵 A12,n nnAC A221,niijii ja308316205A试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解

27、向量求得一个单位解向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T123036132326132326U计算可得计算可得117 27 31235 60435 6062HUAU令令15 6435 662A再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A11015,55T再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单

28、位解向量求得一个单位解向量1210150 xx21510,55T取取计算可得计算可得1101555151055V11 125 61601HVAV210010150551510055U令令于是有于是有12230515561300661302 53056WUU则则107 30 /60125 6 /6001HW AW矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.另解另解: 取向量取向量 , 与与 正交正交的向量取为的向量取为W12,0, 1T120,1,0T31,0,2T201010102P则则取矩阵取矩阵P为为 显然显然 是上三角矩阵是上三角矩阵,故故11010015001P AP1P AP为所求的

29、酉矩阵为所求的酉矩阵. 正规矩阵正规矩阵定义定义: 设设 , 如果如果 满足满足n nACA20110505102UHHAAA A那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个正规矩阵正规矩阵.设设 , 如果如果 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.例例: (1) 为实正规矩阵为实正规矩阵 An nARATTAAA AA1111abcdbadccdabdcba (2)其中其中 是不全为零的实数是不全为零的实数, 容易验证容易验证这是一个实正规矩阵这是一个实正规矩阵., , ,a b c d (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵. (4) H-阵阵, 反反H-阵阵, 正

30、交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对对角矩阵都是正规矩阵角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理434624432662261iiiiiiii 引理引理1 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 则与则与 酉酉相似的矩阵一定是正规矩阵相似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理2 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 且又是三且又是三角矩阵角矩阵, 则则 必为对角矩阵必为对角矩阵.证明证明 : 代入代入 后比较等式两端矩阵第一后比较等式两端矩阵第一行第一列元素，第二行第二列元素，等等，行第一列元素，第二行第二列元素，等等，第第n行第行第n列元素得列元素得n个等式个等式A

31、A1112122200000nnnnaaaaaAaAA11122212000HnnnnaaaAaaaHHA AAA根据根据 得得 。因此是对角矩阵。因此是对角矩阵。由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 : 设设 , 则则 是正规矩阵是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得使得11 1112121111 11nna aa aa aa an nACAU2222222222nna aa aa annnnnnnna aa a0()ijija aij0()ijaij12HnU AU其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论1

32、 : 阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量 . 12,n Ann推论推论2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交. 例例1 : 设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值324202423AQ1Q AQ2(1) (8)IA其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化, 得到两个标得到两个标准正交向量准正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1

33、,0,1TTXX 12,XX1212425,0,3553 5 2 5TT对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量28(8)0IA X32,1,2TX 32 1 2, ,3 3 3T将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵123142353 5221,353 552033Q 则矩阵则矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有Q1118Q AQ例例2 : 设设434624432662261iiiAiiiii 求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.QHQ AQ解解: 先计算矩

34、阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系2(81)(9)IA1239i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 现在将现在将 单位化单位化, 得到一个单位向量得到一个单位向量1X12 2,3 3 3Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 221 2,333Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位

35、化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵12322333212,333221333iiiQ 则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有Q999HiQ AQi例例3 证明证明: (1) H-矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数; H-矩阵属矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反反H-矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数. (3) 酉矩阵的特征值模长为酉矩阵的特征值模长为1.定理定理: 设设 是正规矩阵是正规矩阵,

36、 则则 (1) 是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的特征值为实数为实数 . AAA (2) 是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值的实部为零值的实部为零 . (3) 是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的的特征值的模长为模长为1 . 注意注意: 正规矩阵绝不仅此三类正规矩阵绝不仅此三类.例例4 : 设设 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明:是是U-阵阵.证明证明: 根据根据U-阵的定义阵的定义AAA1()()WAIAIAA11()() () ()HHHWWA I A IA IA I由于由于 是反是反H-阵阵, 所以所以这样这样于是可得于是可得 A()H

