高中数学思想方法及案例分析

1、 高中数学思想方法及教学案例分析高中数学思想方法及教学案例分析 程程 华华 咸阳师范学院数学与信息科学学院咸阳师范学院数学与信息科学学院 2016-3-10 2016-3-10咸阳咸阳引言引言 教师的角色教师的角色“是学习的组织者、引是学习的组织者、引导者与合作者导者与合作者”，其实好的教师应，其实好的教师应该是一个好导游，带着学生一起领该是一个好导游，带着学生一起领略他们看不到的、看不懂的美丽的略他们看不到的、看不懂的美丽的数学风光。数学风光。 引言引言 掌握数学的一个重要标志就是善于解题掌握数学的一个重要标志就是善于解题如何教会学生解题？如何教会学生解题？如何将教师的解题经验转化为学生的解

2、题如何将教师的解题经验转化为学生的解题能力？能力？引言引言 模仿模仿+ +练习练习+ +数学事实的接受数学事实的接受 【问题问题】1.1.数学是思维的体操，学数学一定数学是思维的体操，学数学一定能使人变聪明吗？怎样教、怎样学能使人变聪明吗？怎样教、怎样学数学才能使人更聪明？数学才能使人更聪明？2.2.中小学数学学科的价值是什么？中小学数学学科的价值是什么？引言引言 【问题问题】 数学思想方法可教吗？怎么教？数学思想方法可教吗？怎么教？ 数学思想方法仅仅是求解数学题的利器？数学思想方法仅仅是求解数学题的利器？ 案例案例 平行线距离公式的推导平行线距离公式的推导 案例案例 相似多边形的性质（二）相

3、似多边形的性质（二）引言引言 真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里的判断力会使他们想起如何将这些原理应用的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的细节，这时，你学到的知识才有价值。细节

4、，这时，你学到的知识才有价值。 【英英】怀特海怀特海教育的目的教育的目的引言引言 数学思想方法的作用，主要体现在它为数学思想方法的作用，主要体现在它为学生提供了有关如何学习、如何思考的学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。策略性知识。 中小学数学的功能是多重的，即作为知中小学数学的功能是多重的，即作为知识的数学和作为教育功能性的数学。识的数学和作为教育功能性的数学。引言引言 内容提要内容提要n如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法n中学数学中的数学思想方法中学数学中的数学思想方法n数学解决问题的基本方法数学解决问题的基本方法化归方法化归方法n高中数学思想方法教学案例分析高中数学思想方

5、法教学案例分析课程标准中关于数学思想方法的要求课程标准中关于数学思想方法的要求 高中数学课程标准的总目标高中数学课程标准的总目标 具体目标具体目标 “1.1.获得必要的数学基础知识和基本技能，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。们在后续学习中的作用。”新课标关于数学思想方法的变化新课标关于数学思想方法的变化 n基本的数学思想基本的数学思想双基双基四基四基基本思想

6、基本思想 基本活动经验基本活动经验【问题问题】 为什么作这样的修改？（案例为什么作这样的修改？（案例 求函数值域）求函数值域）新课标关于数学思想方法的要求新课标关于数学思想方法的要求 重数学方法的教学，却忽略数学思想重数学方法的教学，却忽略数学思想的提升，从数学思想的高度审视数学的提升，从数学思想的高度审视数学解法、方法不够，是中学数学思想方解法、方法不够，是中学数学思想方法教学突出的问题之一。法教学突出的问题之一。新课标关于数学思想方法的要求新课标关于数学思想方法的要求 【问题】【问题】 n基本的数学思想有哪些？为什么是基基本的数学思想有哪些？为什么是基本的？本的？n基本的数学思想与中学熟悉

7、的数学思基本的数学思想与中学熟悉的数学思想方法有什么关系？想方法有什么关系？n数学抽象的思想数学抽象的思想 其下能产生出分类思想，集合思想，其下能产生出分类思想，集合思想，数形结合思想，符号表示思想，对称数形结合思想，符号表示思想，对称思想，对应思想，有限与无限思想等。思想，对应思想，有限与无限思想等。 n数学推理的思想数学推理的思想 能派生出归纳思想，类比思想，逐步能派生出归纳思想，类比思想，逐步逼近思想，代换思想，特殊与一般思逼近思想，代换思想，特殊与一般思想，演绎思想，公理化思想。想，演绎思想，公理化思想。 n推理：合情推理与演绎推理。推理：合情推理与演绎推理。n合情推理是从已有的事实出

