matlab实验三

1、1nMATLAB的所有数值功能都是以（复）矩阵为基本单元进行的，向量和标量都作为特殊的矩阵来处理，向量看作是仅有一行或一列的矩阵，标量看作是11的矩阵。实验三 矩阵运算2 矩阵运算简介nMATLAB中数组和矩阵是两个不同的概念，确切的说矩阵是数组的一个特例，是二维的数值型数组，表示了一种线性变换的关系。n在MATLAB 中，从运算的角度看，矩阵运算从矩阵的整体出发，采用线性代数的运算规则，数组运算从数据的元素出发，针对每个元素进行运算。3MATLABMATLAB中创建矩阵应遵循的原则：中创建矩阵应遵循的原则：n矩阵的元素必须在方括号矩阵的元素必须在方括号“”中；中； n矩阵的同行元素之间用空格

2、或逗号矩阵的同行元素之间用空格或逗号“，”分隔；分隔；n矩阵的行与行之间用分号矩阵的行与行之间用分号“；”或回车符分隔；或回车符分隔； n矩阵的尺寸不必预先定义；矩阵的尺寸不必预先定义； n矩阵元素可以是数值、变量、表达式或函数；矩阵元素可以是数值、变量、表达式或函数；n无任何元素的空矩阵也是合法的。无任何元素的空矩阵也是合法的。 矩阵的创建42、矩阵的创建方法：（1）命令窗口直接输入元素序列创建矩阵。（2）在M文件中用MATLAB语句创建矩阵。（3）通过MATLAB内部函数创建矩阵。（4）通过外部数据文件导入创建矩阵。5 n命令窗口直接输入命令窗口直接输入: : 具体方法如下：将矩阵的元素用

3、方括号括起来，按矩具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，矩阵的同行元素之间用空格或阵行的顺序输入各元素，矩阵的同行元素之间用空格或逗号逗号“,”,”分隔，矩阵的行与行之间元素用分号分隔，矩阵的行与行之间元素用分号“;”;”或或回车符分隔；回车符分隔； X=1 2 3;4 5 6;7 8 9 Y=1,2,3;4,5,6;7,8,9 有运算表达式的矩阵有运算表达式的矩阵 Z=sin(pi/2),8*4;log(10),exp(2) 方法一： 命令窗口直接输入 6方法二： 通过M文件创建矩阵n当矩阵的规模较大时，直接输入法就力不从心，出现差错也不容易修改。因此可以使用M

4、文件生成矩阵。n方法：建立一个M文件，其内容是生成矩阵的命令，在MATLAB的命令窗口中输入此文件名，即将矩阵调入工作空间（写入内存）。7方法二： 通过M文件创建矩阵n例3-2 用建立M文件的方式生成矩阵 (1) 建立M文件mydata.m内容如下 function A=mydata A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 %生成矩阵 A=1，2，3；4，5，6；7，8，9 (2) 运行M文件mydata.m mydata 则生成矩阵A。 8方法三：通过函数创建矩阵nMATLAB中提供了一些内部函数来生成特殊矩阵如eye生成单位阵，zeros生成全零阵等，n常用的生成特殊矩阵的函数将在后面介绍

5、。9 矩阵运算n主要介绍矩阵的算术运算、关系运算、逻辑运算和常用的有关矩阵的其他运算（矩阵的逆，矩阵的秩、矩阵的分解等）。 10 矩阵的算术运算1、矩阵的加（+）减（-）运算：nAB 矩阵A和矩阵B的和与差，即矩阵相应位置的元素相加、减。 进行加减运算的矩阵，要求维数相同，即行数和列数分别相等，如果A与B大小不同，MATLAB将自动给出错误信息。 A和B其中之一可以是标量，表示矩阵中的每个元素分别与标量相加减，结果为矩阵。 11 矩阵的算术运算例3-4 求A+B，A-2 例3-5 两个矩阵如下所示,维数不同，求两者相 减的差。132352423 ,543432321BA321,54343232

6、1BA12 A=1,2,3;2,3,4;4,5,6; B=3,2,4;2,5,3;2,3,1; A+Bans = 4 4 7 4 8 7 6 8 7 B+2ans = 5 4 6 4 7 5 4 5 3 A-2ans = -1 0 1 0 1 2 2 3 4 C=2,5,8;A+C? Error using = plusMatrix dimensions must agree.132、矩阵的乘法（*）和点乘（.*）nA*B 矩阵A和B的乘法。A和B其中之一可以是标 量，表示该标量与矩阵每个元素相乘。当A、B均为矩阵时，要求两矩阵有相邻公共阶。nA.*B 矩阵A和B的对应位置元素相乘，要求A和B

7、维数相同。A和B其中之一可以为标量，表示该标量与矩阵每个元素相乘。 14例3-6 求A*5, A.*5，A*B，A.*B。132352423 ,543432321BA A*5ans = 5 10 15 10 15 20 20 25 30 A.*5ans = 5 10 15 10 15 20 20 25 30 A*Bans = 13 21 13 20 31 21 34 51 37 A.*Bans = 3 4 12 4 15 12 8 15 6153、 矩阵的左除（）、右除（/）和矩阵的点除法（.,./）n AB 相当inv(A)*B（A的逆阵左乘B），可以利用矩阵左除求解 线性方程组AX=b,X

