机械工程控制基础(第四章 系统的频率特性分析)

1、第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析机械工程控制基础机械工程控制基础Email：Tel:讲：陈林林主讲：陈林林聊城大学机械与汽车工程学院聊城大学机械与汽车工程学院第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析、引言、引言频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。析系统的特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的入下系统的瞬态响应瞬态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率频域分析：通过系统在不同频率w

2、w的谐波输入作用的谐波输入作用下的下的稳态响应稳态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。1 1、 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；响； 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。析工作将无法进行。 2 2、频域分析的目的、频域分析的目的频域分析频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数

3、与性能的关系。研究系统的结构参数与性能的关系。 无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解( (频率特性图频率特性图) )法法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析；易于实验分析； 优点：优点： 可推广应用于某些非线性系统（如含有延可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）；迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的系统。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析二、频率特性概述二、频率特性概述1 1、频率响应与频率特性、频率响应与频率特性 频率响应与频率特性的概念频率响应与频率特性

4、的概念22)()()()()()()()(sXsNsMsXsNsMsXsGsXiio)()()()()()(21npspspssMsNsMsG考虑线性定常系统：考虑线性定常系统：当正弦输入当正弦输入 x xi i( (t t)=)=X Xsinsin t t 时，相应的输出为：时，相应的输出为：对于稳定的系统，其特征根对于稳定的系统，其特征根- -p pi i具有负实部，此时其对具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。认为系统处于零初始状态。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析nno

5、psApsApsAjsAjsAsX2211)(假设系统只具有不同的极点，则：假设系统只具有不同的极点，则：AA,其中其中为一对待定共轭复常数为一对待定共轭复常数A Ai i( (i i = 1, 2, = 1, 2, , , n n) )为待定常数。为待定常数。)0( )(2121teAeAeAeAAetxtpntptptjtjon从而：从而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkrketjj如果系统包含有如果系统包含有r rj j个重极点个重极点p pj j，则，则x xo o( (t t) )将包含有类似：将包含有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随的这样一些项。对稳定的系统而言，

6、这些项随 t t 趋于无穷趋于无穷大都趋近于零。大都趋近于零。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析因此，系统的稳态响应为：因此，系统的稳态响应为：tjtjoeAAetx)(jjXGjssXsGAjs2)()()(22)()()()()(jjejGejGjGjjXGjssXsGAjs2)()()(22其中：其中：)(Re)(Im)()()()()(jGjGarctgjGejGjGj由于：由于：jeejGXtxtjtjo2)()()()(因此：因此：)()(sin)(sin)(jGXYtYtjGX第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析上式表明，上式表明，稳定的线性定常系统

7、在正弦激励下的稳态输出稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为| |G G( (j j )|)|，相位差为相位差为 G G( (j j ) )。显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。 q 频率响应频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。：系统对谐波输入信号的稳态响应。q 频率特性频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化稳态输出随频率而变化( ( 由由0 0变到变到 ) )的特性。

8、的特性。q 幅频特性幅频特性：当：当 由由0 0到到 变化时，变化时，|G|G( (j j )|)|的变化特性，记的变化特性，记为为A A( ( ) )。q 相频特性相频特性：当：当 由由0 0到到 变化时，变化时， G G( (j j ) )的变的变 化特性称为相频特性，记为化特性称为相频特性，记为 ( ( ) )。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。 2 2、频率特性与传递函数的关系、频率特性与传递函数的关系 jssGjG)()(3 3、频率特性求解、频率特性求解 频率响应频率响应-频率特性频

9、率特性22)(,1)(wswXsXTsKsGii例：系统传递函数)arctansin(1)()()()(22221TwwtwTKXtxwswXsGLtxioio频率响应，则稳态输出解：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析TwjioewTKTwwwTKXwXwAarctan22221arctan)(1)()(或故系统的频率特性为： 传递函数传递函数-频率特性频率特性正弦输入正弦输入x xi i( (t t)=)=X Xsinsin t t 作用下的频率响应。作用下的频率响应。 1)(TsKsG求一阶系统求一阶系统的频率特性及在的频率特性及在1)()(jTKsGjGjs解：解： 22

