工程应用数学电子教案第三章 拉普拉斯变换

1、引子引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用matlab进行拉普拉斯运算引子拉普拉斯变换的作用拉普拉斯变换的作用（1）求解常系数线性微分方程的有力工具 （2）分析和综合自动控制系统的运动过程 和脉冲电路的工作过程中有广泛应用 拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的概念常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换表的使用拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用matlab进行拉普拉斯运算引例引例 )(tc在研究激励和响应系统之间的关系时

2、（建立的函数关系式通常是一种线性微分方程），主要是通过研究传递函数（响应函数 的拉普拉斯变换与激励函数 的拉普拉斯变换之比），建立微分方程模型解决问题的，因此，拉普拉斯变换是经典控制理论的数学基础.)(tr在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势 看成这个系统随时间 变化的输入函数，称为激励函数激励函数 ，而把电容器 两端的电压 看成是系统随时间 变化的输出函数，叫做响应函数响应函数 ，如图.)(tetc)(tr)(tut)(tc激励系统特性响应引例引例 转化为拉普拉斯变换后解决问题转化为拉普拉斯变换后解决问题 那么什么叫拉普拉斯变换呢？那么什么叫拉普拉斯变换呢？在电气工程学科中还经

3、常会出现 的积分问题，但由于 是发散的，因此无法进行计算，在这种情况下，一般都是通过将函数 乘上因子 变成绝对可积函数后解决问题的. xsindxxsin)(tf)0(pept拉普拉斯变换的实质是什么呢？拉普拉斯变换的实质是什么呢？ 定义定义 若函数)(tf的广义积分0)(dtetfpt在p的某一范围内的值收敛， 那么称这个关于p的函数)(pf为函数)(tf的拉普拉斯变换，通常 记作 0)()(dtetftflpt或0)()(dtetfpfpt有时也称)(tfl为)(tf的象函数象函数，反之称)(tf为)(tfl的象原函数象原函数 注意：（1）为了研究方便，一般拉氏变换中)(tf定义为000)

4、()(tttftf （2）拉氏变换的本质是一种积分变换积分变换（3）其中)0()(lim)()(00faftfdttfa 例如： 1ln|lnlim0|1|ln110axdxxa又如： 4141)2(lim410)4121(222202aaaxxxeaeexedxxe引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用matlab进行拉普拉斯运算求一个给定函数的拉氏变换，可用 方法二：基本公式法基本公式法 方法三：性质法性质法 方法一：定义法定义法 方法二：基本公式法基本公式法 方法三：性质法性质法 方法一：定义法定义法 例例 ttf)(求函数 的

5、拉氏变换0110ptptteedtpp 210ptep 001 ( ) ptptl f tl ttedttdep 解解 由拉氏变换的定义 2211limpttepp 21p案例案例 在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变等原因，系统中经常会出现一个“突加作用信号”，用函数 表示，如图.0100)(tttu试求它的拉氏变换.解解 由拉氏变换的定义 0 ( )ptl u tedt011()0ptptedptepp 1p注意注意: : 1、这个结论成立的条件是 ，否则积分不收收敛0p 2、单位阶跃函数向右平移 个单位后，解析式为 a0()1tau tata案例案例 在研究跟随系统时，经常以一种

6、由弱到强做均匀变化的信号作为典型的输入信号，这种信号函数称为斜坡函数，记为： （ 为常数），试求该函数的拉氏变换. ( )f tata00ptptataeedtpp 解解 由拉氏变换的定义 0 ( )ptl f tatedt2200ptaaepp 同样，结论成立的条件是0p 在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用单位脉冲函数 表示，如图.001( )00tttt 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流，机械系统受冲击力作用后的运动情况等也要用到，它的拉氏变换等于 1注意：注意： 单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数，反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数例例试求单位脉冲

