Chapter7_1_Newton-Cotes公式[1]

1、第七章第七章 数值积分数值积分（Numerical Integration） 武汉大学数学与统计学院武汉大学数学与统计学院内容提纲内容提纲 数值积分的必要性数值积分的必要性 求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度 插值型求积公式插值型求积公式 Newton-Cotes公式及数值稳定性公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计复化求积公式及误差估计数值积分的必要性数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分( )( )( )( )baI ff x dxF bF abadxxff

2、I)()(实际问题实际问题例如函数例如函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx 这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数dxxdxxfL48024802)(cos1)(13222xx)322ln(21693216332412222xxxxxxx12345f(x)44.5688.5 这些都说明这些都说明, ,通过原函数来计算积分有它的通过原函数来计算积分有它的局限性局限性, ,因而因而, ,研究关于积分的数值方法具有很研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义重要的实际意义.求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度 求积公式的概念求积公式的概念积分值积分值 在几何上

3、可解释为由在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和和 y=f(x) 所围成的所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积.积分计算之所以有积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的是曲的. badxxffI)()( 依据依据积分中值定理积分中值定理,对于连续函数对于连续函数f(x) ,在在a,b内存在一点内存在一点,使得使得)()()()(fabdxxffIba 称称f()为区间为区间a,b的平均高度的平均高度. 问题在于问题在于点点的具体位置一般是不知道的的具体位置一般是不知道的.这样这样,只要只要对平均高度对平均高度f()提供一种提

4、供一种算法算法,相应地便获相应地便获得一种得一种数值求积方法数值求积方法. 如果简单地如果简单地选取区间选取区间a,b的一个端点或的一个端点或区间中点的高度作为平均高度区间中点的高度作为平均高度,这样建立的这样建立的求积公式分别是求积公式分别是:左矩形公式左矩形公式: I(f)(b-a)f(a)右矩形公式右矩形公式: I(f)(b-a)f(b)中矩形公式中矩形公式: I(f)(b-a)f(a+b)/2此外此外,众所周知的众所周知的梯形公式梯形公式: I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2和和 Simpson公式公式: I(f)(b-a)f(a)+4f(a+b)/2)+f(b)/6 则分别可以

5、看作用则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点三点高度的加权平均值高度的加权平均值 f(a)+f(b)/2 和和 f(a)+4f(c)+f(b)/6作为作为平均高度平均高度f()的近似值的近似值. 更一般地更一般地,取区间取区间a,b内内n+1个点个点 xi,(i=0,1,2,n)处的高度处的高度f(xi) (i=0,1,n)通过通过加权平加权平均均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度f(),这类求积这类求积方法称为方法称为机械求积机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf 或写成或写成:数值积分公式数值积分公式求积系数求积系数 求积节点求积节点 )()(

6、0kbankkxfAdxxf(1)记记)2()()(0knkknxfAfI)3(, )()()()()(0bankkknxfAdxxffIfIfR称称(2)为数值求积公式为数值求积公式,(3)为求积公式余项为求积公式余项(误差误差). 构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有题有(i) 确定求积系数确定求积系数Ak和求积节点和求积节点xk ；(ii)求积公式的误差估计和收敛性求积公式的误差估计和收敛性 为了构造形如式为了构造形如式(2)的求积公式的求积公式,需要提供一需要提供一种种判定求积方法精度高低准则判定求积方法精度高低准则求积公式的代数精度求积公式

7、的代数精度定义定义1 称求积公式称求积公式(2)具有具有m次代数精度次代数精度,如果它满如果它满足如下两个条件足如下两个条件: (i)对所有次数对所有次数 m次的多项式次的多项式 ,有有 (ii)存在存在m+1次多项式次多项式 ,使得使得)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR定义定义1中的条件中的条件(i),(ii)等价于等价于:0)()()0(, 0)()()()(1mknkkxRiimkxIxIxRi插值型求积公式插值型求积公式 在积分区间在积分区间a,b 上上取取n+1个节点个节点xi，i=0,1,2,n,作作f(x)的的n次代数

8、插值多项式次代数插值多项式（拉格朗（拉格朗日插值公式）日插值公式）:则有则有 为插值余项为插值余项于是有于是有njjjnxfxlxL0)()()()()()(xRxLxfnn)()!1()()(1)1(xwnfxRnn取取称称(4)式为插值型求积公式式为插值型求积公式,其中其中求积系求积系Ak由由(5) 式确定式确定. bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0(4)(5) babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 节点节点 决定，决定，与与 f(x) 无关。无关。推论推论

9、1 求积系数满足求积系数满足:0(1)0( )()( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLx dxfxxdxn误误 差差定理定理1 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(abAnjj0 取取节点为节点为等距分布等距分布：,0,1,.,ibaxaih hinndxxxxxAnxxijjiji 0)()( njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!( !)1)()()(令令htax Cotes系数系

10、数 ()nkC注：注：Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 k，可查表得到。与可查表得到。与 f (x) 及区间及区间a, b均无关。均无关。Newton-Cotes 公式公式由此构造的插值型求积公式称为由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,此此时时求积系数求积系数记记dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(则则njCabAnjj, 2 , 1 , 0,)()()()()(0)(jbanjnjxfCabdxxf求积公式求积公式(4)变为变为(6)(7)(8)称称(8)式为式为n阶阶闭型闭型Newton-Cotes求积公式求积公式.

