难题突破专题四特殊三角形存在性问题

1、难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解.类型1等腰三角形存在性问题I Ji如图Z4- 1,直线y= 3x + 3交x轴于点 代交y轴于点B,过A B两点的抛物线交 x轴于另一点C(3 , 0).(1) 求点A B的坐标.(2) 求抛物线对应的函数表达式.(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使厶ABC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在,请说明理由.-例题分层分析(1) 如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2) 如何求抛物线对应的

2、函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3) 根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线 ，所以可设点Q的坐标为; 厶ABC是等腰三角形可分为种情况，分别是; 根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标.”解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况.可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据 两边相等，得到三个方程，即三种情况.特别注意求出的值需检验能否构成三角形.类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题口2如图Z4 2,已知直线y = kx-6与抛物线y= ax2 + bx+ c相交于A, B两点，且点A(1 , 4)为抛物线的顶点， 点B

3、在x轴上.(1) 求抛物线对应的函数表达式.(2) 在 中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点只使厶POBW POC全等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 若点Q是y轴上一点，且 ABC为直角三角形，求点 Q的坐标.>例题分层分析(1) 已知点A的坐标可确定直线 AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标点 A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为 式，再代入 的坐标，依据 法可解.(2) ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以 为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解.解题方法点析

4、本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题.专题训练1. 如图Z4 3，点00，0)，A(2，2)，若存在点P,使厶APC为等腰直角三角形，则点P的个数为图 Z4 3一192. 2017 湖州如图Z4 4，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线y = kx(k>0)分别交反比例函数 y=-和y = _在XX1第一象限的图象于点A，B,过点B作BD丄x轴于点D,交y =-的图象于点C,连结AC.若厶ABC是等腰三角形，则k的x值是.3. 如图Z4-5所示，在平面直角坐标系中，已知点A2 , 2)，点B(2 , - 3)

5、.试问坐标轴上是否存在一点 ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.O.图 Z4 54. 2017 张家界如图Z4 6,已知抛物线 C的顶点坐标为 A 1, 4)，与y轴的交点为D(0 , 3).(1) 求C的解析式；(2) 若直线I仁y = x + m与C仅有唯一的交点，求 m的值；(3) 若将抛物线C关于y轴对称的抛物线记作 C,平行于x轴的直线记作丨2: y= n.试结合图象回答：当时，丨2与C和G共有：两个交点；三个交点；四个交点；P,使得n为何值(4) 若将C2与x轴正半轴的交点记作 B,试在x轴上求点P,使得 PAB为等腰三角形.yJ节21 2)4 5 i

6、图 Z4 625. 2017 攀枝花如图Z4- 7,抛物线y = x + bx+ c与x轴交于A, B两点，B点坐标为(3 , 0)，与y轴交于点Q0, 3).(1) 求抛物线的解析式.(2) 点P在x轴下方的抛物线上，过点 P的直线y= x+ m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PB EF的最大 值.(3) 点D为抛物线对称轴上一点. 当 BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标;若 BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围.备用图图 Z4 726. 如图Z4 8，抛物线y= ax 2ax+ c(a0)与y轴交于点C(0 , 4)，与x轴交于点A, B,点A的坐标为(4 ,

7、 0).(1) 求该抛物线对应的函数表达式.(2) 点Q是线段AB上的动点，过点 Q作QE/ AC交BC于点E,连结CQ当厶CQE勺面积最大时，求点 Q的坐标.(3) 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点 P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2 , 0).问：是否存在这样的直线l，使得 ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案类型1等腰三角形存在性问题例1【例题分层分析】(1) 令一次函数表达式中的x或y为0，即可求出图象与 y轴或x轴的交点坐标.(2) 求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法.本题利用一般式法或交点式法 都

8、比较简单.(3) x= 1(1 , a) 三 AQ= BQ AB= BQ AQ= AB解：(1) 直线 y= 3x+ 3,当 x = 0 时，y = 3,当 y = 0 时，x = - 1,点A的坐标为(一1, 0)，点B的坐标为(0 , 3).P = a b+ c,"a = 1, 设抛物线对应的函数表达式为y= ax2+ bx+ c,由题意，得3 = c,解得b = 2,j0 = 9a+ 3b + c,1c = 3.2抛物线对应的函数表达式为y = - x + 2x + 3./抛物线对应的函数表达式为y= x2 + 2x + 3,配方，得y= (x 1)2+ 4,抛物线的对称轴为直