10、1)()(TKjGATarctgjG)()(第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析)sin(1)(22TarctgtTXKtxo对于正弦输入对于正弦输入x xi i( (t t)=)=X Xsinsin t t，根据频率特性的定义，根据频率特性的定义：由上式可见，当由上式可见，当T T 111时，时， A A( ( ) ) 1/ 1/T T ( ( ) ) -90 -90 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 几点说明几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、

11、传递函数一样反映递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。系统动态过程的规律性也全寓于其中。 q 应用频率特性分析系统性能的基本思路：应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶

12、积分表示的连续频多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。运动情况。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 频率特性的物理意义频率特性的物理意义：频率特性表征了系：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q ( ( ) )大于零时称为大于零时称为相角超前相角超前，小于零时称，小于零时称 为为相角滞后相

13、角滞后。t tx x( (t t), ), y y1 1( (t t), ), y y2 2( (t t) )x x( (t t) )y y1 1( (t t) )y y2 2( (t t) )0 0 1 1( ( ) ) 2 2( ( ) )4 4、频率特性表示方法、频率特性表示方法 解析表示（包括幅频相频，实频虚频）解析表示（包括幅频相频，实频虚频） 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 图示法图示法: : Nyquist Nyquist图图( (极坐标图，幅相频率特性图极坐标图，幅相频率特性图) ) Bode Bode图图(

14、 (对数坐标图，对数频率特性图对数坐标图，对数频率特性图) ) 5 5、频率特性的特点、频率特性的特点 q 频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。 q 频率特性是系统单位脉冲函数频率特性是系统单位脉冲函数w(t)w(t)的的FourierFourier变换。变换。 )()()()(, 1)()()()()()(),()()()()()(jwGtwFjwGjwXtFjwXtwtxttxjwXjwGjwXsXsGsXoioiioio即，故且时，而当，有由q 分析方便。分析方便。 q 易于实验提取。易于实验提取。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统

15、的频率特性分析二、频率特性的图示方法二、频率特性的图示方法1 1、频率特性的极坐标图、频率特性的极坐标图(Nyquist(Nyquist图、幅相频率特性图）图、幅相频率特性图） )()()()()()()(Im)(Re)(jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()()()()()(22PQarctgQPA，其中，其中，P P( ( ) )、Q Q( ( ) )分别称为系统分别称为系统的的实频特性实频特性和和虚频特性虚频特性。显然：。显然：在复平面上，随在复平面上，随 （0 0 ）的变化，向量）的变化，向量G G( (j j ) )端点的变化曲端点的变化曲线（轨迹），称为系统的线（轨迹），称为

16、系统的幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线。得到的图形称为。得到的图形称为系统的系统的奈奎斯特图或极坐标图奈奎斯特图或极坐标图。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析易知，向量易知，向量G G( (j j ) )的长度等于的长度等于A A( (j j ) )（| |G G( (j j )|)|）；由正实）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G G( (j j ) )方向的角度等于方向的角度等于 ( ( )()( G G( (j j ) )）。）。 2 2、波德、波德(Bode)(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频图（对数频率特性图，包括对数幅

17、频特性图和对数相频特性图）特性图和对数相频特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以1010为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 radrad/ /s s或或HzHz纵坐标：线性分度，表示幅值纵坐标：线性分度，表示幅值A A( ( ) )对数的对数的2020 倍，即：倍，即： L L( ( )=20log)=20logA A( ( ) )单位单位 分贝（分贝（dBdB）第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析特别特别：当当L L( ( )=0)=0，输出幅值，输出幅值输入幅值；输入幅值；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值输入

18、幅值输入幅值( (放大放大) )；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值 输入幅值输入幅值( (衰减衰减) )。q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特横坐标：与对数幅频特性图相同。性图相同。 纵坐标：线性分度，纵坐标：线性分度，频率特性的相角频率特性的相角 ( ( ) ) 单位单位 度度( ( ) )第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此 =0 =0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表

19、示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；所感兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般只标注此外，横坐标一般只标注 的自然的自然数值；数值； 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decadedecade或简写为或简写为 decdec；频率变化两倍；频率变化两倍的区间称为一个的区间称为一个二倍频程二倍频程，记为，记为octaveoctave或简写为或简写为octoct。它们也用。