11、),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnbanNewton-Cotes公式的误差为公式的误差为:与与x有关有关注意注意:由由(6)式确定的式确定的Cotes系数只与系数只与j和和n有关有关,与与f(x)和积分区间和积分区间a,b无关无关,且且满足满足:10)(njnjC(9) 定理定理2 当阶数当阶数n为偶数时为偶数时, Newton-Cotes公式公式(8)至少具有至少具有n+1次代数精度次代数精度.证明证明 只需验证当只需验证当n为偶数时为偶数时,Newton-Cotes公式对公式对f(x)=xn+1的余项为零的余项为零

12、.由于由于f(x)=xn+1,所以所以f(n+1)(x)=(n+1)! .由式由式(9)得得 nnjndtjthfR002)()(引进变换引进变换t=u+n/2,因为因为n为偶数为偶数,故故n/2为整数为整数,于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR据此可断定据此可断定R(f)=0,因为上述被积函数是个奇函数因为上述被积函数是个奇函数.Newton-Cotes公式的数值稳定性公式的数值稳定性 现在讨论现在讨论舍入误差舍入误差对计算结果产生的影响对计算结果产生的影响.设设用公式用公式 近似计算积分近似计算积分 时时,其中计算函数值其中计算函数值f(xj)有误差有误差j (j=0

13、,1,2,n).设设计算计算Cj(n)没有误差没有误差,中间计算过程中的舍入误差也中间计算过程中的舍入误差也不考虑不考虑,则在式则在式(10 )的计算中的计算中,由由j引起的误差为引起的误差为njjnjnxfCabfI0)()()()(badxxffI)()(10)njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()()()()()(如果如果Cj(n)都是正数都是正数,并设并设|max0jnj)(|)(|0)(abCabenjnjn故故en是有界的是有界的,即由即由j引起的误差受到控制引起的误差受到控制,不超过不超过的的(b-a)倍倍,保证了保证了数值计算的稳定性

14、数值计算的稳定性.而当而当n7时时,Cj(n)将出现将出现负数负数,njnjC0)(|保证数值稳定性保证数值稳定性. 因此高阶公式不宜采用因此高阶公式不宜采用,有实用有实用价值的仅仅是几种价值的仅仅是几种低阶的求积公式低阶的求积公式.将随将随n增大增大,因而因而不能不能则有则有21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba Trapezoidal RuledxbxaxffRbax)(!2)( /* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */1, , )(1213abhbafh 代数精度代数精度 = 1n = 2:61,32,61)

15、2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba Simpsons Rule代数精度代数精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR n = 4: Cotes Rule, 代数精度代数精度 = 5,)(9458)6(7 fhfR 复化型求积公式复化型求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象, ,高阶高阶Newton-Cotes公式会出现公式会出现数值不稳定数值不稳定, ,低阶低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度公式有时又不能满足精度要求要求. .解决这个矛盾的办法是将积分区间解决这个矛盾的办法是将积分区间 a, ,b 分成

16、若干小区间分成若干小区间, ,在每个小区间上在每个小区间上用低阶求积公式计算用低阶求积公式计算, ,然后将它们加起来然后将它们加起来, ,这就是这就是复化求积方法复化求积方法. . 复化梯形公式：复化梯形公式：,(0,., )ibahxaihinn在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffb

17、anhba fa b /*中值定理中值定理*/ 复化梯形公式积分法复化梯形公式积分法收敛性收敛性由上述的误差估计式可知，当由上述的误差估计式可知，当 f(x) C2a,b 时时,只要只要h0时时 数列数列Tn(f) I(f),且收敛速度为二阶且收敛速度为二阶O(h2).但是但是f(x) C2a,b 条件相对苛刻条件相对苛刻, 现假定现假定f(x)在在a,b上上Riemann可积可积,讨论复化求积公式的收敛性讨论复化求积公式的收敛性110( ) ()()2nniiihTff xf x1011()()2nniiiiiif xxf xx01lim( )lim( ) ( )( )( )2nnnTfTf

18、I fI fI f,(0,1,.,2 )2jbahxaj hjnn222121( ) ()4 ()()3njjjjhI ff xf xf x22jx21jx2 jx222121( ) ()4 ()()3nnjjjjhSff xf xf x 复化复化 Simpson 公式：公式：121211( ) ( )4()2()( )3nnbjjajjhf x dxf af xf xf b 复化复化Simpson公式积分法公式积分法误差估计误差估计5(4)222(1,)(),902jjjjjhbaRffhxxn 每个子区间上的误差估计式为每个子区间上的误差估计式为(4)4( )( )( ),180nbaI fSffhab 将将n n个子区间的误差相加得个子区间的误差相加得5(4)1()()()90nnjjhI fSff 由闭区间上连续函数的介值性质可知在由闭区间上连续函数的介值性质可知在 a,b 上至少存上至少存在一点在一点 ，使，使 ( 4 )( 4 )11()()njjffn可见可见,当当f(x)有四阶导数时有四阶导数时,复化复化Simp