数值分析误差

1、第一章第一章 误差误差返回前进 数值分析数值分析n n n 主讲：谢灵红n 电话 邮箱：第一章第一章 误差误差返回前进 教材 数值方法，金一庆等编 浙江大学 ,机械工业出版社。 实际上，只要有如下内容：绪论与误差绪论与误差 、非非线性方程求解线性方程求解 、解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 、解线性方程组迭解线性方程组迭代法代法 、插值法插值法 、曲线拟合和函数逼近曲线拟合和函数逼近 、数值积分与微分数值积分与微分 、常微分方程数值解常微分方程数值解 书都可作为教材。 第一章第一章 误差误差返回前进 参考书1.数值方法数值方法，金一庆等编，金一庆等编 浙江大学

2、浙江大学 ,机械工业出版机械工业出版社社,20002. 数值分析及其MATLAB实验，姜健飞等编 , 科学出版社,20043.数值分析，徐跃良编 , 西南交大出版社,20054. 计算方法，曹德欣等编, 中国矿业大学出版社,20015 数值分析方法，奚梅成等编 ,中国科学技术大学出版社,20036数值分析(第三版)，颜庆津编北京航空航天大学出版社,2006 高等学校研究生教材。第一章第一章 误差误差返回前进考试要求：1、考试为题库调题考试。2、期末成绩为60分以上及实验成绩（上机）通过，该门课程才通过。第一章第一章 误差误差返回前进1.1数值分析课程介绍n随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所

3、有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。 第一章第一章 误差误差返回前进n 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计解方法，是在计算机上使用的解数学问题的

4、方法，简称计算方法。算方法。 在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。 数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，数值分析是一门理论性又有实用性和实验性的技术特征，数值分析是一门理论性和实践性都很强的学科。和实践性都很强的学科。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。第一章第一章 误差误差返回前进

5、 数值分析的计算对象是微积分，线性代数，常微数值分析的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。方程数值解等问题。 数值分析的计算目标是高等数学问题的的数值数值分析的计算目标是高等数学问题的的数值解。解。 对一般理工科的学生，教学内容侧重方法的实用对一般理工科的学生，教学内容侧重方法的实用性和实验性部分；我们的宗旨既不以严谨理论为性和实验

6、性部分；我们的宗旨既不以严谨理论为主导，也不是全篇的数据的数值计算，而是两者主导，也不是全篇的数据的数值计算，而是两者兼顾，兼收方法的基本理论和实用性。兼顾，兼收方法的基本理论和实用性。第一章第一章 误差误差返回前进求精确解求精确解( (值值) )一般非常困难。例如：一般非常困难。例如： 1. 1. 方程组阶数方程组阶数n n很大，例如很大，例如n=20,n=20,计算机运算速度计算机运算速度 1 1亿次亿次/ /秒秒, ,用不好的方法用不好的方法, ,大约需算大约需算3030多万年多万年; ; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。问题。2.

7、 2. 特征值定义特征值定义)0(xxAx0 xAx 0)( xIA0| IA第一章第一章 误差误差返回前进3. 3. 形式复杂时求根和求积分很困难。形式复杂时求根和求积分很困难。 4.4.线性微分方程易解，线性微分方程易解， 如如 非线性方程难解，如非线性方程难解，如 )(xf12 yyy1)0()0( yy1sin2 yyyey 1)0()0( yy 希希 望：望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工（计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。具，易在计算机上实现。计算机运算计算机运算: 只能进行加，减

8、，乘，除等算术运只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。算和一些逻辑运算。计算方法：计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算进行加，减，乘，除等基本运算 数值方法。数值方法。第一章第一章 误差误差返回前进1.2 1.2 误差基础知识误差基础知识一一 .误差来源误差来源 第一章第一章 误差误差返回前进 半个世纪以来计算机还给我们这个世界的诸多烦恼中，半个世纪以来计算机还给我们这个世界的诸多烦恼中，误差误差问题最为突出。小到银行利率的错算，大到导弹的错问题最为突出。小到银行利率的错算，大到导弹的错误发射，除了操作人员的疏忽