8、=Ab。如果A奇异阵或接近奇异， MATLAB将会给出警告信息。nA/B 大体相当于A*inv(B)，但在计算方法上存在差异. nA./B 矩阵A的元素除以矩阵B的对应元素，即等于A(i,j)/B(i,j), 要求A和B为同维矩阵，或其中之一为标量。nA.B 矩阵B的元素除以矩阵A的对应元素，即等于B(i,j)/A(i,j), 要求A和B为同维矩阵，或其中之一为标量。n同阶对应元素进行相除 A./B = B.A) (/ABBA16n例3-7 ， 求AB, B/A, A./C, A.C A.Cans= 1.0000 1.0000 1.0000 Inf 5.0000 Inf 2.3333 4.00

9、00 9.0000n注意：注意：在A.B的结果中，“Inf”表示无穷大，在MATLAB中，被零除或浮点溢出都不按错误处理，只是给出警告信息，同时用“Inf”标记。243654321C ,121 ,123010321BA174、 矩阵的幂运算：nAB A的B次方。 （1）A和B都是标量时，表示标量A的B次幂。 （2）A为矩阵，B为标量时要求A必须是方阵。 （3）当A为标量，B为矩阵时，要求B为方阵。 其中V为方阵A的特征向量矩阵， 为方阵A的特征值对角矩阵。（4）A和B都是矩阵时，无定义。1*1VAAVBAnnD1185、矩阵的点幂运算：. A.B 等于A(i,j)B(i,j),A和B维数相同或

10、其中一个为标量。例3-8 ，求：A3， A1.5， V,D=eig(A)，C=V*(D.1.5)*V(-1)，A.3，3.A,3p ,132352423 ,133212321BA196、矩阵的转置： nA矩阵的转置是把矩阵的行换成同序数的 列，得到新矩阵。如果A是复矩阵，则运 算结果是共轭转置。nA.也表示矩阵A的转置，当A为复矩阵时，不 求共轭。例3-9 求：A,A.,B,B. 4321,1221BiiA20矩阵函数1、矩阵的共轭nMATLAB中求矩阵的共轭矩阵的函数是conj，其调用格式为： B=conj(A) 求矩阵A的共轭矩阵B，复数矩阵的共轭与复数的共轭类似，复数矩阵的共轭矩阵与复数

11、矩阵的实部相同，虚部相反。例3-12 求：A、B的共轭矩阵 4321 ,1221BiiA212、矩阵的秩nMATLAB中求矩阵秩的函数是rank，其调用格式为： rank(A) 求矩阵A的秩。3、方阵的行列式求方阵的行列式的函数为det，其调用格式为det(A)4、矩阵的特征值分解nMATLAB中，求方阵的特征值和特征向量的函数为eig，调用格式如下： e=eig(A) 求方阵A的特征值组成的列向量e。225、矩阵的逆和伪逆nB=inv(A) 求矩阵A的逆。要求矩阵A是方阵且是非奇异的，如果A是病态的或接近奇异的，则会给出警告信息。nB=pinv(A) 求矩阵A的伪逆。如果A不是方阵或A是奇异

12、阵，则可以用函数pinv(A)求得A的伪逆。伪逆只有逆的某些性质，与逆不同。其求解是建立在奇异值分解和把小于默认误差的奇异值当作0的基础上计算的，且满足B*A=I或A*B=I中的一个。nC=rref(A) 求矩阵A的行简化阶梯形，如果不能确定矩阵A是否非奇异，我们可以用行简化阶梯形进行判断。23n在实际应用中很少显式地使用矩阵的逆。n在MATLAB中很少使用求逆法x=inv(A)*b来求线性方程组Ax=b的解，而使用矩阵除法x=Ab来求解。n因为MATLAB设计函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法求解线性方程组时，并不求逆，而是直接用高斯消去法求解，有效减少了残差，并提高了求解速度。n

13、因此因此MATLABMATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。注意：注意：24例3-13 矩阵的逆和伪逆% magic(n)函数返回一个由整数1到整数n2组成的nn矩阵。%该矩阵的各行与各列元素的和相等，n3 A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 B=rand(3)B = 0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028 A*Bans = 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 1.0000 0 0.0000 0 1.000025 C

14、*Dans = 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 D*Cans = 0.6668 0.2909 0.3709 0.2909 0.7461 -0.3238 0.3709 -0.3238 0.5871 C=rand(2,3)C = 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975 D=pinv(C)D = 0.5492 0.2421 -0.6520 0.9075 1.0047 -0.494126 矩阵的特殊操作1 常用的特殊矩阵常用的特殊矩阵1、空矩阵n空矩阵由下列命令创建：nA= 空阵中不包括任何元素，是00阶的矩阵；空阵可以在MATLAB

