复变函数第五章第二节

1、第二节第二节 解析函数的有限孤立奇点2. 孤立奇点的性质3. Picard定理4 . Schwarz引理1. 孤立奇点的分类1. 1. 孤立奇点的分类孤立奇点的分类.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)( 如如a为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点,则则f(z)在在a的某去心邻域的某去心邻域K-a内可以展成罗朗级数内可以展成罗朗级数则称则称为为f(z)在点在点a的的正则部分正则部分,而称而称1nnnazc)(为为f(z)在点在点a的的主要部分主要部分。定义定义5.35.3 设设a为为f( (z) )的孤立奇点的孤立奇点. (1). (1)如果如果f(z)在点

2、在点a的主要部分为零的主要部分为零, ,则称则称a为为f(z)的的可去奇点可去奇点;(2);(2)如如果果f(z)在点在点a的主要部分为有限多项的主要部分为有限多项, ,设为设为则称则称a为为f(z)的的m阶极点阶极点，一阶极点也称为，一阶极点也称为简单极点简单极点； (3)如果如果f(z)在点在点a的主要部分有无限多项的主要部分有无限多项,则称则称a为为f(z)的的本性奇点本性奇点.),0()()(11)1( mmmmmcazcazcazc定理定理5.35.3 若若a为为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的孤立奇点，则下列三条是等价的的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。因此，它们

3、中的任何一条都是可去奇点的特征。)()(limbzfaz (2)(1) f(z)在点在点a的主要部分为零的主要部分为零; (3) f(z)在点在点a的某去心邻域内有界的某去心邻域内有界。2.2.可去奇点的性质 Razazcazcczf02210 0limczfaz证 (1) (2). 由(1)有因此因此(2) (3). 因,|)(|,|0:, 0, 0bzfazz有则 bzfazlim的去心邻域内有界。在即有于是azfbzf)(,| )(|,(3) (1). 因主要部分的系数其中 ,可任意小，故 daficnn121a: nnnnMMdafc2212111, 210，ncnSchwarz引理引

4、理 如果函数如果函数f(z)在单位圆在单位圆|z|1内解析内解析,并且满足条件并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，则在单位圆，则在单位圆|z|1内恒有内恒有|f(z)|z|,且有且有 .3. 施瓦茨施瓦茨(Schwarz)(Schwarz)引理引理如果上式等号成立如果上式等号成立,或在圆或在圆|z|1内一点内一点z00处前一式等号成立处前一式等号成立,则则(当且仅当当且仅当)其中其中为一实常数为一实常数.),|(|)(1zzezfi1| )0(| f4. 极点的性质);()(01 mmmcazcazcmazzzf)()()(定理定理5.4 如果如果f(z)以以a为孤立奇点，

5、则下列三条是等价为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。阶极点的特征。(1) f(z)在在a点的主要部分为点的主要部分为(2)f(z)在点在点a的某去心邻域内能表示成的某去心邻域内能表示成其中其中(z) 在点在点a的邻域内解析的邻域内解析, ,且且(a)01 (3) ( )( )g zf z以点以点a为为m阶零点。阶零点。注意注意 第第(3)条表明：条表明：f(z)以点以点a为为m阶极点的充要条件是阶极点的充要条件是以点以点a为为m阶零点。阶零点。)(1zf定理定理5.5 f(z)的孤立奇点的孤立奇点a为极点为极点)(limzfa

6、z.)(lim )()(lim不不存存在在，即即有有限限数数广义zfbzfazaz定理定理5.65.6 f( (z) )的孤立奇点的孤立奇点a为本性奇点为本性奇点5. 5. 本性奇点的性质本性奇点的性质定理定理5.75.7 若若z= =a为为f( (z) )的本性奇点的本性奇点, ,且在点且在点a的的充分小去心邻域内不为零充分小去心邻域内不为零, ,则则z=a亦必为亦必为)(zf1的本性奇点的本性奇点. .奇点奇点孤立奇点孤立奇点非孤立奇点非孤立奇点支点支点可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点（单值函数的）（单值函数的）（多值函数的）（多值函数的）.)(limAzfnazn定理定理5.85.8 如果如果a为为f(z)的本性奇点的本性奇点, ,则对于则对于任何常数任何常数A,不管它是有限数还是无穷不管它是有限数还是无穷, ,都有都有一个收敛与一个收敛与a的点列的点列zn,使得使得6. 6. Picard( (皮卡皮卡) )定理定理定理定理5.9(5.9(皮皮卡卡( (大大) )定理定理) )如