椭圆中的最值问题与定点、定值问题

1、椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法1）利用定义转化为几何问题处理；2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法， 将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理， 此时应注意 椭圆中 x、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时， 动点与焦点精选取得最大值 a+c（远日点）、最小值 a-c（近日点）。1 （a b 0） 上的任意一点，左焦点为F1( c,0) ，22推导：设点 P(x0,y0

2、) 为椭圆 x2 y2 a2 b222|PF1| (x0 c)2 y02 ，由 ax02 by02 1得y02b2(1 x02 ) ，将其代入a|PF1 | （x0 c）2 y02 并化简得 |PF1 | c x0 a 。所以，当点 P（ x0, y0 ） 为长轴的右端点 aA2 （a,0）重合时， | PF1 |max c a a c a；当点 P（ x0, y0 ）为长轴的左端点 A1（ a,0） 重 ac合时。 |PF1 |min（ a） a a c 。当焦点为右焦点 F2（c,0） 时，可类似推出。a1. （ 2015 浙江卷）如图，已知椭圆2x y2 1 上两个21 不同的点 A、B

3、 关于直线 y mx 对称。2（1）求实数 m 的取值范围；（2）求 AOB 面积的最大值（ O为坐标原点）1 解：（1）由题意知 m 0 ，可设直线 AB的方程为 y x b 。m2x 联立 21，消 y 去，得 b(1212 )x2 2b x b2 1 m2m0。因为直线2 b 与椭圆 x21 有两个不同的交点，所以2b242 0 。m2设 A(x1, y1),B(x2, y2 ) ，线段 AB的中点M ( xM , yM ) ，则 x1x24mb所以xMyMx1 x221 xM m2mbm222 。将线段 AB 的中点 M( 22mbm2bm2 2m2 2m2bm2 2)代 入直 线y

4、mx1 ，解得 b22m2 22 。 2m2由得6或m3(2)令 t1m626,0)(0, 26) ，2则 | AB |1 ( m1)2m( x1 x2)2 4x1x2 = t4 2 32t 4 2t22， t2 1 ， 2且 O 到直线 AB 的距离为t2 1d tt2 21。1设 AOB的面积为 S(t)，所以 S(t) 1|AB| d22(t2 12)2 2 22 ，12当且仅当 t2时，等号成立。故 AOB 面积的最大值为222.已知椭圆 4x2y21 及直线 yx m.(1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.4x2y21，解

5、(1) 由yxm得 5x2 2mxm2 10，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m2 1)0，解得 25m5.2.(2)设直线与椭圆交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，22由(1)知： 5x22mxm210，所以 x1x2 25m，所以|AB| x1x2 2y1 y2 224x1x22 4m22542m552 10 8m2.所以当 m0时， |AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多， 而且可与很多知识联系在一起出题， 例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和

6、数形结合思想 .其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 跟踪训练 2 如图，点 A 是椭圆 C：ax2 yb2 1(a>b>0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点 A 且斜率为 1的直线交椭圆于点 B，若 P在 y轴上，且 BPx轴， AB·AP9.(1)若点 P 的坐标为 (0,1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为 (0，t)，求 t 的取值范围 .解 直线 AB 的斜率为 1， BAP 45°， 即BAP 是等腰直角三角形， |AB| 2|AP|.AB·AP9，

7、|AB|AP|cos 45° 2|AP|2cos 45 °9，(1)P(0,1)，|OP|1，|OA|2，即 b 2，且 B(3,1).91B在椭圆上，a241，得 a212，x2 y21.椭圆 C 的标准方程为 1x2y4 （2）由点 P的坐标为（0， t）及点 A位于 x轴下方，得点 A的坐标为（0，t3）， t 3 b，即 b 3 t.显然点 B的坐标是 （3，t），将它代入椭圆方程得：9t2a92 3t t 21，解得 a23 3 t32ta2>b2>0，3 3 t32t2>（3t）2>0. 3 >1，即 3 1 2t >0， 3

8、 2t3 2t32t3 所求 t 的取值范围是 0<t<23.二、椭圆中的定点和定值问题解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。解决此类问题的方法有两种：（1）进行一般计算、推理求出结果；（2）通过检查特殊位置，探索出“定点” “定值”，然后再进行一般性证明或计算。2.已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3， 最小值为 1 。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l : y kx m与椭圆 C 相交于 A、B两点（ A、B 不是左右顶点） ，且以 AB为直 径的圆过椭圆 C的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标

9、。解：(1)根据题意可设椭圆方程22x2 y2 1 (a b 0) ， abac3由已知得 ，解得ac1a2c1b222 1 3 ，22所以椭圆的标准方程为 x y 1 。43(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立y kx mx2 y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ，143则由题意得64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0，即 3 4k2 m2x1x20 ，且x1 x28mk23 4k2 4(m2 3)3 4k2又 y1 y2 (kx1m)( kx2m) =k2x1x2 mk(x1x2)2 3(m2m=34k2)4k2设椭圆的右顶点为 D以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)kAD kBD1，即 x1 2y2x2 21， y1y2 x1x2 2(x1x2) 4 0 ，34k23 4k2 34k2解得 m12k2k,m2,且均满足 3当 m12k