五年级 和差积商变化规律

1、和、差、积、商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（ad+b）（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那

2、么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（ab+d），a-（b-d）=c+d。（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个

3、因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那

4、么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r

5、15;n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。例如，84÷9=93，而（84×2）÷（9×2）=96（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=91（3÷3）。【例题1】 两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？ 【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。【练习1】1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加

6、3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2. 和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少106=4。【练习2】1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？ 【思路】

7、被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。【练习3】1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？和、差、积、商的变化规律（二）【例题1】 两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？ 【思路】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加128=4。【练习1】1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？2.两数相减，如果

8、被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？【思路】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996（656）=1940。【练习4】1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是

9、532。正确的和是多少？2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多少？3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正确的和是多少？【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？【思路】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。这样错写的被减数比原来减少了602=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。正确的差是：18958=247。【

10、练习5】1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少？2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差是多少？3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多少？一、和的变化规律(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数例如：35=8 (32)5=82(二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数例如：86=14 (84)6=144(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减

11、少同样的数，那么，它们的和不变例如：83=11 (82)(32)=11 (86)(36)=11(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(mn)例如：53=8 (52)(37)=8(27)(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(mn)例如：3018=48 (3015)(189)=48(159)(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当mn时，它们的和就增加(mn)；当mn时，它们的和就减少(nm)例如：85=13 (87)(53)=13(73) (82)(54)=13(42)二、差的变化规律(一)如果被减数

12、增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数例如：95=4 (93)5=43 (92)5=42(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数例如：95=4 9(53)=43 9(53)=43(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等例如：158=7 (153)(83)=7 (155)(85)=7(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(mn)例如：1812=6 (184)(123)=6(43)(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(mn)例如：1812=6 (182)

13、(121)=6(21)(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当mn时，它们的差就增加(mn)；当mn时，它们的差就减少(nm)例如：2012=8 (205)(123)=8(53) (205)(126)=8(65)(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当mn时，它们的差要减少(mn)；当 mn时，它们的差要增加(nm)例如：4022=18 (403)(222)=18(32) (405)(227)=18(75)加减法混合运算的性质(一)交换的性质在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变如abc=acb (ac)bca (b

14、c)(二)结合的性质在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数如abcdm=(ab)(cd)m (ab，cd)a(bc)(dm) (bc，dm)=a(mb)(cd) (mb，cd)可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？【思路】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的

15、倍数。所以商是8，余数是20×10=200。【练习2】1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？3.两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？【思路】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。【练习3】1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍

16、，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？积商的变化规律练习题知识要点：【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果a×b=c，

17、那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。练习题：12、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（ ）。3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（ ）。 4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（ ）。 5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（ ），如果B除以5，则积是（ ）。 6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（ ）。7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（ ）。 8、两个数相乘的

18、积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（ ）。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。（3）被除数和除数都扩大

19、（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q， （a÷n）÷（b÷n）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是 如果a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）， （a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。例如，84÷9=93，而（

20、84×2）÷（9×2）=96（3×2）， （84÷3）÷（9÷3）=91（3÷3）。积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。 积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。 一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。 商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。 被 除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于

21、1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。1、根据78×12936，填写下面各题的结果。7.8×12（ ） 0.78×12（ ） 7.8×0.12（ ） 0.78×（ ）936 2、根据414÷1823，填写下面各题的结果。4.14÷1.8（ ） 4140÷1.8（ ） 0.414÷0.18（ ） 41.4÷18（ ）第2/4页 8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（ ）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（ ）。9、

22、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（ ）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（ ）。 11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（ ）。 12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（ ），乙数是（ ）。14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸. 15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000

23、吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ). 17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（ ）。 18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（ ）小时。 19、一个小数与它自已相加、相减、相除，其和、差、商相加为5.8，这个小数是（ ）。）。20、528除以最小的两位小数与最小的一位小数的积，商是（ ）。 21、要使2680030万，里可以填（ ）。22、把3.56的小数点去掉以后，就扩大了它的（ ），再除以1000得（ ）。 23、23的十分之一与79的一半和是多少列式是（ ）。24、幸福村