37、AIAI 11() ()HAIAI 11111111()() () ()()() () ()()()() ()()()() ()()() () ()HHHHWWA I A IA IA IA I A IA IA IA IA I A IA IA IA I A IA IA I A IA IA II 这说明这说明 为酉矩阵为酉矩阵.W例例5 : 设设 是一个是一个 阶正规矩阵且存在自阶正规矩阵且存在自然然数数 使得使得 , 证明证明: .证明证明: 由于由于 是正规矩阵是正规矩阵, 所以存在一个酉所以存在一个酉矩阵矩阵 使得使得Ank0kA 0A n nUUA12,HinAUUR于是可得于是可得从而从

38、而这样这样120kkkHknAUU0,kiiR0,1,2,iin即即 Hermite矩阵矩阵(简称简称H-矩阵矩阵)Hermite矩阵的基本性质矩阵的基本性质引理引理: 设设 , 则则 (1) 都是都是H-矩阵矩阵.0A ,HHHAAAAA An nAC (2) 是反是反H-阵阵. (3) 如果如果 是是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 为任意正整数为任意正整数. (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵, 那么那么 也也是可逆的是可逆的H-阵阵. (5) 如果如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵), 那么那么 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵), 这里这里 为虚数单位为虚数单位. (6)

39、 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么也是也是H-阵阵, 这里这里 均为实数均为实数. (7) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么 也也是是H-阵的充分必要条件是阵的充分必要条件是HAAAkAkA1AAiAi,A BkAlB, k l,A BABABBAABn nAC定理定理: 设设 , 则则 (1) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 是实数是实数. (2) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.H-矩阵的结构定理矩阵的结构定理定理定理: 设设 , 则则 是是H-阵的充分阵的充分必要条件是存在一个酉矩

40、阵必要条件是存在一个酉矩阵 使使得得A,nHXCXAXAn,HBB ABn nACAn nUU12HnU AU其中其中 , 此定理经常叙述此定理经常叙述为为: H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵.推论推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵. 12,nR 例例 : 设设 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 则存在酉矩则存在酉矩阵阵 使得使得证明证明: 由于由于 为一个为一个H-阵阵, 所以存在酉所以存在酉矩阵矩阵 使得使得An nUU000rHIU AUAn nWU12HnW AW又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 从而从而 或或将将1放在一起放在一起,

41、 将将0放在一起放在一起, 那么可找到一那么可找到一个酉矩阵个酉矩阵 使得使得A0i1in nUU000rHIU AU这里这里 为矩阵为矩阵 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)定义定义: 由由 个复变量个复变量 , 系数系数为复数的二次齐次多项式为复数的二次齐次多项式Arn12,nx xx1211(,)nnnijijijf x xxa x x称为称为Hermite二次型二次型, 这里这里如果记如果记 ijjiaa111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa12, ,TnnXx xxC那么上面的那么上面的Hermite二次型可以记为二

42、次型可以记为称为称为Hermite二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵 , 并称并称 的的秩为秩为Hermite二次型的秩二次型的秩. 对于对于Hermite二次型作可逆的线性替换二次型作可逆的线性替换则则12(,)Hnf x xxXAXAXCY12(,)()HHHnHf x xxXAXYC AC YY BY这里这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的我们称这种形状的Hermite二次型为二次型为标准形标准形的的Hermite二次型二次型.定理定理: 对于任意一个对于任意一个Hermite二次型二

43、次型 ,HHBC ACBB12111222(,)nnnnf y yyy yy yy y12(,)Hnf x xxXAX必存在酉线性替换必存在酉线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为标准形化为标准形其中其中 是是H-矩阵矩阵 的特征值的特征值.进一步进一步, 我们有我们有定理定理: 对于对于Hermite二次型二次型 XUY( )f x111222( )nnnf xy yy yy y12,n A12(,)Hnf x xxXAX必存在可逆的线性替换必存在可逆的线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为化为其中其中 .我们称上面的标准形为我们称上面的标准形为Hermite二次

44、型二次型的的规范形规范形.例例: 写出下面写出下面Hermite二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形并用酉线性替换将其化为标准形.XPY( )f x1111( )ssssrrf xy yy yyyy y( )rrank A( )f x123121312131231 1121321233 13 133(1)(,)(2)(,)(1)(1)2f x x xix xx xix xx xf x x xx xix xi x xix xx xi x xx xx x解解: 11231232301(1)(,),00100ixf x x xx x xixx11231232311(2)