8、发，凭借合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。某些结果。n演绎推理是从已有的事实（包括定义演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。法则证明（包括逻辑和运算）结论。n推理能力的发展应贯穿在整个数学学推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。习过程中。【案例案例】 高考数列题高考数列题n数学建模的思想数学建模的思想 还能派生出函数思想，方程思想，还能派生出函数思想，方程思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计优化的思想，随机的思想，抽样统计思想等

9、。思想等。 如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法 问题问题1 1 数学思想与数学方法有什么不同？数学思想与数学方法有什么不同？ 【案例案例】如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法 问题问题2 2 数学知识、数学方法、数学思想存在数学知识、数学方法、数学思想存在怎样的关系？怎样的关系？如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法n数学思想是指对数学知识的本质和数数学思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点。学观点。n数学方法则是从数学的角度提出问题、数学方法则是从数学的角度

10、提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等手段、途径等如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法n “ “数学思想方法数学思想方法”是指对数学内容的是指对数学内容的本质认识，是数学的指导思想和一般本质认识，是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。方法、手段和途径。 如何认识数学思想方法如何认识数学思想方法n数学思想是观念的、全面的、普遍的、数学思想是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的深刻的、一般的、内在的、概括的n数学方法是操作的、局部的、特殊的、数学方法是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的表象的、具体的、程

11、序的、技巧的中学数学中的数学思想方法中学数学中的数学思想方法模型思想模型思想 、化归思想、类比思想、统、化归思想、类比思想、统计思、用字母代表数的思想、函数与映计思、用字母代表数的思想、函数与映射思想、分类思想、极限思想等。射思想、分类思想、极限思想等。中学数学中的数学思想方法中学数学中的数学思想方法（1 1）模型思想）模型思想 “ “建立和求解模型的过程包括：从现实生建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果问题中的数量关

12、系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。的兴趣和应用意识。”n数学模型就是研究者依据研究目的，数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。一种结构。n数学模型方法是借用数学模型来研究数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应原型的功能特征及其内

13、在规律，并应用于实际的一种方法。用于实际的一种方法。数学模型的分类数学模型的分类n从使用的工具，可分为微分方程模型，从使用的工具，可分为微分方程模型，概率模型，最优化模型等概率模型，最优化模型等n从涉及变量变化情况，可分为离散模从涉及变量变化情况，可分为离散模型，连续模型型，连续模型n从研究领域分，可分为人口模型，交从研究领域分，可分为人口模型，交通模型，生态模型，经济模型通模型，生态模型，经济模型（）化归思想：将待解决或未解决的（）化归思想：将待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题。解决的问题。 （）类比思想（）类比思想 在数学上根据两个或

14、两类对象之间在某在数学上根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方法称为类比法，它既包含从特殊到特殊，法称为类比法，它既包含从特殊到特殊，又包含从一般到一般的推理。又包含从一般到一般的推理。【案例案例】 等比数列求和公式等比数列求和公式 【案例案例】平面几何问题的类比平面几何问题的类比 n教师教学要重视引导回忆或重现可供教师教学要重视引导回忆或重现可供类比的问题，从中寻找类比的问题，从中寻找“经验性经验性”的的解题方法解题方法（）统计思想（）统计思想 统计思想就是在统

15、计初步知识中提炼统计思想就是在统计初步知识中提炼并掌握一些处理数据的方法，并用来并掌握一些处理数据的方法，并用来解决一些实际问题，统计思想可使学解决一些实际问题，统计思想可使学生认识到条件的可变性结论的不唯一、生认识到条件的可变性结论的不唯一、不确定、不可靠性，事物的多样性等不确定、不可靠性，事物的多样性等等都是普遍存在的。等都是普遍存在的。 （5 5）函数与映射思想）函数与映射思想 对应是人的思维对两个集合间问题联系的对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。把握，是现代数学的一个最基本的概念。函数思想是指用运动、变化、联系、对应函数思想是指用运动、变化、联系、