9、线x= 1,设Q1 , a). 当AQ= BQ时，如图，设抛物线的对称轴交x轴于点D,过点B作BF丄DQ于点F.由勾股定理，得BQ= .BF2 + QF= , (1 0) 2+( 3 a) 2,AQ= AD + QD= ,22+ a2,得可(1 0)+( 3 a)=+ a ,解得 a= 1,点Q的坐标为(1 , 1). 当AB= BQ时，如图，由勾股定理，得(1 0) +( a 3) = ,' 10, 解得a= 0或6,当点Q的坐标为(1 , 6)时，其在直线 AB上, A, B, Q三点共线，舍去，点 Q的坐标是(1 , 0).* 当AQ= AB时，如图，由勾股定理，得，22+ a2

10、= 10,解得a=± ,6,此时点Q的坐标是（1 , 6）或（1 , - 6）. 综上所述，存在符合条件的点 Q,点Q的坐标为（1，1）或（1，0）或（1， 6）或（1， 6）. 类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题例2【例题分层分析】（1）顶点 点B待定系数 （2）点A，B, Q解：把（1，- 4）代入y = kx 6，得k = 2，直线AB对应的函数表达式为 y= 2x 6.令y = 0,解得x = 3，二点B的坐标是（3，0）.点A为抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y = a（x 1）2 4，把（3，0）代入，得 4a 4= 0，解得a= 1，抛物线对应的函数表达式

11、为y = （x 1）2 4= x2 2x 3.（2）存在. OB= 0（= 3，OP= OP当/ POB=Z POC寸， POBA POC此时OP平分第二象限，即直线PC对应的函数表达式为 y= x.设 P（m m，则一n=吊一2m 3，解得 m= 1-2 13 m=1 +2 13>0，舍去，点P的坐标为三吏，二. 如图，当/ QAB= 90° 时， DAGA DOB AD DQQ 即心 DQODdb，即 T=35,57 DQ=刁二 OQ= 2,即点Q的坐标为S, 7 ；当/ QBA= 90。时， BOQA DOB.OB OQ 即 3 OQOD OB，即6 =可， OQ= 3,

12、即点Q的坐标为0, 2 ； 当/ AQB= 90。时，过点 A作AEL y轴于点E,则厶 BOa QEAOB OQ 3 OQ=即=QE= AE，即 4 - OQ= 1， oQ 4OQ+ 3= 0,. OQ= 1 或 3,3 或(0,-1)或(°,-3)-即点Q的坐标为（0， 1）或（0， 3）. 综上，点Q的坐标为i。，一 2或0, 专题训练1. 62. 3 7或I5 解析考查反比例函数中系数 k的几何意义及等腰三角形的性质.75用B, A两点的坐标来表示 C点坐标，得到BC的长度，然后分三种情况讨论k值.911912 9218设 B（a,舌）,A（b, p , C（a,舌）,ka=

13、 a, kb= y. a = -, b = r.又t BDLx轴， BC= 当AB= BC时,AB= * (a b)2+ ( ka kb),8a2 318,1 + k (兀兀)=丁,当AC= BC时,AC=( b a) 2+( b1) 2, (1k232-+ 9)(k_ k) = "9k2AB= AC时， 1+亍=1 + k2, k = 0(舍去).综上所述，k=7或亠J9753解：若/ BAP= 90°,易得 P1(0 , 2).当 若/ ABP= 90°，易得 P2（0， 3）. 若/ BPA= 90°，如图，以 AB为直径画O O与x轴、y轴分别交

14、于点 R, R, P5, F6, AB与 x轴交于点C,过点O作O D丄y轴于D点.B在 Rt DO P5 中易知 O D= 2, OF5= IP5D=、警-4 = 331OPP= PsD- OD= | | = 1,贝UP5(0, 1).易知F5D= P6D,贝UP6(0，- I).连结 OP3,OP4,易求出 F3(2 6, 0) , F4(I + 6, 0).综上所述，存在点 P,使得 ABP为直角三角形，坐标为Pi(0 , 2) , F2(0，- 3) , P3(2 - 6, 0),F4(2 + 6, 0) , P5(0 , 1) , P6(0，- 2).4解：(1) T抛物线 C的顶点

