用积分因子求一阶常微分方程的讨论.

1、第27卷第 3期 2011年 5月昆明冶金高等专科学校学报 JournalofKunmingMetallurgyCollegeVol 27No 3May2011do:i10.3969/.jissn.1009- 0479.2011.03.022用积分因子求一阶常微分方程的讨论 胡淑荣 ,岳培鹏(1 国家林业局管理干部学院教研部 ,北京 102600;122 黑龙江林业职业技术学院 ,黑 龙江牡丹江 157011)摘 要 :积分因子方法是求解常微分方程的一种常用方法。对全微分方程的判别、 积分因子的性质 ,以及如何求积分因子、求解微分方程的通解作了探讨、总结和研 究。关键词:微分方程;积分因子 ;

2、通解 中图分类号 :O175 文献标识码 :A 文章编号 :1009-0479-(2011)03-0088-03 SolutionofFirst orderOrdinaryDifferentialEquations withIntegratingFactorsHUShu rong,YUEPei peng12 (1.TeachingandResearchDepartment,StateAcademyofForestryAdministration,Beijing10 2600,China;2.HeilongjiangForestryVacation TechnicalCollege,Mudanj

3、iang,Heilongjiang157011,China) Abstract:Integratingfactorisacommonmethodtosolveordinarydifferentialequations.Thepa perdis cussedthenatureofintegratingfactorandwaystoidentifydifferentialequationsandsolveinteg ratingfac torsanddifferentialequations.Keywords:differentialequation;integratingfactor;gener

4、alsolution 对于一阶常微分方程 :M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1) 如果方程的左端恰好是某个函数 u=u(x,y) 的全微分 du,则方程称为全微分方程或恰 当方程。众所周知 ,若 M(x,y),N(x,y),N M , 在某个单连通区域 D 内有定义并且连续 , 并且满足全微分条件 : M N=则方程为恰当方程。通过沿路径积分的方法 ,可以得到 方程的通解 (通积分)为: y x u(x,y)=C,其中 :u(x,y)=xM(x,y)dx+yN(x0,y)dy 。00 x y 我们知道 ,如果一阶常微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 不满足全微分条件 ,但

5、在乘以 一个积分因子 (x,y)后 ,能成为一个恰当方程 ,则可以按照求全微分方程的方法求 解。Euler就曾经指出 :凡是可用变量分离法的地方都可以用积分因子法。因此 ,对 非全微分方程 ,寻求积分因子就显得十分重要。本文仅对积分因子的一些性质和如 何寻求积分因子的问题进行探讨、总结和研究。1 预备知识 对于任意一个一阶常微分方程是否为恰当方程 ,有如下的一个判定定理。 收稿日期 :2011-03-15:(1963-),女,黑龙江 ,第 3期 胡淑荣,岳培鹏:用积分因子求一阶常微分方程的讨论89定理 1 设 M(x,y),N(x,y) 在某个单连通区域 D内有一阶连续的偏导数 ,则方程为恰当

6、 方程的充要条件是 :=且当条件满足时 ,方程的通解为 : u(x,y)=xM(x,y)dx+yN(x0,y)dy=C,(2)x y(3)其中:C 是任意常数 ,(x0,y0) 是单连通区域中某个点。上述定理的证明是平凡的 ,可以参考文献 1, 此处从略。关于上述定理 ,有如下的一 些事实 : ) 若 M(x,y)=0,N(x,y) 0, 方程的通解为 y=c;若 N(x,y)=0,M(x,y) 0, 方程的通解 为 x=c 。)由 u(x,y)=C 在点 (x0,y0)的领域附近所确定的隐函数 ,就是方程的解。 )任意常数 C 由微分方程定解条件 (边值或初值条件 )所确定。如果方程 M(x

7、,y)dx+N(x,y)dy=0 不是全微分方程 ,但能找到 (x,y) 0,使得 (x,y)M(x,y)dx+ (x,y)N(x,y)dy=0(4)为全微分方程 ,则称 (x,y)为方程的一个积分因子。例如方程 ydx-xdy=0 不是全微分 方程 ,但如果方程两端同乘以函数 (x,y)=则得到全微分方程 -=0。所以是原微分方程的积分因子。 xyxyxy2由上述积分因子的定义可知 :积分因子的选择不是唯一的。可以证明 0f(u),其中 f 是 u 的任意一个连续函数。,如果 ,y)是常微分方程 0(x 的一个积分因子 ,即有 x+ 0(x,y)N(x,y)dy=du, 则积分因子的一般形式

8、为 =0(x,y)M(x,y)d通常可以由一些全微分公式观察出某个单一的微分方程的积分因子,但一般而言 ,对于一般的非恰当方程 ,找到合适的积分因子并不是一件平凡的事。下面将进一步 研究积分因子的性质 ,并且对于一些特殊形式的 M、N 的积分因子进行探讨和总 结。一般地 ,为使 (x,y)是方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的积分因子 ,由全微分条件可知充要 条件为:( (x,y)M(x,y) ( (x,y)N(x,y)可以解得:-=M(x,y)-N(x,y),或者(形式上 )写成行列式的表示形式 :xM(x,y)yN(x,y)M(x,y)=ln xN(x,y) ln y(5)由上

