考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷5 (1)

1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷5(总分：72.00，做题时间：90分钟)一、 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设则f(x，y)在(0，0)处( )（分数：2.00） a.对x可偏导，对y不可偏导 b.对x不可偏导，对y可偏导  c.对x可偏导，对y也可偏导 d.对x不可偏导，对y也不可偏导解析：解析：因为 不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导； 因为 所以f y (0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，选(b)3

2、.设f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00） a.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 b. c.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微 d. 解析：解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(a)不对； 函数 在(0，0)处可偏导，但 不存在，(b)不对；f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，(c)不对，选(d)，事实上 由 存在得 4.设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足则函数f(x，y)在点(0，0)处( )（分数：2.00）

3、 a.取极大值  b.取极小值 c.不取极值 d.无法确定是否有极值解析：解析：因为 根据极限保号性，存在>0，当 时，有 而x 2 +1一xsiny>0， 所以当 时，有f(x，y)-f(0，0)<0，即f(x，y) 5.设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足则f(x，y)在(0，0)处( )（分数：2.00） a.取极大值  b.取极小值 c.不取极值 d.无法确定是否取极值解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在0，当 时， 因为当 时，|x|+y 2 0，所

4、以当 时，有f(x，y)f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(a)二、 填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设z=(x 2 +y 2 ) xy ，则 （分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：z=e xyln(x2+y2) 则 ）解析：7.设f二阶可导，（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：）解析：8.设f二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：）解析：9.设f(x，y)连续，且f(x，y)=3x+4y+6+()，其中 则dz| (1,0) = 1（分

5、数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：因为f(x，y)连续，所以f(1，0)=9， 由f(x，y)=3x+4y+6+()得 由可微的定义得dz| (1,0) =3dx+4dy）解析：10.设z=f(x，y)二阶连续可导，且 f x (x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)= 1，（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：由 得 由f x (x，0)=2x得(x)=2x，即 再由 得 由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故 ）解析：11.（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：）解析：12.（分数

6、：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：）解析：13.由x=ze y+z 确定z=z(x，y)，则dz| (c,0) = 1（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：x=e，y=0时，z=1 x=ze y+z 两边关于x求偏导得 将x=e，y=0，z=1代入得 x=ze y+z 两边关于y求偏导得 将x=e，y=0，z=1代入得 故 ）解析：14.（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：则）解析：15.（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：）解析：三、 解答题(总题数：21，分数：42.00)16.解答题

7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设z=f(t 2 ，e 2t )二阶连续可偏导，其中f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：18.设z=f(e x siny，xy)，其中f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：19.u=f(x 2 ，xy，xy 2 z)，其中f连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：20.设z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f 1 (1，1)=a，f 2 (1，1)=b，又u=fx，f(x，x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由

8、 =f 1 x，f(x，x)+f 2 x，f(x，x)·f 1 (x，x)+f 2 (x，x)得 =f 2 1，f(1，1)+f 2 1，f(1，1)·f 1 (1，1)+f 2 (1，1) =a+b(a+b)=a+ab+b 2 )解析：21.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：22.设y=y(x)，z=z(x)由确定，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边对x求导得解得)解析：23.设z=z(x，y)是由所确定的二元函数，其中f连续可偏导，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得)解析：24.求二元函数f(x

9、，y)=x 3 一3x 2 一9x+y 2 一2y+2的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 当(x，y)=(一1，1)时，a=一12，b=0，c=2， 因为ac-b 2 =一240，所以(一1，1)不是极值点； 当(x，y)=(3，1)时，a=12，b=0，c=2， 因为acb 2 =240且a0，所以(3，1)为极小值点，极小值为f(3，1)=一26)解析：已知z=f(x，y)满足：dz=2xdx一4ydy且f(0，0)=5（分数：4.00）(1).求f(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x 2 一2y 2 )， 从而f

10、(x，y)=x 2 一2y 2 +c，再由f(0，0)=5得f(x，y)=x 2 一2y 2 +5)解析：(2).求f(x，y)在区域d=(x，y)|x 2 +4y 2 4上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x 2 +4y 2 <4时，由 得 当x 2 +4y 2 =4时，令 z=4 cos 2 t一2sin 2 t+5=6cos 2 t+3， 当cost=0时，f min =3；当cost=±1时，f max =9， 故最小值为m=0，最大值m=9)解析：25.设u=x yz ，求du（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由u=e yzlnx

11、得 )解析：26.设z=yf(x 2 一y 2 )，其中f可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：27.设u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：28.设z=fxg(y)，xy，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：29.设z=z(x，y)由xyz=x+y+z确定，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令f=xyzxy一z，方法二 xyz=x+y+z两边对x求偏导得解得故)解析：30.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（

12、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 显然f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导 设 因为 所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f x (0，0)=f y (0，0)=0 因为 所以 不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续)解析：31.设讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为所以不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续 因为所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导)解析：32.讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 即函数f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以f x (0，0)=0，根据对称性得f y (0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导 因为 不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微)解析：33.设试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由得f(x，y)在点(0