应力变换公式

1、一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即 使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着 截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描 述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应 力状态。当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此 只须考虑坐标系旋转的情况。假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为?酥G6丿如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y&#

2、39;z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系：X7Zx1A才込其中，li，mi，ni表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。返回如果用知=在新坐标系下占八、的应力分量作斜截面ABC与x'轴垂直，其应力矢量为pn,则Pn 二珂二PK根据应力矢量与应力分量的表达式P广Py =唧+创+ "Ps召用+耳舁返回设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量,如图所示将pn ,即px'向x'轴投影就得到二x'； 向y'轴投影就得到

3、Exy; 向Z'轴投影就得到Tx'Z ；所以j = r.- i = Ox* + Pj j + Prft） - （W+J+= Ap, + 附 1戸户 +角 f, F = PJ = J几十豹沖F +氏 匸出二必氓=J几+叫巧+hp$将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y, z方向，则可以得到转轴公式QV = 也 +就碍+ nx +囚加声帮+ 2朋/苗阴+ 2hlZl7 巧亠洛6 +図；巧+门；耳+%蚀匕帮+2朋/许弹+2即声辭 J 二育b* +和：s +居q + 21工空込孕+2朋尹*加+ 2砧 仏巧+%禺碍+吗吗q+卽吗+一蚀”平+（朋1心+啣沖1冷声+01J +闯仏）4

4、<匸皿=+企蚀巧+均电碍+色叫+那） + 仏 +炖尹2）書阿+ 如三+ 臥）J丛6+%叫6 +角如耳+朋1+片蚀）J + （处马+用严Jr加+ （臥+ ®厶片环注意至U ,x'y' = y'x' ,y'z' = z'y' ,x'z' = z'x'。用张量形式描述，则上述公式可以写作-円吗严炉应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。 坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力 状态是不会发生变化的。应力张量为二阶对称张量，仅有六个

5、独立分量。新坐标系下的六个应力分量 可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点 的应力状态。对于平面问题，如Ox轴与Ox'成®角。则新旧坐标系Xycosp-sin psin ©cos爭有如下关系:-6 cos2 p + sin3 卩一 21那 cospsiii <poj,、二 sin q? + av cos + 2 cossin <p根据转轴公式，可得匚”二&一碍购邛血卩"耶2討炉一沁中）上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。因此对于正应力二