24、有5个鱼塘，去年平均每个鱼塘产鱼980千克，每产1千克鱼的成本是1.68元，幸福村的鱼塘一共产鱼多少千克？成本是多少元？25、甲乙两列火车于晚10时30分同时由两地开出,相对而行.甲车每小时行60.8千米,乙车每小时行50.4千米,第二天上午8时两车相遇,两地相距多少千米?积与商的变化规律问题一两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。解：12÷3=4 答：积缩小了4倍。 试一试1、两数相

25、乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？问题二两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180 答：商将扩大180倍。试一试1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0

26、”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？问题三两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。解：略。 答：商是6，余数是300。 试一试1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？ 3、两数相除，商是8，余

27、数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？问题四在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化？想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。 试一试1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变？2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变？3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大

28、8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化？练一练1、 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积是否起变化？2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化？3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化？7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少？8、芳芳在计算乘法时，把一

29、个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少？9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化？10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少？余数是多少？1. 我会做。（1）在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（ ）。（2）在一道除法算式里，如果被除数乘10，要使商不变，除数（ ）。（3）在一道除法算式里，如果除数除以100，要使商不变，被除数（ ）。2、根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。（1）18 ÷6=3 （2）480&#

30、247;10=48（18×2） ÷（6×2）= （480 ÷ 2） ÷（10 ÷ 2）= （18×3） ÷（6×3）= （480 ÷ 5） ÷（10÷ 5）=3、在里填运算符号，在里填适当的数。（1）24÷ 8（24×2）÷（8×）（2）360÷60=（360÷10）÷（6010）（3）96÷6（96）÷（6 ）440秒竞赛。240÷30 80÷20 360÷

31、; 90 4800÷ 400 440÷20 9600÷800 120÷40 2400÷605、两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积有什么变化？6、被除数扩大3倍，除数不变，商（ ）7、被除数缩小3倍，除数不变，商（ ）8、两个加数都扩大8倍，则和扩大（ ）倍9、被除数、除数和余数的和160。已知除数是20，余数是10，那么商是（ ）10、两数相除,被除数扩大3倍，除数缩小6倍，商( )11、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（ ）12、豪豪在计算除法时，把被除数的末尾多写了1个“0”，

32、结果得到的商是132，正确的商是（ ）13、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（ ）余数是（ ）14、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大13倍，商是（ ）余数是（ ）15、两数相乘，积是96，如果一个因数扩大2倍，另一因数缩小3倍，积是（ ）16、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，商是（ ）17、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数扩大4倍，商是（ ）18、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数缩小4倍，商是（ ）19、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数扩大4倍，商是（ )三、判断：210&

33、#247;30=（210×15）÷（30×15）? （ ） 48÷12=（48×3）÷（12×4）? （ ） 60÷12=（60 ÷3）÷（12×3）?（ ） 63÷7=（63÷10）÷（7÷10）? （ ） 被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。? （ ） 两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。?（ ）五、根据上面的算式，在下面的括号里填上合适的数。（1）150÷503 （2）180÷360（3） 240&

34、#247;803 （ ）÷506 540÷9（ ） 240÷（ ）6 （ ）÷（ ）=3 1800÷（ ）=60 （ ）÷80=6 （想一想每一题都是根据今天学的哪条规律？）六：根据476÷1728，你能写出多少个商是28的除法算式？七、竖式计算（运用商不变性质）。670÷20= 960÷80= 2600÷210=890÷50= 7500÷620= 970÷70=5800÷800= 4500÷600= 7800÷600860÷

35、42 8800÷ 80 4400÷22=4、完成下列计算，说规律。18×24= 105×45（18÷2）×（24×2）= （105÷5）×（45×5）= （18×2）×（24÷2）= （105×3）×（45÷3）=5、在中填上运算符号，在中填上数。24×751800 （246）×（75×6）1800 （243）×（75）1800 36×1043744（36×4）×（1

36、044）3744 （36）×（104）3744三、积的变化规律(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍例如：8×5=40 (8×3)×5=40×3 8×(5×4)=40×4(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍如：25×4=100 (25÷5)×4=100÷5 25×(4÷2)=110÷2(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变例如：45×10=45

37、0 (45×2)×(10÷2)=450 (45÷5)×(10×5)=450(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍例如：4×5=20 (4×3)×(5×2)=20×(3×2)(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍例如：20×8=160 (20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩

38、小n倍，那么，当mn时它们的积扩大(m÷n)倍，当mn时，它们的积就缩小(n÷m)倍例如：8×6=48 (8×10)×(6÷2)48×(10÷2) (8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)四、商的变化规律(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变例如：42÷6=7 (42×2)÷(6×2)=7 (42÷3)÷(6÷3)=7(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，

