华师大版九年级上 三角形中位线(定)

1、 如图，如图，A、B两棵树被池塘隔开，现两棵树被池塘隔开，现在要测量出在要测量出A、B两树间的距离两树间的距离 ，但又，但又无法直接去测量，怎么办？无法直接去测量，怎么办？A A B B。A B。C 。D。E。这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。 1、问题牵引：、问题牵引：已知：如图，在 中，DEBC求证：BCDEACAEABADABCDEABC点拔：应用相似三角形判定方法，解决问题。引导学生完成。2.2.问题延伸：问题延伸：当D、E分别是AB和AC的中点

2、时，那么是否可以推出DEBC呢？ DE与BC之间存在什么样的关系呢？v学生画图:取 AB、AC边的中点D、E，连结D、EABCDEFv定义定义: 连接三角形两边中点的线段叫做连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线.AF是是ABC的中线的中线我们把我们把DE叫做叫做 ABC 的中位线的中位线CBAFED 课题课题 3.6CBAFED 连接三角形两边连接三角形两边中点的线段中点的线段, ,叫做叫做 三角形的中位线三角形的中位线 理解三角形的中位线理解三角形的中位线定义的两层含义定义的两层含义: : 如果如果DEDE为为ABCABC的中位线，那么的中位线，那么 D D、E E分别为

3、分别为ABAB、ACAC的的 。 如果如果D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点，的中点， 那么那么DEDE为为ABCABC的的 ；CBAED中位线中位线中点中点三角形中位线的性质三角形中位线的性质ABCDE如图，如图，DE是三角形的一条中位线你能得到是三角形的一条中位线你能得到什么结论？什么结论？(提示提示:DE和和BC有什么大小关系和位置关系？有什么大小关系和位置关系？)猜想： DEBC 且DE= BC21证明：证明：D、E分别是分别是AB、AC的中点的中点21ACAEABAD又又A为公共角为公共角ADE ADE ABC ABC B=ADE DEBC且DE= BC21三角形的中

4、位线性质三角形的中位线性质 定理定理: :三角形的中位线平行于第三角形的中位线平行于第三边三边, ,且等于第三边的一半且等于第三边的一半. .ABCDEF用符号语言表示：用符号语言表示：DE是是ABC的中位线的中位线 DEAC，DE= AC21例例1、求证三角形的一条中位线与第三边的中线互相平、求证三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分分ABC CDFE已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中中AD=DBAD=DB，AF=FCAF=FC，BE=EC BE=EC 求证：求证：AE、DF互相平分互相平分 证明：连结证明：连结DE、EF D、E、F分别为分别为AB、BC、AC上中点上中点

5、DE、EF为为ABCABC的中位线的中位线DE AF、AD EF四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形 AE、DF互相平分互相平分点拔：根据中线定义知道点E是BC的中点，因此连结DE、EF，再利用三角形的中位线得出四边形ADEF是平行四边形，从而得出结论。如图所示，如图所示， ABCABC中，中，D D、E E分别是边分别是边BCBC、ABAB的的中点，中点，ADAD、CECE相交于相交于G G，求证：，求证：31ADGDCEGEBDGAC CE例例2：点拔：点D、E分别是BC、AB的中点，应用中位线，首先要构建中位线，这种辅助线就是自己引出，连结ED。学生自己完成推理过程。例例2 2如

6、图，如图，ABCABC中，中，D D、E E分别是边分别是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：31ADGDCEGE证明证明 : :连结连结ED，D、E分别是边BC、AB的中点，DEAC，21ACDE（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），的一半）， ACGDEG，21ACDEAGGDGCGE31ADGDCEGE如果在图如果在图24244 44 4中，取中，取ACAC的中点的中点F F，假设，假设BFBF与与ADAD交于交于GG，如图，如图24.4.524.4.5，那么我们，那么我们同理有同理有

7、 ，所以，所以有有 ，即两图中，即两图中的点的点G G与与GG是重合的是重合的31BFFGADDG31ADDGADGD 三角形三条边上的中线交三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的的长是对应中线长的31 如图如图,任意作一个四边形任意作一个四边形,并将其四边的并将其四边的中点依次连接起来中点依次连接起来,得到一个新的四边形得到一个新的四边形,这个新四边形的形状有什么特征这个新四边形的形状有什么特征?HDCBAEFGFGBD且且FG= BD 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形21

8、EHFG且且EH= FG四边形四边形EHGF是平形四边形是平形四边形解解: EHBD且且EH= BD21 连结连结BD顺次连接任意四边形、平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形顺次连接任意四边形、平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形v顺次连接平行四边形顺次连接平行四边形 、矩形的四边中点所得的四边形是、矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？什么形状？为什么？ 如果将如果将“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？正方形呢？呢？正方形呢？顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形顺次连接菱形的四边中点所得的

9、四边形是矩形结论：结论：(1)(2)(3)（4）顺次连接正方形形的四边中点所得的四边）顺次连接正方形形的四边中点所得的四边形是正方形。形是正方形。 1 1。如图（。如图（1 1）ABCABC中，中， AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10， D DE EF F分别是分别是ABACBCABACBC的中点的中点 则则DEFDEF的周长是的周长是 ， 面积是。面积是。 v2 2如图（如图（2 2）ABCABC中，中，DEDE是是 中位线，中位线，AFAF是中线，则是中线，则DEDE与与 AFAF的关系是的关系是v3 3若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是