20、它们也用作频率变化的单位。作频率变化的单位。可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等距的，等于倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。一个单位。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 通常用通常用L L( ( ) )简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L L( ( ) ) 为增益；用为增益；用 ( ( ) )简记对数相频特性。简记对数相频特性。 对数坐标的优点对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环

21、节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称 可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线； 将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，可以方便地确定系统的传递函数；可以方便地确定系统的传递函数；第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析1 1、比例环节、比例环节 三、典型环节的频率特性图三、典型环节的频率特性图传递函数：传递函数：G G( (s s)

22、= ) = K K频率特性：频率特性：G G( (j j ) = ) = K K = = KeKej j0 0实频特性：实频特性：P P( ( ) = ) = K K虚频特性：虚频特性：Q Q( ( ) = 0) = 0对数幅频特性：对数幅频特性：L L( ( ) = 20lg) = 20lgK K对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 0) = 0幅频特性：幅频特性：A A( ( ) = ) = K K相频特性：相频特性： ( ( ) = 0) = 0第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析比例环节的频率特性图：比例环节的频率特性图：Bode DiagramBode Diag

23、ram ( (radrad/ /secsec) ) ( ( ) )L L( ( )/ (dB)/ (dB)-20-200 02020404060601010-1-110100 010101 110102 2-180-180-90-900 0 9090 180180 20lg20lgK KK K0 0ReReImImNyquist DiagramNyquist Diagram第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2 2、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性：相频特性： ( ( ) = - arc

24、tg) = - arctgT T 幅频特性：幅频特性：2211)(TA第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2 2、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性：相频特性： ( ( ) = - arctg) = - arctgT T 幅频特性：幅频特性：2211)(TA第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 惯性环节的惯性环节的BodeBode图图 q 低频段低频段( ( 1/T ) 1/T ) 1/T )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20-20dB/de

25、c dB/dec 的直线，称的直线，称为为高频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg20)(22第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析转折频率转折频率-30-30-20-20-10-100 01010- -9090-45-450 01/T1/TL L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线-20dB/dec-20dB/decq 转折频率（转折频率（ 1/T )1/T )低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点

26、1/T1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析在转折频率处，在转折频率处，L L( ( ) ) -3 -3dBdB， ( ( ) )-45-45 。惯性环节具有低通滤波特性。惯性环节具有低通滤波特性。q 渐近线误差渐近线误差TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222-4-4-3-3-2-2-1-10 00.10.11 11010 T T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析3 3、一阶微分环节、一阶微分环节

27、对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg传递函数：传递函数：1)( ssG频率特性：频率特性：jarctgejjG2211)(对数幅频特性：对数幅频特性：221log20)(L幅频特性：幅频特性：221)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 一阶微分环节的一阶微分环节的NyquistNyquist图图 0 0ReReImIm =0 =0 = = 221arctgarctg1 1实频特性：实频特性：1)(P虚频特性：虚频特性：)(Q 一阶微分环节的一阶微分环节的BodeBode图

28、图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数数( ( = = T T ) )，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0 0dB dB 线对称，线对称，相频特性曲线关于零度线对称。相频特性曲线关于零度线对称。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。近线近似描述。0 0 10 10 20203030909045450 01/T1/TL

29、 L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )0.1/T0.1/T10/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec20dB/dec第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析4 4、 积分环节积分环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：211)(jejjG幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = -90) = -90实频特性：实频特性：0)(P虚频特性：虚频特性：1)(Q对数幅频特性：对数幅频特性：log20)(

30、L对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = -90) = -90第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 积分环节的积分环节的NyquistNyquist图图 0 0ReReImIm =0 =0 = = 积分环节的积分环节的BodeBode图图 -40-40-20-200 020200 0-45-45-90-90-135-135-180-1800.10.11 11010100100L L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )20dB/dec20dB/dec第四章第四章 系统的频

31、率特性分析系统的频率特性分析5 5、理想微分环节、理想微分环节 传递函数：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG实频特性：实频特性：0)(P对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 90) = 90虚频特性：虚频特性：)(Q对数幅频特性：对数幅频特性：log20)(L幅频特性：幅频特性：)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = 90) = 90 理想微分环节的理想微分环节的NyquistNyquist图图 0 0ReReImIm =0 =0 = = 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析-20-200 0202040400 04545909013513518