39、它们的商就扩大(或缩小)m倍例如：16÷2=8 (16×3)÷28×3 (16÷2)÷2=8÷2(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍例如：44÷11=4 44÷(11×2)=4÷2 44÷(11÷11)4×11(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍例如：72÷9=8 (72×2)÷(9÷3)8×(2×3)(五)如果被

40、除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍例如：72÷6=12 (72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当mn时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当mn时，它们的商就缩小(n÷m)倍例如：96÷24=4 (96×4)÷(24×2)=4×(4÷2) (96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)(七)如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当mn时，它们

41、的商就缩小(m÷n)倍，当mn时，它们的商就扩大(n÷m)倍例如：64÷16=4 (64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2) (64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)(八)有余数时，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，但余数扩大（或缩小）相同的倍数例如：84÷9=9? ?3 ( 84×2)÷(9×2)=9? ?6 (84÷3)÷(9÷3)=9? ?212、积与商的变化规律问题一两数

42、相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。 解：12÷3=4答：积缩小了4倍。试一试1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？问题二两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？想：如果被除数扩大30

43、倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180答：商将扩大180倍。试一试1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？问题三两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍

44、，所以商是6，余数是30×10=300。解：略。答：商是6，余数是300。试一试1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？问题四在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化？想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4

45、15;2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。试一试1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变？2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变？3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化？问题五在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是59，其中余数是2；如果被除数和除数同时扩大5倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是267。原来的被除数和除数分别是多少？想： 根据商不变的性质，虽然商不变，但余数

46、也随着扩大5倍。所以267-59=208应该是原来被除数、除数与余数的和的5-1=4倍，原来被除数、除数与余数的和就是208÷4=52，则商=59-52=7，而原来被除数与除数的和=52-2=50。由此可知原来的除数=（50-2）÷（7+1）=6，原来的被除数=7×6+2=44。解：商：59（267-59）÷（51）=7原来的除数：（59-7-2-2）÷（7+1）=6原来的被除数：7×6+2=44答：原来的被除数是44，除数是6。试一试1、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是77，其中余数是3；如果被除

47、数和除数同时扩大8倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少？2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是465，其中余数是50；如果被除数和除数同时缩小10倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是51。原来的被除数和除数分别是多少？练一练1、 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积是否起变化？2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化？3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么

48、商是多少？5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化？7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少？8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少？9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化？10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少？余数是多少？挑战题1、一个长方形的长和宽同时扩大3倍后，周长是72厘米，原来这个长方形的周长是多

49、少厘米？2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是71，其中余数是1；如果被除数和除数同时扩大9倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少？积与商的变化规律问题一两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。 解：12÷3=4答：积缩小了4倍。试一试1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？、两数

50、相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？问题二两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180答：商将扩大180倍。试一试1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？3、小冬在计算除

51、法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？问题三两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300答：商是6，余数是300。试一试1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？问题四在一道没有

52、括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化？想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。试一试1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变？2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变？3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化？问题五在一道有余数的

53、整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是59，其中余数是2；如果被除数和除数同时扩大5倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是267。原来的被除数和除数分别是多少？想： 根据商不变的性质，虽然商不变，但余数也随着扩大5倍。所以267-59=208应该是原来被除数、除数与余数的和的5-1=4倍，原来被除数、除数与余数的和就是208÷4=52，则商=59-52=7，而原来被除数与除数的和=52-2=50。由此可知原来的除数=（50-2）÷（7+1）=6，原来的被除数=7×6+2=44。解：商：59（267-59）÷（51）=7原来的除数：

54、（59-7-2-2）÷（7+1）=6原来的被除数：7×6+2=44答：原来的被除数是44，除数是6。试一试1、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是77，其中余数是3；如果被除数和除数同时扩大8倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少？2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是465，其中余数是50；如果被除数和除数同时缩小10倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是51。原来的被除数和除数分别是多少？练一练1、 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积

55、是否起变化？2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化？3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化？7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少？8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少？9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化？10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少？余数是多少？挑战题1、一个长方形的长和宽同时扩大3倍后，周长是72厘米，原来这个长方形的周长是多少厘米？2、 在一道有余数的整数除法计算题中，被除