45、(,),01112iixf x x xx x xixix 正定正定Hermite二次型与正定二次型与正定Hermite矩阵矩阵定义定义: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形如果对于任意一组不全为零复数如果对于任意一组不全为零复数 都有都有1211()(,)nnnHijijijf Xf x xxa x xXAX12,nx xx12(,)0(0)nf x xx则称该则称该Hermite二次形为二次形为正定的正定的(半正定的半正定的) , 并称相应的并称相应的H-矩阵矩阵 为为正定的正定的(半正定的半正定的) . 例例: 判断下列判断下列Hermite二次形的类别二次形的类别 A1231

46、12233(,)483f y yyy yy yy y1232233(,)129f y yyy yy y123112233(,)76f y yyy yy yy y 123112233(,)43f y yyy yy yy y 1231133(,)613f y yyy yy y 与正定的实二次形一样与正定的实二次形一样, 关于正定的关于正定的Hermite二次形我们有二次形我们有定理定理: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述是等价的下列叙述是等价的 ()Hf XXAX (1) 是正定的是正定的 (2) 对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为正定矩阵为正定矩阵 (3)

47、的的 个特征值都大于零个特征值都大于零 (4) 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (5) 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.例例1 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 且又是酉矩阵且又是酉矩阵, 则则证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以必存在所以必存在()f XnPHP APAnnPHP APInQHAQ QRHAR RAAIA酉矩阵酉矩阵 使得使得由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵, 所以所以12,0HinAUURn nUUA1i这样必有这样必有 , 从而

48、从而例例2 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一个是一个反反H-阵阵, 证明证明: 与与 的特征值实部的特征值实部为零为零. 证明证明: 设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有1iAIABABBA0IABAQHAQ Q1110()()()HHHHHHHHHHIABIQ QBQQQ QBQQQIQBQQIQBQ这说明这说明 也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩阵面注意矩阵 为反为反H-阵阵,

49、从而从而 实部实部为零为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问. HQBQHQBQ例例3 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明: 是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可所以存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得这表明这表明 是可逆的是可逆的. 于是于是另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵, 而而矩阵矩阵 为反为反H-阵阵, 由上面的例题结论可知由上面的例题结论可知ABABAQHAQ QA11ABAAA BA IA B1AB矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零, 那么矩阵那么矩阵

50、的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 从而从而1AB1IA B10IA B定理定理: 对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述是等价的下列叙述是等价的: (1) 是半正定的是半正定的()Hf XXAX()f X(2) 对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为半正定矩阵为半正定矩阵(3) 的的 个特征值全是非负的个特征值全是非负的(4) 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得(5) 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得nP000rHIP APAnnPHP APHAQ QrnQ定理定理: 设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵, 那么存在

51、正定那么存在正定(半正定半正定) Hermite矩阵矩阵 使得使得例例1 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 , 试证明试证明: 证明证明: 设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 AH2AHA0A det()1AI12,n AA0i12det()(1)(1)(1)1nAI例例2 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 证明证明: 证明证明: 由于由于 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 所以存在所以存在可逆矩阵可逆矩阵 使得使得这样有这样有0A Bdet()det( )

52、ABBAQBHBQ Q1111det()det()det()det()det( )det( )det()HHHHABAQ QQQAQIQBQAQI注意矩阵注意矩阵仍然是一个半正定的仍然是一个半正定的H-阵阵, 有上面的例题可有上面的例题可知知从而从而11()HQAQ11det()1HIQAQ11det()det( )det()det( )HABBQAQIB例例3 : 证明：证明： （1） 半正定半正定H-矩阵之和仍然是半正定矩阵之和仍然是半正定的的; （2） 半正定半正定H-矩阵与正定矩阵与正定H-阵之和和阵之和和是正定的是正定的; 证明证明：设：设 都是半正定都是半正定H-阵，那么阵，那么二者之和二者之和 仍然是一个仍然是一个H-阵，其对应阵，其对应的的Hermite二次型为二次型为 其中其