15、坐标为 A - 1 , 4),设C的解析式为y = a(x + 1)2 + 4,2把 D(0 , 3)代入得 3= a(0 + 1) + 4，解得 a=- 1, C 的解析式为 y =- (x + 1) + 4=- x - 2x + 3.foy=- x 2x + 3,(2) 由方程组<|y= x+ m,2得 x + 3x+ m- 3 = 0,1 = 3 -4X 1 x( m- 3) = - 4m+ 21 = 0, 0=-.(3) 抛物线C2的顶点坐标为(1 , 4),丨2与C和C2共有：两个交点，这时l 2过抛物线的顶点， n= 4 :三个交点，这时丨2过两条抛物线的交点D, n= 3;

16、四个交点，这时丨2在抛物线的顶点与点 D之间或在点D的下方， 3<n<4或 n<3.(4) 根据抛物线的对称性可知，C2的解析式为y =- (x- 1)2+ 4 =-x2 + 2x+ 3,与x轴正半轴的交点 B的坐标为(3 , 0),又 A 1, 4) , AB=42+ 42= 42. 若AP= AB贝U PO= 4+ 1 = 5,这时点P的坐标为(一5 , 0); 若BA= BP若点P在点B的左侧，贝U OP= BP- BO= 4 2 3,这时点P的坐标为(3 4 2 , 0),若点P在点B 的右侧，贝U OP= BP+ BO= 4 ,2 + 3,这时点P的坐标为(3 +

17、4 , 2 , 0); 若PA= PB这时点P是线段AB的垂直平分线与 x轴的交点，显然 PA= PB= 4 , R 1, 0).综上所述,点 P的坐标为(5 , 0)或(3 42 , 0)或(3 + 4 .2 , 0)或(1 , 0).5 .解：(1)由题意得c= 3 ,32 + 3b+ c = 0 ,抛物线的解析式为 y = x2 4x+ 3. 由题易知 OC= OB= 3，/ OC= 45° .同理可知/ OF= 45° , CEF为等腰直角三角形.以BC为对称轴将 FCE对称得到 F' CE作PHLCF于H点，如图，贝U PE+ EF= PF = . 2PH

18、 又 PH= yc yp = 3 yp ,当yp最小时，P曰EF取得最大值，抛物线的顶点坐标为(2 , - 1),当 yp= 1 时，(P曰 EF)max= 2 X (3 + 1) = 4 2.如图.由(1)知抛物线的对称轴为直线x= 2，设D(2 , n),当厶BCD是以BC为直角边的直角三角形且 D在C的上方D位置时,由勾股定理得cD+ bC= bD,2即(2 0) + (n3)2+ (32)2= (3 2)2+ (0 n)2，解得 n= 5;当厶BCD是以BC为直角边的直角三角形且 D在C的下方D位置时,由勾股定理得2 2 2BD+ BC= CD,2即(2 3) + (n0)2+ (32

19、)2= (2 0)2+ (n 3)2，解得 n= 1.综上所述，当 BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2 , 5)或(2 , 1).3如图，以BC的中点T(2,32)为圆心,x= 2交于D3和0,由直径所对的圆周角是直角得/设D(2 , m为。T上一点，由CDB=/ CDB= 90 ° ,13 42DT=尹 C=-,32323 2得(22) + q m =(才 解得m= |±于，3 03 如D(2 , 2 +),D(2 , 2-牙)，)2,又由得 D 为(2 , 5) , D2(2 , 1),若厶BCD是锐角三角形，贝U D点在线段DD3或D2D4上(不与端点重合)，则点D的纵坐标的取值范围$ I+yD< 5.6.解：(1)由题意，得0= 8a+ c,4= c,所求抛物线对应的函数表达式为a = 2,解得2c = 4,1 2y =尹 + x+ 4.如图，设点Q的坐标为(m0)，过点1 2由一x + x+ 4 = 0，得 X1= 2,X2 = 4,点B的坐标为(一2, 0), AB= 6, BQ= m+ 2. QE/ ACEG BQ 加 EG m+ 2 CO= BA,即 72m+ 4 EG= 丁,1 S CQE