9、、机器的故障引起的过失误误发射，除了操作人员的疏忽、机器的故障引起的过失误差外，计算机在处理数据过程中还存在差外，计算机在处理数据过程中还存在计算误差计算误差。这是计。这是计算机机器数系所引起的，这一数系的特点是算机机器数系所引起的，这一数系的特点是有限、离散、有限、离散、支离破碎支离破碎；这和数学上常用的实数系；这和数学上常用的实数系无限、稠密、连续无限、稠密、连续的的特点完全不同。机器数的表示方法通常采用浮点数形式，特点完全不同。机器数的表示方法通常采用浮点数形式，即：即：mnaaa10.021 数值计算方法就是数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解研究用于求得数学问题近似解的方法和

10、过程的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行，由于算法的实现必须在计算机上进行，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不但计算机并不是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错差错。第一章第一章 误差误差返回前进其中其中 ，且，且 都是整数都是整数09中的任一个数。中的任一个数。 称为尾数，尾数的位数称为尾数，尾数的位数n是有限正整数；是有限正整数； 中的中的m称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情最

11、大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情况下都带有误差况下都带有误差 。01anaaa,21naaa21. 0m10 第一章第一章 误差误差返回前进 100011001 . 0i例：计算： function s=f(m) s=0; for n=1:m s=s+0.1 end s=s-100运行结果：运行结果：s = -1.4069e-012反应二进制本质反应二进制本质第一章第一章 误差误差返回前进 在在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被误差所困扰。下面问题就是

12、三大难题之一。被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。 第一章第一章 误差误差返回前进 例 题 解解 不妨设已知立方体体积为不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积。要作的立方体体积为为2，则所求方立体高度应该为，则所求方立体高度应该为 ，用计算机计算，用计算机计算出出 ，（，（15位数）。尽管精确度相位数）。尽管精确度相当高，但仍是近似值。下面的表当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对列出了对h取前有限位取前有限位数时，计算所得体积的误差。数时，计算所得体积的误差。 32h94872599210498.123例例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积立方倍积问题。作一个立方体，使其体

13、积为已知立方体的二倍为已知立方体的二倍 。第一章第一章 误差误差返回前进例 1（续）位数位数 高度高度体积体积误差误差21.21.7282.720010-131.251.9531254.687510-241.2591.9956169794.383010-351.25991.9998997577991.002410-461.259921.999995000191494.999810-671.2599211.999999762390492.376110-781.2599211.999999762390492.377110-791.259921041.999999952878604.712110-8

14、表表1-1 立方倍积问题的计算立方倍积问题的计算 由上表可知，计算机机器数的有限位特点使这一问题只由上表可知，计算机机器数的有限位特点使这一问题只能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。第一章第一章 误差误差返回前进1 误差来源 （2）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不带误差，这种误差称为带误差，这种误差称为观测误差观测误差。 一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其一个物理量的真实

15、值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的。差称为误差。引起误差的原因是多方面的。（1）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次要因素，这样建立的数学模型虽然具有要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确精确”、“完完美美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差模型误差。第一章第一章 误差误差返回前进方法误差

16、与舍入误差（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数，如，穷小数，如， ， 等，由于计算机数系是等，由于计算机数系是间断间断的且的且有界有界，即计算时只能对有限位数进行运算，因，即计算时只能对有限位数进行运算，因此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差舍入误差 。e,3/1 ,2（3）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数求和，只能取前面有限项求

17、和来近似代替，于是产生了有求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为限过程代替无限过程的误差，称为截断误差截断误差，这是计，这是计算方法本身出现的误差，所以也称算方法本身出现的误差，所以也称方法误差方法误差，这种误，这种误差是需要特别重视的。差是需要特别重视的。第一章第一章 误差误差返回前进 有时，带有误差的数据也被人们频繁使用。例如，在某有时，带有误差的数据也被人们频繁使用。例如，在某次人口普查，经统计我国某省的人口数为次人口普查，经统计我国某省的人口数为7123万，这就是万，这就是一个近似数，其舍入误差不超过一个近似数，其舍入误差不超过0.5万。万。

18、用用3.1415926来代替圆周率，其舍入误差为来代替圆周率，其舍入误差为 1415926. 3R舍入误差753! 71! 51! 31sinxxxxx取取 ，作近似计算，则，作近似计算，则 为其截断误差。为其截断误差。 53! 51! 31xxxSSxR sin第一章第一章 误差误差返回前进条条 件件 问问 题题第一章第一章 误差误差返回前进递 推 算 法 递推算法是解决实际问题中使用相当普遍的一种算法，递推算法是解决实际问题中使用相当普遍的一种算法，它的数学描述是带初值的递推关系式。它的数学描述是带初值的递推关系式。 例例2 小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当小猴吃桃问题。有一天

