大学物理(l-1)2-7 力矩 转动定律 转动惯量

1、第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版1Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一、力矩一、力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF2-7刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 单位：单位：N.m第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版2zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向

2、的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFF第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版3O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版4Oirimz二二 转动定律转动定律iFiiiiiFfma M 把刚体看成由无数把刚体看成由无数质点构成的质点系质点构成的质点系imimOMimifii

3、rimirimiirimMiirim沿自然坐标系切向分解沿自然坐标系切向分解sinsiniiiiii iFfmamr 2(sin)(sin)()i iii iii iiiiFrf rmr第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版5jkkjff和合外合外力矩力矩(sin)i iiiMFrkm任取任取jm是一对作用力和反作用力是一对作用力和反作用力jkkjff 0jkkjMM(sin)0i iiif r第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版6 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚

4、体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.2()i iiMm r转动定律转动定律MJ刚体对给定转刚体对给定转轴的转动惯量轴的转动惯量2()i iiJmr第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版7讨论讨论ddMJJt（2）（4） =常量常量M，0转动定律转动定律MJ( (1) ) , 与与 方向相同方向相同 MJM( (5) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF MJ第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版8三转动惯量三转动惯量 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kg

5、m21、物理意义：、物理意义：转动惯量是量度刚体转动转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量惯性大小的物理量2、 转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 2i iiJmr第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版9v 质量离散分布质量离散分布2221 12 2i iJmrmrm rv 质量连续分布质量连续分布22222di iiJmrr mr dlr dsr dV ：质量元：质量元md 质量线分布质量线分布 质量面分布质量面分布 质量体分布质量体分布第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版10 例例1 求长为求长为L质量为质量为m 的均

6、匀细棒对图的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。中不同轴的转动惯量。ABLxdm解解: 取如图坐标，取如图坐标，dm = dx3/d202mLxxJLA第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版1112/d2222mLxxJLLCABL/2L/2CxdmACJmLmLmLLmJ222231411212第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版122mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量

7、转轴的转动惯量CJmddCOm第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版13 求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量？的转动惯量？(棒长为棒长为L、圆盘半径为、圆盘半径为R）2131LmJLL221RmJoo.2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL(棒对边缘轴棒对边缘轴) (圆盘对中心轴圆盘对中心轴)(圆盘对棒边缘轴圆盘对棒边缘轴)第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版14P2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2mdJJc第第4章章

8、刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版15刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的质量与刚体的质量有关；有关；（2）与刚体的质量分布与刚体的质量分布有关；有关；说说 明明说说 明明第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版16例例1 试求阿特武德机两试求阿特武德机两侧悬挂的质量为侧悬挂的质量为m1、m2 的重物的加速度、滑轮的重物的加速度、滑轮角加速度及绳中的张力角加速度及绳中的张力,如图。如图。 已知均质滑轮半已知均质滑轮半径为径为R，质量为，质量为M, 假设假

9、设绳为不可伸缩的轻绳绳为不可伸缩的轻绳,绳绳与滑轮间无滑动与滑轮间无滑动,且滑轮且滑轮轴处的摩擦不计。轴处的摩擦不计。1m2mMR四、转动定律的应用四、转动定律的应用第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版17解解 以地面为参考系，以地面为参考系，受力如图受力如图12T RT RJamgmT222111m gTm aaR221MRJ gm1gm2MR2T1T2T1Taa滑轮滑轮 重物重物m1 重物重物m2 辅助方程辅助方程 转动惯量转动惯量 第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版181212112mmgRmmMgMmmmma21

10、2121gMmmMmmmT21212211211gMmmMmmmT21212212212联立上述方程，得联立上述方程，得 第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版19例例2 质量为质量为M1 = 24kg的鼓形轮，可绕水平的鼓形轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为一端通过质量为M2 =5kg 的圆盘形定滑轮悬的圆盘形定滑轮悬有有 m=10kg的物体。求当重物由静止开始下的物体。求当重物由静止开始下降了降了h=0.5m时时,（1）物体的速度；（）物体的速度；（2）绳）绳中的张力。中的张力。 假设绳为不可

11、伸缩的轻绳假设绳为不可伸缩的轻绳,绳与绳与滑轮间无滑动滑轮间无滑动,且滑轮轴处的摩擦不计。且滑轮轴处的摩擦不计。第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版20解解 用用隔离法分别对各物体作受力分析，隔离法分别对各物体作受力分析，如图所示如图所示1MRrR R R Rr r r r2MR1T2Tr1T2Tmg第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版212(1)mgTma2122(2)T rTrJ111(3)T RJ1(4)aR2(5)ar2Tr1TR1T2Tmg第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版2

12、2联立求解得：联立求解得：21241()2mgam sMMm111482TM aN2()58Tm gaN122ahm sv第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版23 例例3 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不

13、计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版24解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版25amFAT1amFg

14、mBT2BT2T1RFRFJaRyOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版262CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版27如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF第

15、第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版28动力学中第一类问题：在恒力、恒力矩动力学中第一类问题：在恒力、恒力矩作用下，建牛顿第二定律、转动定律方作用下，建牛顿第二定律、转动定律方程。程。具体步骤：具体步骤：（1）隔离物体受力分析）隔离物体受力分析（2）选择正方向）选择正方向（3）平动建牛顿方程，定轴转动建转动）平动建牛顿方程，定轴转动建转动定律方程定律方程（4）建关联方程）建关联方程（5）联立求解）联立求解第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版29mdlL例例4 一根长一根长L、质量为、质量为m的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其一

16、端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置。求直平面内转动，最初棒静止在水平位置。求它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解解在棒上距转轴在棒上距转轴o o为为 处处取线元取线元ldl该线元的质量为该线元的质量为对转轴所产生的重力矩为对转轴所产生的重力矩为cosmdMdl g lL第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版30整个细棒对转轴所产生的重力矩为整个细棒对转轴所产生的重力矩为01coscos2LmMg ldlmgLL由转动定律由转动定律MJ21cos3 co

17、s2123mgLMgJLmL第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版31dddddtddtd由由得得dddddtddtd得得由由dddddtddtd得得3 cos2dgdL003 cos2gddL 3 singL第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版323 cos2gL3 singL讨论讨论细棒转动到竖直位置时细棒转动到竖直位置时03gL细棒处于水平位置时细棒处于水平位置时32gL0第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版33动力学中第二类问题：在变力矩作用下，动力学中第二类问题：在变力矩作用下，

18、建转动定律方程，得到一微分方程。建转动定律方程，得到一微分方程。第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版34 例例2 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为动设唱片的半径为R，质量为，质量为m，它与转，它与转盘间的摩擦系数为盘间的摩擦系数为 ，求：，求：( (1) )唱片与转盘唱片与转盘间的摩擦力矩；间的摩擦力矩； ( (2) )唱片达到角速度唱片达到角速度 时需时需要多长时间；要多长时间；( (3) )在这段时间内，转盘转了在这段时间内，转盘转了多少圈？多少圈？第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学理学第二版第二版35RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如图取面如图取面积元积元ds = drdl，该面元，该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为lrrRmgfrddd2第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物大学物理学