7、函数的拉氏变换 0 ( )( )ptltt edt01ptedt011lim0ptep011limpep01(1)limpep01lim1ppep1解解例例求函数 的拉氏变换 ( )sinf tt解解0 ( )( )sinsinptl f tf pltt edt22( sincos)0ptepttp 2222( sincos)limpaaepaapp 220p 22(0)pp例例解解30 ( )( )(1)ptl f tf ptedt30(1)pttedt2311(1)0ptptteepp 2311(1)0ptptteepp 3322114ppeepppp根据定义求函数 的拉氏变换 1)( t

8、tf方法二：基本公式法基本公式法 方法三：性质法性质法 方法一：定义法定义法 序 号 函 数 拉 氏 变 换 序 号 函 数 拉 氏 变 换 1 )(t 1 1 1 )sin ( t 22co ssinpp 2 )(tu p1 1 2 )co s( t 22sinco spp 3 t 21p 1 3 ttsin 222)(2pp 4 ),2,1(ntn 1!npn 1 4 ttco s 22222)(pp 5 a te ap 1 1 5 tea tsin 22)(ap 6 a te1 )(appa 1 6 tea tco s 22)(apap 7 a tte 2)(1ap 1 7 )co s1

9、(12ata )(122app 8 ),2,1(neta tn 1)(!napn 1 8 b ta tee )(bpapba 9 tsin 22p 1 9 t2 pp1 1 0 tco s 22pp 2 0 t1 p1 方法二：基本公式法基本公式法 方法三：性质法性质法 方法一：定义法定义法 引例引例 在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响，我们经常会碰到信号强弱跳动的情况，因此常用分段信号函数 表示这种情况，试将它用一个式子表示出来 tttttf0cos)(12345-112345解解 根据单位阶跃函数的性质知 tttttutut 或000cos)()(costttttu0)(所以有

10、 )()cos()(cos)()()(cos)(tuttttuttutututtf那么如何求该函数的拉氏变换呢？ 一般地，利用拉氏变换的性质求解复杂函数的拉氏变换 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 性质性质1 1【线性性质线性性质】若 为常数，函数 的拉氏变换存在，且 21aa 、)()(21tftf、)()()()(2211pftflpftfl，则 )()()()(22112211pfapfatfatfal表明：函数线性组合的拉普拉斯变换等于函数拉普拉斯 变换的线性组合。性质1可以推广到有限个函数的线性组合形式。 例例 求)1 (1)(ateatf的拉普拉斯变换。 解解 ) 1 (11 1)1

11、(1)(atatatellaelaealtfl查公式法的表可知 pl1 1 apelat1所以 )(1)11(1)1 (1)(appappaealtflat例例 解解 求ttf2cos2)(2的拉普拉斯变换。 4cos 1 4cos1 2cos2)(2tlltltltfl1614cos 1 )(2ppptlltfl查公式法的表可知 pl1 1 164cos2pptl)16(16222ppp性质性质2 2【位移性质位移性质】若函数)(tf的拉氏变换存在，且)()(pftfl， 则)()(apftfelat 表明:将函数)(tf乘以ate，其拉氏变换等于将)(tf 的拉氏变换)(pf平移a个单位

12、例例 解解 attetf)(求 的拉普拉斯变换因为 21ptl所以，由性质2知 )(atteltfl2)(1ap例例 解解 tetft4sin)(2求 的拉普拉斯变换因为 1644sin2ptl所以，由性质2知 4sin)(2teltflt16)2(42p性质性质3 3【延滞性质延滞性质】若函数)(tf的拉氏变换存在，且)()(pftfl， 则)()(pfeatflap 表明：当函数)(tf在时间上滞后a个单位时，它的拉氏变换要乘上ape 为突出滞后的特点，此性质可表为)()()(pfeatfatulap 例例 解解 atatatu10)(求 的拉普拉斯变换由滞后性质及 ptul1)(apep