19、小猴摘下了若干个桃子，当即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子时，看到只剩下时，看到只剩下1个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子？个桃子？ 解解 设第设第k天的桃子数为天的桃子数为pk，则桃子数目变化规律为，则桃子数目变化规律为1211kkpp第一章第一章 误差误差返回前进递 推 算 法（续 1）

20、这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式 )2 , 9 ,10(),1(21kppkk 由初值由初值 ，根据上式设计算循环算法计算，根据上式设计算循环算法计算出出 即第一天的桃子数为即第一天的桃子数为1534。 110p15341p 上例中仅涉及整数序列递推，根据初值条件来选择正上例中仅涉及整数序列递推，根据初值条件来选择正向递推或逆向递推使实际问题得以解决。尽管正向递推和向递推或逆向递推使实际问题得以解决。尽管正向递推和逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的算法。对于实数序列的递

21、推由于初始误差的存在，可以一算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增长的算法。长的算法。第一章第一章 误差误差返回前进) 1( 51) 1( 61 ) 1( 6165 ,) 1( 5155 10101010nInndxxdxxxIndxxdxxxInnnnnnn所以有而556515161),1 ,0(nnnxxxxxx所以有由于递 推 算 法（续 2）)11(20,2, 1 ,0510n

22、dxxxInn计算：1011011101015555ln6ln)5ln(5ndxxdxxxxIIxdxxxInnnnnoo)21(151nIInn第一章第一章 误差误差返回前进两种算法的近似值。，依次计算），对按式（取2110, 2 , 1212 . 1ln56ln5ln6ln51IIndxxIo) 1(51) 1(6121*nnI取（1-2）kkIkI1511)31 () 1 , 2 , 1,(nnkonnIIII,121：的计算结果见下屏表、算法按算法，分别取112101222222. 0155115612118232155. 0*14*0II)21 (151nIInn第一章第一章 误差误

23、差返回前进表1-1nIn（按算法（按算法1计算）计算）In（按算法（按算法2计算）计算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-

24、0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130 0*10I第一章第一章 误差误差返回前进 说 明1)1(51)1(610nInn1nnIIn0nI*14I0011. 090175121*0I*0I第一章第一章 误差误差返回前进的原因。来愈大并远远超过替变换且绝对值愈中后面的计算值符号交表，这就是引起有事实上由式倍，的误差是计算出的倍，因而由算法大计算一次，误差就扩经算法的误差即原始数据111)(lim)41 (5151*0nnhnnIIII)21 (151nIInn 说 明（续1）II01501II1501

25、II5)(50011IIII) 14()5()(511nnnnnIIII第一章第一章 误差误差返回前进说明（续2）kI1kI*1151kkkkIIII*051nnnoIIII*14I*0I1451第一章第一章 误差误差返回前进2 绝对误差、相对误差和有效数字的相对误差。为的绝对误差或误差，为近似值分别称*xexerxxxxeexxer*xxe第一章第一章 误差误差返回前进误差限的意义*xxx005.010210016.014.32，则若取142. 30005.0102100041.0142.33第一章第一章 误差误差返回前进相对误差*xeer第一章第一章 误差误差返回前进相对误差（续）*xex

26、erreee*x75*10410997925.21.0 x第一章第一章 误差误差返回前进2.2 有效数字 ,005. 0102100159265. 014. 32*1x1416. 3,00005. 0210000011. 0,1416. 3*24*2*2xxx而对第一章第一章 误差误差返回前进有效数字的定义位有效数字。时具有近似则称如果，中的一个数字，是的近似值，若表示记nxxxxaaaaaxxxnmimn*121*,1021)09 , 1 , 0(,10. 0*第一章第一章 误差误差返回前进54, 110211416.34*2nnmmx32, 1102114.32*1nnmmx第一章第一章

27、误差误差返回前进有效数字定义的进一步解释1111*1111211021101021*10)1(*1010.0*nmnmrmmmnaaxxxnxaxaaaax位有效数字，则有若可得因为由效数字。二位小数，只有二位有准确到第虽然有三位小数，但只，所以即，第二位小数的半个单位绝对误差限如位有效数字。有可知反之，由下式*2*1111005. 00005. 0)(1021005. 0,154. 01021) 1(21010) 1(*xxxxnxaaxxxnmnmr第一章第一章 误差误差返回前进11210an) 1(21011an第一章第一章 误差误差返回前进有效数字举例第一章第一章 误差误差返回前进有效