16、对应的观点，分析数学与实际生活中的数量关的观点，分析数学与实际生活中的数量关系，通过函数这种数量关系表示出来并加系，通过函数这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决的思想。以研究，从而使问题获得解决的思想。 【案例案例】 高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 存在问题存在问题n1.1.重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从数学思想的高度审视数学解法、方法不够数学思想的高度审视数学解法、方法不够n2 2 知识形成过程中，数学思想方法的立意突出不知识形成过程中，数学思想方法的立意突出不够，渗透、提炼不充分够，渗透、提炼不充分n3 3 思想方法

17、教学重解题应用，存在习题化的倾向思想方法教学重解题应用，存在习题化的倾向n4 4 数学思想方法教学存在注入式、标签式简单化数学思想方法教学存在注入式、标签式简单化教法教法高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 教学建议：教学建议： 1.1.思想方法教学要有计划、依规律思想方法教学要有计划、依规律. . （1 1）教师先要分析本教材、本节课要涉及教师先要分析本教材、本节课要涉及哪些思想方法？要达到何种层次？学生之哪些思想方法？要达到何种层次？学生之前该数学思想方法如何？一节课涉及多种前该数学思想方法如何？一节课涉及多种思想方法时，哪些是渗透、介绍和突出？思想方法时，哪些是渗透、介绍和突出？本节

18、课思想方法的线索是什么？本节课思想方法的线索是什么？高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 （2 2）教师要掌握不同教学阶段、内容教学规教师要掌握不同教学阶段、内容教学规律律n知识形成阶段：常用观察、实验、比较、知识形成阶段：常用观察、实验、比较、抽象、概括等抽象化、模型化思想方法，抽象、概括等抽象化、模型化思想方法，函数、方程、统计等思想方法。函数、方程、统计等思想方法。n知识结论推导阶段和解题教学：用分类讨知识结论推导阶段和解题教学：用分类讨论、化归、特殊化与一般化、类比等思想论、化归、特殊化与一般化、类比等思想方法。方法。n知识总结阶段：用公理化、结构化等思想知识总结阶段：用公理化、结

19、构化等思想方法。方法。 高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 n在解方程和解不等式中强调等价转换在解方程和解不等式中强调等价转换思想；思想；n在平面几何中渗透和介绍几何变换的在平面几何中渗透和介绍几何变换的思想方法、运动变化的观点；思想方法、运动变化的观点；n在立体几何中强调类比、化归等。在立体几何中强调类比、化归等。 高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 n将思想方法目标与教学环节的设计切实对将思想方法目标与教学环节的设计切实对应应. . 具体到：设计怎样的师生活动、情境创设、具体到：设计怎样的师生活动、情境创设、问题、习题、小结等问题、习题、小结等. .如何突出运用某种思如何突出运

20、用某种思想方法的必然性想方法的必然性. .比如，为什么会采用这个比如，为什么会采用这个思想方法、怎么用和什么时候用，应让学思想方法、怎么用和什么时候用，应让学生思辨悟到而不是贴标签地简单告知生思辨悟到而不是贴标签地简单告知. . 【案例案例】 数形结合思想数形结合思想高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 2. 2.在概念、公式教学的过程中要把在概念、公式教学的过程中要把数学思想方法作为重要的教学目标数学思想方法作为重要的教学目标. . 教师要珍视概念、形成过程中学生教师要珍视概念、形成过程中学生每一次思想方法学习的机会。比如，每一次思想方法学习的机会。比如，等差数列后研究等比数列时，体会等差数列后研究等比数列时，体会如何运用类比法。如何运用类比法。 【案例案例】两个平面平行的判定问题两个平面平行的判定问题高中数学思想方法教学高中数学思想方法教学 n教师要把对思想方法的思维示范，与教师要把对思想方法的思维示范，与学生独立概括相结合。学生独立概括相结合。 比如，可以先让学生做阅读批注先自比如，可以先让学生做阅读批注先自行提炼，教师再概括等行提炼，教师再概括等. . 在课堂小结、在课堂小结、单元总结或总复习中，对思想方法的单元总结或总复习中，对思想