10、菱形，则点所得的四边形是菱形，则 原四边形（原四边形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直 （D D）对角线一定相等）对角线一定相等FABcDE(1)ACBDEF(2)互相平分互相平分6cm212cmD A A、B B两点被池塘隔开，如何才两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？能知道它们之间的距离呢？M MN N 在在ABAB外选一点外选一点C C，连结，连结ACAC和和BCBC，并分别找出，并分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点M M、N N，如果测得，如果测得MN = 20mMN = 20m，

11、那么，那么A A、B B两点的距离是多少？为什么？两点的距离是多少？为什么？如图如图1：在：在ABC中，中，DE是中位线是中位线 （1）若）若ADE=60， 则则B= 度，为什么？度，为什么？ （2）若）若BC=8cm， 则则DE= cm，为什么？，为什么？ 如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则则DEF的周长的周长= cm图图1 1图图2 260412A AB BC CD D E EB BA AC CD D E EF F5 54 43 3例例1 1 求证三角形的一条中位线与第三边求证三角形的一条中位线与第三边

12、上的中线互相平分上的中线互相平分已知：如图2443所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分证明证明 连结连结DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理EFAB四边形ADEF是平行四边形AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例例2 2如图如图24244 44 4，ABCABC中，中，D D、E E分别分别是边是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：31ADGDCEGE证明证明 : :连结连结ED，D、E分别是边BC、AB的中点，DEAC，21ACDE（三角形

13、的中位线平行于第三边并且等于第三边（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），的一半）， ACGDEG，21ACDEAGGDGCGE31ADGDCEGE如果在图如果在图24244 44 4中，取中，取ACAC的中点的中点F F，假设，假设BFBF与与ADAD交于交于GG，如图，如图24.4.524.4.5，那么我们，那么我们同理有同理有 ，所以，所以有有 ，即两图中，即两图中的点的点G G与与GG是重合的是重合的31BFFGADDG31ADDGADGD 三角形三条边上的中线交三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线重心，重心与

14、一边中点的连线的长是对应中线长的的长是对应中线长的31例题解析例题解析 猜一猜猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？v如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，E F G HE F G H分别是分别是AB CD AD BCAB CD AD BC的中点，四边形的中点，四边形EFGHEFGH是是平行四边形吗？为什么？平行四边形吗？为什么？v解：四边形解：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形连接连接DBDB因为因为E E、H H分别是分别是A

15、BAB、ADAD的中点的中点 ，即即EHEH是是ABDABD的中位线的中位线所以所以EHBDEHBD，EH=EH= BD BD，理由是：，理由是：三角形的中位线平行于第三三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。边，并且等于它的一半。同理可得，同理可得，FGBD FG=FGBD FG=BDBD所以所以EHFGEHFG，EH=FGEH=FG故四边形故四边形EFGHEFGH是平行四边形，理由是；一组对边平行是平行四边形，理由是；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形且相等的四边形是平行四边形 ABCDHEFG顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形顺次连接任意四边形四边中点所得的四边

16、形是平行四边形议一议议一议：v顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？什么？ 如果将如果将“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？呢？顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形结论：结论：(1)(2)(3)课堂训练课堂训练 练一练练一练：1 1。如图（。如图（1 1）ABCABC中，中， AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10， D DE EF F分别是分别是ABACBCABACBC的中点的中点 则则

17、DEFDEF的周长是的周长是 ， 面积是。面积是。 v2 2如图（如图（2 2）ABCABC中，中，DEDE是是 中位线，中位线，AFAF是中线，则是中线，则DEDE与与 AFAF的关系是的关系是v3 3若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则点所得的四边形是菱形，则 原四边形（原四边形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直 （D D）对角线一定相等）对角线一定相等FABcDE(1)ACBDEF(2)互相平分互相平分6cm212cmD议一议： 1.1.如果顺次连接四边形四边中点所

18、得的四边形是菱形，那么如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么原四边形的两条对角线存在什么关系原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ （两条对角线（两条对角线相等相等）v2.2.上问中的菱形改为矩形呢？上问中的菱形改为矩形呢？（两条对角线（两条对角线互相垂直互相垂直）v3.3.当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点 所得的四边形是正方形？所得的四边形是正方形？（两条对角线（两条对角线互相垂直且相等互相垂直且相等） 如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分别是分别是ACACBDBD的中点的中点 （）（

19、）EFEF与与ADADBCBC的关系如何？为什么？的关系如何？为什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的长。的长。ABCDEFG解：（）解：（）ADEFBCADEFBC 因为因为ADBCADBC，则，则DAFDAFGCFGCF，ADFADFCGFCGF连接连接DFDF并延长并延长DFDF交交BCBC于于G G又又AFAFFCFC所以所以ADFADFCFG(CFG(AASAAS) )所以所以DF=FGDF=FG而而DE=EBDE=EB所以所以EF BCEF BC理由是：理由是：三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边又又ADBCADBC所以所以ADEFBCADEFBCv如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分别是分别是ACACBDBD的中点的中点 （）（）EFEF与与ADADBCBC的关系如何？为什么？的关系如何？为什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的长。的长。AEGDFCB解：（解：（2 2）所以所以EF=BG=EF=BG=(BC-GC)(BC-GC) 理由是：理由是：三角形的中位线三角形的中位线 等于第三边的一半。等于第三边的一半。而而GC=ADGC=AD所以所以EF=EF=(BC-AD)=(BC-AD)=(