13、atul1)(例例 解解 求图示阶梯函数的拉普拉斯变换该阶梯函数可用单位阶梯函数表示为： )2()()()(atuatutuctf t 43 c 2 c c o a 2 a 3 a f(t) )2()()()(atulatultulctfl)111(2apapepeppc)1 (2apapeepc)0(11pepcap 上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质及滞后性质，得性质性质4 4【微分性质微分性质】若)()(pftfl，且)(tfl存在，则)0()()(fppftfl 表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换乘以参数 ，再减去该函数的初值p若)(tf二阶可导，则有)0

14、()0()()(2fpfpfptfl 若)(tfn阶可导，则有 )0()0()0()()()1(21)(nnnnnffpfppfptfl特别地，当0)0()0()0()(nfff时， )()()(pfptflnn类似地， ), 1 , 0()() 1()()(npftftlnnn利用微分性质及其推论，可将函数 的微分方程转化为象函数的代数方程，给解微分方程提供了简便的方法)(tf例例 4sinttl求) 4sin() 1(4sin1tlttl解解 )164(2p222)16()16(4pp22)16(8pp例例 ttfsin)(利用微分性质求函数 的拉氏变换解解 ,cos)(ttf)0(, 0

15、)0(ffttfsin)(2 sinsin)(22tltltfl )0()0()()(2fpfpfptfl 由微分性质 sin)(2tlptfl22sinptl得例例 2sin3tetlt求解解 422sin2ptl)()(apftfelat根据拉普拉斯变换的位移性质 )() 1()()(pftftlnnn4)3(22sin23ptelt根据微分性质 4)3(22sin23ptetlt2224)3(4)3(2pp224)3()3(4pp性质性质5 5【积分性质积分性质】若)()(pftfl，则ppfdttflt)()(0 表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换除以 p类似地，

16、pdfttfl)()(0p特别地，当 时， 000)()()(dtttfdtettfttfltpdfttfl)()(00)()(dfdtttf例例 )()(为整数mttfm求函数 的拉氏变换解解 ,0tdtt,202ttdtt,3023tdttttmmdttmt01，201 1 ppldtltlt所以由积分性质 3202! 21222pppptltdtltlt42023! 333pptldttltlt1101!mmtmmpmptmldttmltl例例 解解 dtteett032求00)()(dfdtttf根据性质 dttedttedtteetttt0302032pdfttfl)()(又根据性质

17、 ,21002ddttetddttet00331dttedttedtteetttt0302032dd003121032ln32ln性质性质6 6【相似性质相似性质】若函数)(tf是可积函数，则)0)(1)(aapfaatfl 案例【系统稳定性案例【系统稳定性】在自动控制系统中，为研究系统的稳态性能（即函数在 时的数值），因此经常需要求函数的初始值和终值。t性质性质7 7【初值定理初值定理】若)()(pftfl，且函数)(tf是连续可导，则 )(lim)(lim0ppftfpt 或 )(lim)0(ppffp 性质性质8 8【终值定理终值定理】若)()(pftfl，则 )(lim)(lim0pp

18、ftfpt 或 )(lim)(0ppffp 例例 解解 ),0(1)(aaptfl设 求)0(),(ff 1lim)(lim)0(appppffpp0lim)(lim)(00appppffpp例例 解解 ,)2)(1(32)(ttttf设 求)0(),(ff 23)2)(1(32lim)(lim)0(00ttttfftt0)2)(1(32lim)(lim)(ttttfftt引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用matlab进行拉普拉斯运算引例引例 在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统，其输入信号为单位阶跃函数，为研究系统输

19、出信号的变化规律，需要掌握该系统的响应函数（输出信号函数）. 解解 根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为)()()(trtcdttdct为输出信号 为输入信号)()(tctr，件为零为时间常数，其初始条t对微分方程两边进行拉氏变换，且设 )()(),()(pctclprtrl由于系统为典型一阶系统， pprtutr1)(),()(tpptpppc111)1(1)(已求出了输出信号函数的拉氏变换，那么如何求输出信号函数呢 ？ )(tc由)0()()(fppftfl，初始条件为零（即0)0(c） ，得 )()()0()(prpccppct)()()1(prpctp拉氏逆变换的求法 定义