28、数字举例近似值。的具有四位有效数字的求052631578. 0191%01. 00001. 010101105214, 1102105263. 0191105263. 005263. 005263. 0052631578. 0191314411rnm而相对误差即其绝对误差可表示为解：第一章第一章 误差误差返回前进问要取几位有效数字？超过的近似值的相对误差不反之，要使%,01. 0191。超过，则其相对误差限就不有效数字为的近似值取四位因此，只要对由的这即要求出满足：%01.005263.0191052631578.019143001.0lg1001.0100001.0%01.0105215%0

29、1.01021)1()1(1)1(1nnanannn第一章第一章 误差误差返回前进例例3 3 设设 =0.0270=0.0270是某数是某数 经经“四舍五入四舍五入”所得，所得，求其有效数字求其有效数字. . *xx第一章第一章 误差误差返回前进解解: : 设设 =0.0270=0.0270是某数是某数 经经“四舍五入四舍五入”所得，所得，则则 误差误差 不超过不超过 末位的半个单位，即：末位的半个单位，即： 又又 , ,故该不等式又可写为故该不等式又可写为 由有效数字定义可知由有效数字定义可知, , 有有3 3位有效数字，分别位有效数字，分别 是是2,72,7，0 0。*x*)(xe*x41

30、021* xx)270. 0(10*1 x311021* xx*xx第一章第一章 误差误差返回前进例例4 4 = 32.93, = 32.89,= 32.93, = 32.89,求其有效数求其有效数字字. . x*x第一章第一章 误差误差返回前进解解: : = 32.93, = 32.89, = 32.93, = 32.89, 故故 有有3 3位有效数字，分别是位有效数字，分别是3,23,2，8 8。由于由于 中的数字中的数字9 9不是有效数字，故不是有效数字，故 不是有不是有效数。效数。 x1102105. 004. 0* xx321021* xx*x*x*x*x第一章第一章 误差误差返回前

31、进例例1.3 1.3 为了使为了使 的近似值的相对误差的近似值的相对误差 0.1%，问至少应取几位有，问至少应取几位有效数字？效数字？ 101x1第一章第一章 误差误差返回前进3 基本运算中的误差估计 niiinniiiinnnnxexxxxfxxxxxxfxxxdfxxxfxxxfyyye1211*2121*2*121*)(),()(),(),(),(),()(第一章第一章 误差误差返回前进基本运算中的相对误差)(),(),()(1)(ln)()(211211irniniininiirxexxxfxxxxxffxexfdfffdyyeye第一章第一章 误差误差返回前进具体误差估计，所以有：由

32、于1,),(212121xfxfxxxxfy)()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr)()() ()( )()(2121211221xexexxexexxexxxerrr)()()()()( 1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr)(21)()( 21)(xexexexxerr第一章第一章 误差误差返回前进更细的误差估计分析1)()()(2121xexexxe)()()(2121xexexxerrr故有：)()()(2121xexexxerrr 10)(0) 1 (21221121，的绝对值及时，同号而当

33、xxxxxxxx常大，即：个式子的误差可能会非时，这两，特别当则上述结论可能不成立，可能大于及时，异号而当01)(0)2(2121221121xxxxxxxxxx第一章第一章 误差误差返回前进)()(ln)(ln)(xnexndxdyexyrnrn，设第一章第一章 误差误差返回前进例例6 6：测得某桌面的长测得某桌面的长a a的近似值的近似值a a* *=120cm,=120cm,宽宽b b的的 近似值近似值b b* *=60cm=60cm。若已知。若已知|e(a|e(a* *)|0.2cm, )|0.2cm, |e(b |e(b* *)|0.1cm)|0.1cm。 试求近似面积试求近似面积s

34、 s* *=a=a* *b b* * 的绝对误差限与相对误差限。的绝对误差限与相对误差限。2241 . 01202 . 060|*)(|*|*)(|*|*)(|*)(*)(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(cmbeaaebsebeaaebbebbasaeabasse 解解: : 面积面积s=ab,s=ab,在公式（在公式（1.51.5）中）中, ,将将 换为换为 s=abs=ab, , 则则),(21xxfy 相对误差限为相对误差限为%33. 06012024|*)(|*)(| sseser第一章第一章 误差误差返回前进 1.3 1.3 选用算法应遵循的原则选用算法应遵循的原则1.1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. . 第一章第一章 误差误差返回前进1.1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. . 例如，计算多项式例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为通常运算的乘法次数为 nnn