32、01800.10.11 11010100100L L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )20dB/dec20dB/dec 理想微分环节的理想微分环节的BodeBode图图 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析6 6、振荡环节、振荡环节 传递函数：传递函数：10,2121)(22222nnnssTssTsG频率特性：频率特性：nnnnnjjjG2112)(2222222211)(nnA幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：212)(nnarctg第四章第四章 系统的频率特性分

33、析系统的频率特性分析实频特性：实频特性：2222211)(nnnP虚频特性：虚频特性：222212)(nnnQ 振荡环节的振荡环节的NyquistNyquist图图 1)0()( AA0)0()(q = 0= 0时时 21)()(nAA90)()(nq = = n n时时 0)()( AA180)()(q = = 时时 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析Nyquist Diagram =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021 =0.3 = n第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析0 00.20.

34、2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 1 11.21.2 1.41.4 1.61.6 1.81.8 2 20 01 12 23 34 4 = 0.05= 0.05 = 0.15= 0.15 = 0.20= 0.20 = 0.25= 0.25 = 0.30= 0.30 = 0.40= 0.40 = 0.50= 0.50 = = 0.7070.707 = 1.00= 1.00 / / n nA A( ( ) )q 谐振现象谐振现象第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析又振荡环节的幅频特性曲线可见，当又振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，较小时，在在 = = n n附近，附近

35、，A A( ( ) )出现峰值，即发生出现峰值，即发生谐振谐振。谐振峰值谐振峰值 M Mr r 对应的频率对应的频率 r r 称为称为谐振频率谐振频率。由于：由于：222211)(nnAnuuuuf,)2()1 ()(222A A( ( ) )出现峰值相当于其分母：出现峰值相当于其分母：取得极小值。取得极小值。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析令：令：0844)(23uuuuf解得：解得：221u即：即：221nr显然显然 r r 应大于应大于0 0，由此可得振荡环节出现谐，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：振的条件为：707. 022谐振峰值：谐振峰值：2121)(rrAM0

36、 0 1 10 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910100 0101020203030404050506060707080809090100100 M Mr r ( (dBdB) )M Mp p ( () )M Mr rM Mp p第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 振荡环节的振荡环节的BodeBode图图 22221lg20)(nnLq 对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段( ( n n) )22221lg20)(nnL第四章第四章 系统的频

37、率特性分析系统的频率特性分析即高频渐近线为斜率为即高频渐近线为斜率为-40-40dB/dec dB/dec 的直线。的直线。两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 n n。即振荡环节的转。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。折频率等于其无阻尼固有频率。212)(nnarctgq 对数相频特性对数相频特性90)(n180)( 0)0(易知：易知：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析-180-180-135-135-90-90-45-450 00.10.11 11010 / / n n ( ( ) / (deg) / (deg) = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1

38、.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2 = 0.3= 0.3-40-40-30-30-20-20-10-100 010102020L L( ( )/ (dB)/ (dB)-40dB/dec-40dB/dec = 0.3= 0.3 = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2渐近线渐近线Bode DiagramBode Diagram第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析7 7、 二阶微分环节二阶微分环节 传递函数：传递函数：10, 12)(22sssG频率特性：频率特性：21)(22jjG幅频特性：

39、幅频特性：2222)2()1 ()(A相频特性：相频特性：2212)( arctg实频特性：实频特性：221)(P2)(Q虚频特性：虚频特性：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 二阶微分环节的二阶微分环节的NyquistNyquist图图 1)0()( AA0)0()(q = 0= 0时时 2)(A 90)(q = 1/= 1/T T时时 )(A180)(q = = 时时 2222)2()1 ()(A2212)( arctg第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析G G( (j j ) ) =0 =01 10 0 = = ReReImIm = 1/= 1/ 2 2 ，

40、Nyquist DiagramNyquist Diagram第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 二阶微分环节的二阶微分环节的BodeBode图图 2222)2()1 (lg20)(L2212)( arctg注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数互为倒数( ( 1/1/ n n ) )，根据对数频率特性图，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于频特性曲线关于 0 0dB dB 线对称，相频特性曲线对称，相频特性曲线关于零度线对称。线关于零度线对称。第四章第四章 系统