20、定义 )()(1pfltf记为由拉氏变换的象函数 求原函数 的运算称为拉氏逆变换拉氏逆变换（或拉氏反变换）（或拉氏反变换）)( pf)(tf拉氏逆变换的性质拉氏逆变换的性质性质性质1 1【线性性质线性性质】性质性质2 2【平移性质平移性质】性质性质3 3【延滞性质延滞性质】)()()()(21211122111aflapflaafapfal)()(1tfeapflat)()()(1atuatfpfelap拉普拉斯逆变换的求法拉普拉斯逆变换的求法直接查表法性质法例例 解解 ,21)(ppf求下列函数的拉氏逆变换)2)(1(3)(pppfteplpfl21121)(1）将 代入公式表中的公式5，得

21、 2a1121)(11pplpfl2) 因为1121)2)(1(3)(pppppf112111plplttee2例例 解解 ,)3(3)(pppf求下列函数的拉氏逆变换252)(pppftepplpfl3111)3(3)(1）由公式 知ateappal1)(1tpltupl1),(12112)151252)(211211plplpplpfl1512)(2111plplpflttu5)(2如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把象函数分成若干个简单象函数之和，然后再逐项查表（或应用拉氏变换的性质）求象原函数。tips:在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到的象函数是有理分式 .

22、对于有理分式，一般可采用部分分式方法将它分解为较简单的分式之和，方法如下：)()(pvpu第一步第一步 0)(pv先求出方程 的根 nppp，21第二步第二步 如果 没有重根，则将 写成 0)(pv)()(pvpu)()()()()(21npppppppupvpu再将上式展开成部分分式nnppcppcppcpvpu2211)()(其中 为待定常数.通过查表就可以求得象函数的象原函数. nccc，21如果 有重根，如 是 重根，则将 写成 0)(pv)()(pvpu1pr)()()()()()(21nrpppppppupvpu再将上式展开成部分分式nnrrppcppcppcppcppcpvpu2

23、2112112111)()()()(例例 解解 ,6552)(2ppppf求下列象函数的逆变换223)(2ppppf1）2131)3)(2(526552)(2pppppppppf2131)()(11pplpfltf213111plplttee232)1)1(41)1(11)1(41)(222ppppppf因为有理式 的分母无实根，所以无法用部分分式法把它分解成几个简单象函数的和，于是 223)(2ppppf1)1(41)1(1)(2211ppplpfl1)1(41)1(12121plppltetettsin4cos注意注意: : 一般地 cbpap2因式分解法配方法例例 解解 pppppf22

24、4)(232求象函数 的逆变换)22(22223pppppp因为分母 中， 的222pp0)22()4()22(2)(222ppppppppf22422pppp1) 1(3122ppp1) 1(31) 1(1222ppppteteppppppplpflttsin3cos2)22()4()22(2)(22211查表 teaplteapapltuplatatsin)(,cos)(),(12212211引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用用matlab进行拉普拉斯运算用拉普拉斯变换解微分方程 拉氏变换求拉氏变换求解解微分方程的步骤：微分方程

25、的步骤： 1)对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程； 2)由代数方程求象函数； 3)对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的解). 用图表示如下：用图表示如下： 微分方程微分方程象函数的代数方程象函数的代数方程 象原函数象原函数( (原方程的解原方程的解) )象函数象函数取拉氏变换取拉氏变换解代数方程解代数方程取拉氏逆变换取拉氏逆变换例例 解解 0,0)(4)( ttxtx求微分方程 ， 满足初始条件 的特解4)0(,2)0(xx对方程两边进行拉氏变换，且设 )()(pxtxl由拉氏变换的微分性质知),0()()(fppftfl)0()0()()(2fpfpfptfl 0)(4

