高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： 以为圆心的同心圆系方程 过直线与圆的交点的圆系方程  过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方

2、程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 . 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程，则 故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线

3、上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过一定点p，并求p点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即，直线过定点p（9，4）注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆c：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mr）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆c截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m

4、（2x+y7）=0.得mr， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点a（3，1）.圆心c（1，2），ac5（半径），点a在圆c内，从而直线l恒与圆c相交于两点.（2）解：弦长最小时，lac，由kac，l的方程为2xy5=0.评述：若定点a在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或. 变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解析：利用数形结合.答案：1k1或k=例6 圆上到直线的距离为1的点

5、有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆的圆心为，半径设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意又与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点设所求直线为，则，即，或，也即，或设圆的圆心到直线、的距离为、，则，与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共3个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心到直线的距离为，则圆到距离为1的点有两个显然，上述误解中的是圆心到直线的距

6、离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1类型三：圆中的最值问题例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值(2)已知圆，为圆上任一点求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)(法1)由圆的标准方程可设圆的参数方程为（是参数）则（其中）所以，(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1所以所以(2) (法1)由得圆的参数方程：是参数则令，得，所以，即的最大值为，最小值为此时所以的最大值为，最小值为(法2)设，则由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由，得所以的最大值为，最小值为令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值由，得所以的最大值为，最小值为例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围设圆上任一点，恒成立