15、的运算中传递。nMATLAB中还定义了空向量。当nA=1,2,3,4,5；6,7,8,9,10；11,12,13,14,15；16,17,18,19,20;A(2:3,4:5)ans= 9 10 14 15 A(1,2,2,4)ans = 2 4 7 931n还可以利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，end 表示矩阵某维的末尾元素下标。例如： A(end,:) %取A最后一行 ans = 16 17 18 19 20 A(1,4,3:end) %取A第1，4行中第3列到最后一列的元素 ans = 3 4 5 18 19 2032n还有一种经常用到的命令是A(:) ，A(:)在赋值语句的右

16、端表示由矩阵A的元素按列的顺序排成的列向量。例如： A=1,2;3,4 b=A(:) b = 1 3 2 433n如果A(:)出现在赋值语句的左端，表示用一个向量对矩阵A进行赋值，此时矩阵A必须事先存在。如，A是上述矩阵，那么A(:)=5:8，表示行向量（5，6，7，8）的4个元素依次按照列顺序给A的元素赋值，保持A的维数不变。 A= 5 7 6 8342、部分扩充 （1）单个矩阵的扩充n对一个矩阵的单个元素进行赋值和操作，如：nA(3,2)=200 % 表示将矩阵A的第3行第2列元素赋值为200n如果给出的行值和列值大于原矩阵的行数和列数，MATLAB自动扩展原矩阵，扩展后未赋值的元素置为0

17、。35例3-17 单个矩阵扩充A=1,2,3;4,5,6； A(2,3)=10A = 1 2 3 4 5 10A(4,5)=10A = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1036（2）多个矩阵组成大矩阵n大矩阵可以由多个小矩阵按行列排列在方括号中建立。如： C=A,eye(size(A);ones(size(A),A，则 即987654321AAAsizeonesAsizeeyeAC)()(987111654111321111100987010654001321C373、部分删除、部分删除 n利用空矩阵的特性，可以从一个矩阵中删除部分行和部分利用空矩阵

18、的特性，可以从一个矩阵中删除部分行和部分列元素。如：列元素。如：A A是一个是一个4 45 5的矩阵，的矩阵，A(:,3,4)= A(:,3,4)= 表示表示删除删除A A的第的第3 3列和第列和第4 4列元素。列元素。 例例3-18 3-18 矩阵的部分删除矩阵的部分删除 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 A = A = 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 A(1,3,:)= A(1,3,:)= A = A = 4 5 6 4 5 6384、部分修改 n当矩阵的角标出现在等号左端时，表示对原矩阵中的部分或全部元

19、素重新赋值。n如：A(1,3,:)=B(1,2,:) 表示将矩阵A的第1、3行用矩阵B的1，2行代替。 例3-19 矩阵的部分修改 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9； B=zeros(4,3)； A(1,3,:)=B(1,2,:) A = 0 0 0 4 5 6 0 0 0395、矩阵的变维nMATLA可以实现矩阵元素的重新排列，以实现矩阵尺寸或维数的变化。根据MARLAB矩阵元素的排列顺序规则，重新排列的元素按照先排列，再排行，然后排列第三维，第四维的顺序排列。n命令：C=reshape(A,m,n) A为原始矩阵，C为变维后的矩阵，m,n等分别为新矩阵各维的阶数(行、列等）。新矩阵的

20、各维阶数的乘积必须与原矩阵的各维阶数的乘积相同。40例3-20 矩阵的变维A=1:12; reshape(A,3,4)ans = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 1241 6、矩阵的翻转和旋转n对矩阵进行翻转和旋转的函数如下：nB=fliplr(A) 对矩阵A进行左右翻转生成矩阵B，如果A是行向量，则返回一个大小和A 相同，元素的排列顺序和A相反的行向量；如果A是列向量，返回A本身。nB=flipud (A) 对矩阵A进行上下翻转生成矩阵B，如果A是行向量，返回A本身；如果A是列向量，则返回一个大小和A相同，元素的排列顺序和A相反的列向量。nB=flipdim(A,dim) 矩

21、阵A的第n维翻转生成矩阵B，dim=1时，行翻转，相当于flipud; dim=2时，列翻转，相当于fliplr。42nB=rot90(A) 将矩阵A逆时针旋转90。生成矩阵B。nB=rot90(A,k) 将矩阵A逆时针旋转k*90。生成矩阵B，k是整数。43 例3-21 对矩阵进行翻转和旋转 A=1,2,3;4,5,6 ; flipud(A)ans = 4 5 6 1 2 3 flipdim(A,1)ans = 4 5 6 1 2 3 fliplr(A)ans = 3 2 1 6 5 4 flipdim(A,2)ans = 3 2 1 6 5 4 rot90(A)ans = 3 6 2 5 1 4 rot90(A,2)ans = 6 5 4 3 2 1 rot90(A,-1)ans = 4 1 5 2 6 3654321A447、矩阵的抽取n矩阵的抽取包括：抽取对角线元素(diag)，抽取矩阵的上三角(triu)和下三角(tril)部分。函数的调用格式如下：nb=diag(A,n) 抽取矩阵A的第n条对角线生成列