26、)0()0()(2pxxpxpxp0)(442)(2pxppxp由初始条件为 得 4)0(,2)0(xx)( px解出 ，并分解象函数，得 4442442)(222ppppppx两边取拉氏逆变换，得 4442)()(2211ppplpxltx44422121plppl)2sin2(cos2tt 运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要： )0()()()1fppftfl)0()0()()()22fpfpfptfl )0()0()0()()()3)1(21)(nnnnnffpfppfptfl例例 解解 xyycos求微分方程 满足初始条件 的解0)0(y对方程两边进行拉氏变换，且设 )(

27、)(pyxyl,cosxlyylcosxlylyl1)()0()(2pppyyppy0)0(y)1)(1()(2ppppy)1)(1()1()1)(11)1)(1(2222pppcpbappcbppappp设)1)(1()()()(22ppbcpabpca由此得 21,21,21cba1)1(21121)()(211ppplpylxy1121121112121211plpplplttetsin21cos2121例例 解解 tyxytyxx22求微分方程组 满足初始条件 的解4)0(,2)0(yx对方程组中每个方程的两边进行拉氏变换，且设 )()(),()(pytylpxtxl)0()()(fp

28、pftfl根据 得 221)()(2)0()(1)(2)()0()(ppypxyppyppypxxppx代入初始条件 ，整理得象函数的代数方程组 4)0(,2)0(yx41)()1()(221)(2)()1(22ppyppxppypxppppppypppppx913111)3(928)(913111)3(928)(22解此代数方程组，得 对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数9131928)(9131928)(33teetyteetxtttt它们就是原方程组满足初始条件的特解. 案例案例【系统响应系统响应】已知响应函数的拉氏变换为 ，试求系统的响应. tpptpppc111)1(1)(111)()

29、(111tplplpcltc解解 ttetpltupl11, 1)(111查表知 ttetc 1)(案例案例【斜坡【斜坡系统响应系统响应】求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数的一阶线性系统响应 )()()(trtcdttdct解解 根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为：，为输出信号 为输入信号)()(tctr件为零为时间常数，其初始条t)()(),()(pctclprtrl对微分方程两边进行拉氏变换，且设 )0()()(fppftfl由 ,初始条件为零（即 ）得0)0(c)()()0()(prpccppct)()()1(prpctp由于系统为典型一阶系统， 21)(,)(ppr

30、ttr11)1(1)(222tptptptpppc对上式两边拉氏逆变换，得 tttetttc)(案例案例【电路应用电路应用】在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一个如图所示的电路,其中电阻为 ,电感为 ,电压为 ,开关 合上后，电路中有电流通过，试求该电子元件的电路中电流 的变化规律. 10rhl2tvu5sin50s)(ti解解 由回路电压定律知 uuucrdtdiluriucr，而ttidtdi5sin50)(102)()(pitil对方程两边进行拉氏变换，并设 25525)(5)0()(2ppiipip0)0(i代入初始条件 ，整理后得 252252525525)25)(5(125

31、)(222pppppppittetit5sin255cos2525)(5两边进行拉氏逆变换，得)45sin(225255tet即为所求的电流变化规律 案例案例【质点位移【质点位移】设一质量为 的质点，受一大小为 的吸引力作用，沿轴 方向接近原点，此运动同时受到阻尼力 的作用，求质点的运动位移 .假设 .m)0(kkxx)0(dtdx)(txmkvxxx4,)0(,)0(200 xo弹fx解解 根据题意建立微分方程，得 ),2(022222mkmaxdtdxadtxd其中对方程两边同时进行拉氏变换，且设并将初始条件代入得)()(pxtxl0)()(2)(20002pxxppxavpxpxp0,4222amk两边取拉氏逆变换得 )()()(200011apaxvapxlpxltxatatteaxvex)(000小 结拉普拉斯解应用问题的步骤： （1）根据专业知识，建立数学模型（列出微分方程）； （2）对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；（3）由代数方程求象