41、的频率特性分析系统的频率特性分析8 8、延迟环节、延迟环节 传递函数：传递函数：sesG)(频率特性：频率特性：jejG)(幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性：)(3 .57)()(rad对数幅频特性：对数幅频特性：0)(L第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析0 01 1 =0 =0ReReImIm Nyquist DiagramNyquist Diagram-600-600-500-500-400-400-300-300-200-200-100-1000 00.10.11 11010 ( (rad/srad/s) ) ( ( ) / (deg) / (deg)101

42、0L L( ( ) / (dB) / (dB)0 0-20-20-10-10第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析四、频率特性图绘制四、频率特性图绘制1 1、系统开环、系统开环NyquistNyquist图的绘制图的绘制 基本步骤基本步骤q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：联形式：)()()()(21sGsGsGsGn)()(2)(1)()()()()()(21njnjjjeAeAeAeAjGq 求系统的频率特性：求系统的频率特性：)()()(2121)()()(njneAAA第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析)()

43、()()()()()()(2121nnAAAA即：即：q 求求A A(0)(0)、 (0)(0)；A A( ( ) )、 ( ( ) )q 补充必要的特征点补充必要的特征点( (如与坐标轴的交点如与坐标轴的交点) )，根据根据A A( ( ) )、 ( ( ) ) 的变化趋势，画出的变化趋势，画出Nyquist Nyquist 图的大致形状。图的大致形状。 示例示例q 例例1 1：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 1)(1)(1()()(321sTsTsTKsHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环NyquistNyquist图。图。第四章第四章 系统的频率特性分析系统

44、的频率特性分析解：解：) 1)(1)(1()()(321TjTjTjKjHjG232222212111)(TTTKA221)(arctgTarctgTarctgT 0 0： A A(0)(0)K K ： A A( ( ) )0 0 (0)(0)0 0 ( ( ) )2702700 0ReReImImK K =0 =0 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析解：解：q 例例2 2：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 12 . 0)(15 . 0(10)()(ssssHsG绘制系统开环绘制系统开环NyquistNyquist图并求与实轴的交点。图并求与实轴的交点

45、。) 12 . 0)(15 . 0(10)()(jjjjHjG)04. 01)(25. 01 (10)(22A2 . 05 . 090)(arctgarctg 0 0： A A(0)(0) ： A A( ( ) )0 0 (0)(0)9090 ( ( ) )270270第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析0) 11 . 0(49. 0) 11 . 0(10)(2232QNyquistNyquist图与实轴相交时：图与实轴相交时：解得：解得：16. 310 j10（ 舍去）舍去）222) 11 . 0(49. 07)(P又：又：解得：解得：43. 1710)(jP-7-7-1.43

46、-1.43 0 0 ReReImIm0 0第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 例例3 3：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：)1()1()()(221sTssTKsHsG绘制系统的开环绘制系统的开环NyquistNyquist图。图。)1 ()1 ()(2222221TTKA解：解：) 1() 1()()(221TjTjKjHjG21180)(arctgTarctgT 0 0： A A(0)(0) (0)(0)180180 ： A A( ( ) )0 0 ( ( ) )180180第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 Nyquist Nyq

47、uist图的一般形状图的一般形状考虑如下系统：考虑如下系统：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq 0 0型系统（型系统（v v = 0= 0） 0 0： A A(0)(0)K K ： A A( ( ) )0 0 (0)(0)0 0 ( ( ) )( (n nm m) )9090ReReImIm 0 0K K n n=1=1n n=2=2n n=3=3n n=4=4 只包含惯性环节的只包含惯性环节的0 0型系统型系统NyquistNyquist图图0 0第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q I I型系统（型系统（

48、v v = 1= 1） 0 0： ： (0)(0)9090 ( ( ) )( (n nm m) )9090A A( ( ) )0 0A A(0)(0) ReReImIm 0 0 n n=2=2n n=3=3n n=4=4 0 0n n=1=1第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q II II型系统（型系统（v v = 2= 2） ： ( ( ) )( (n nm m) )9090A A( ( ) )0 0 0 0： (0)(0)180180A A(0)(0) ReReImIm 0 0 n n=2=2n n=3=3n n=4=4 0 0第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性