9、述讨论,可以进一步得到如下结论。定理 2 若存在 b1(x,y)和b2(x,y)满足 xM且存在 (x,y)满足d (x,y)=b1(x,y)dx+b2(x,y)dy()x)yy=NMb1(x,y)Nb2(x,y),(6)(7)90证明:设 (x,y)=e (x,y)昆明冶金高等专科学校学报 2011年 5 月,通过简单计算可得 : =,b2(x,y)=b1(x,y)=结合可知 , (x,y)=e (x,y) 是方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一个积分因子。2 一些结论在上一节中可知 ,求解积分因子实际上是让积分因子满足表达式。所以 ,求解原来 的一阶常微分方程可以转化为求解一

10、阶偏微分方程 -=M -N 是容易求解的。下面总结讨论各种特殊类型方程的积分因子表示形式 ,因为其证明方法都是直接计 算验证表达式 ,所以略去证明过程。)可分离变量的方程 M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 有积分因子 (x,y)=)一阶线性方程)贝努利方程 P(x)dx+P(x)y=Q(x)有积分因子 (x,y)=e 。dx。N(y)P(x)(8)但是,方程的 求解并不比原来的常微分方程简单。而在定理 2 中的函数 b1(x,y)和 b2(x,y)一般也 不 n-n(1-n)P(x)dx 。+P(x)y=Q(x)y(n 0,1) 有积分因子 (x,y)=yedx )若 xM(x,

11、y)-yN(x,y)=0, 则方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积分因子 (x,y)=xM(x,y)+yN(x,y)若 xM(x,y)+yN(x,y)=0, 则方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积分因子 (x,y)=1xM(x,y)- yN(x,y)若M(x,y),N(x,y)为x和y的同次齐次多项式 ,则方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积分 因子 (x,y)=1xM(x,y)+yN(x,y)M N(-) 只 N )方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有仅含 x 的积分因子 (x)的充分必要条件是 f(x)dx1 N M 是x的函数f(x)

12、,且 (x)=e ;仅含y的积分因子 (y)的充分必要条件是 :(-) 只是 y 的 M 函数 f(y), 且 (y)=e 。f(y)dy)方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积分因子 (x+y) 的充分必要条件是 : 是 x+y的函数 f(z),且 =e 。 f(z)dz1 N M(-)只 M-N )方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积 分因子 = (-1 N)的充分必要条件是 :(+)(-xxx xf(z)dz-1)=f(), 且 =e )=f(),; 有积分因子 = ()的充分必要条件是 :(+(-2)xyyyy 且 =e 。 f(z)dz (下转第 95 页)

13、第3期 李明:地形测量课程考核方案的设计与实践 95长和高年级学生监考等形式 缓解了监考压力 ,同时提升了参与监考学生的综合能力。3结语 地形测量课程考核方案建立了一套比较科学、全面的课程学习效果评价体系,它使学习和考核相结合、学习和考核同步相融 , 让考核内容成为学习目标和努力方向。 通过考核让学生走向了社会、掌握了知识和技能、学会了如何工作。地形测量课 程教学的改革使得学生的专业能力特别是实作能力得到了很大提高。在 2010 年 学校举行的首届测绘技能大赛中 ,教改班级的学生表现优异 ,基本囊括了各竞赛项 目的一等奖。但在课程的考核实施过程中也存在下列问题 : 1)学时少与学习任务重的矛盾

14、。为了完成各项考核任务 ,所规定的学时远远不够 ,学 生需要利用大量的课余时间 ,结果影响到其它课程的学习和课余生活。2)考核项目多、时间跨度长、考核份量重与监考力量薄弱的矛盾。尽管采用了学 生互考、小组长和高年级学生监考模式 ,任课教师的监考任务仍然十分繁重 ,这在 一定程度上影响考核方案的执行度。因此 ,随着地形测量课程教学改革的深入 ,地形测量课程考核方案也需要改进和完 善,使教学内容、教学方法、教学手段更有利于学生的学习 ,更有利学生的地形测 量职力能力的提高 ,更有利于学生综合能力的培养。参考文献 :1 张东明,徐宇飞,吕翠华,等.昆明冶金高等专科学校测绘工程技术专业理实一体人 才培养方案及其课程标准 M. 北京:冶金工业出版社 ,2011.2 GB50026-2007.中华人民共和国国家标准 :工程测量规范 S.北京 :中国计划出版 社,2008.3 GB/T7929-1995.中华人民共和国国家标准 :1 500,1 1000,1 2000地形图图式 S.北 京:中国标准出版社 ,1996.4 李明.地形测量M.北京:测绘出版社 ,2011.责任编辑 :贾朝光(上接第 90 页)1 M N ) 方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有积分因子 = 的充分必要条件是 :(-)yN-xM=f, 且 =e 。 f(z)dz)