49、分析q 开环含有开环含有v v个积分环节系统，个积分环节系统，NyquistNyquist曲线曲线起自幅角为起自幅角为v v9090的无穷远处。的无穷远处。q n n = = m m时，时，NyquistNyquist曲线起自实轴上的某一曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。q n n m m时，时，NyquistNyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为 0 0 ，而，而相角为相角为( (n nm m) )9090。 n n- -m m=1=1n n- -m m=2=2n n- -m m=3=3n n- -m m=4=4ReReImI

50、m0 0第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2 2、系统开环、系统开环BodeBode图的绘制图的绘制 考虑系统：考虑系统：)()()()(21sGsGsGsGn)()()(jeAjG)()()(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 例例1 1已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环BodeBode

51、图。图。解：解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系统开环包括了五个典型环节：易知系统开环包括了五个典型环节：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析10)(1sGssG1)(315 . 0)(2ssG转折频率：转折频率： 2 2=2 =2 radrad/ /s s121)(4ssG转折频率：转折频率： 4 4=0.5 =0.5 radrad/ /s s10010100)(25sssG转折频率：转折频率： 5 5=10 =10 radrad/ /s s第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析10011025 . 090100110290

52、5 . 00)()()()()()(2254321arctgarctgarctgarctgarctgarctg1001001lg2041lg20lg2025. 01lg2010lg20)()()()()()(2222254321LLLLLL开环对数幅频及相频特性为：开环对数幅频及相频特性为：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100 ( ) / (deg)L( )/ (dB) (rad/sec)L1L2L3L4L5L( ) ( ) 1 2 3 4 5-20dB/dec-40-20-60 2 4

53、 5=10第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 Bode Bode图特点图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v v，斜率为斜率为2020v dBv dB/ /decdec。q 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：lg20lg20)(vKL当当 1 1 radrad/ /s s时，时，L L( ( )=20lg)=20lgK K，即最低频，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在段的对数幅频特性或其延长线在 1 1 radrad/ /s s时的数值等于时的数值等于20lg20lgK K。第四章第四章 系统

54、的频率特性分析系统的频率特性分析q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。点为各环节的转折频率。q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降对惯性环节，斜率下降 20dB/dec20dB/dec；振荡环；振荡环节，下降节，下降 40dB/dec40dB/dec；一阶微分环节，上升；一阶微

55、分环节，上升20dB/dec20dB/dec；二阶微分环节，上升；二阶微分环节，上升 40dB/dec40dB/dec。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 Bode Bode图绘制步骤图绘制步骤q 将开环传递函数表示为典型环节的串联：将开环传递函数表示为典型环节的串联：) 12)(1() 1() 12)(1() 1()()(112211112211sTsTsTsTsssssKsHsGqqqqvppppq 确定各环节的转折频率：确定各环节的转折频率：,2121TT并由小到大标示在对数频率轴上。并由小到大标示在对数频率轴上。q 计算计算20lg20lgK K，在，在 1 1 rad

56、rad/ /s s 处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于 20lg20lgK K 的点，过该点作斜率等于的点，过该点作斜率等于 -20-20v dBv dB/ /decdec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频的直线，向左延长此线至所有环节的转折频 率之左，得到最低频段的渐近线。率之左，得到最低频段的渐近线。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折折 频率改变一次渐近线斜率。频率改变一次渐近线斜率。q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。q 相频特性曲线由各环节的相频

57、特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 例例2 2已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 101. 0)(105. 0)(15() 15 . 0(100)()(sssssHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环BodeBode图。图。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析解：开环增益解：开环增益K K100100，20lg20lgK K4040各环节转折频率分别为：各环节转折频率分别为：sradsradsradsradTTT/100,/20/2,/2 . 03211Bode DiagramBode Diagram-80-80-60-60-40-40-20-200 0202040406060-180-180-135-135-90-90-45-450 045459090 ( (radrad/ /secsec) ) ( ( ) / (deg) / (deg)L L( ( )/ (dB)/ (dB)0.20.22 220201001000 0-20-200 0-20-20-40-40第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析五、频率特性的特征量五、频率特性的特征量1 1、零频幅值、零频幅值A(0) A(0) 它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值它表示当频率在接近于零时，闭环系统