数字信号处理_吴镇扬_第一章_课件

1、第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 离散时间信号 采样 离散信号的傅氏变换与Z变换 离散时间系统 系统函数1.1 离散时间信号离散时间信号（）单位脉冲序列0, 00, 1)(nnn（）单位阶跃序列（）单位阶跃序列0, 00, 1)(nnnu（）矩形序列（）矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n（）实指数序列（）实指数序列)()(nuanxn（）正弦序列（）正弦序列x(n) = sin（n0）sin(n0)-1(5)正弦型序列正弦型序列 )cos()(0nAnx为相位为数字频率，为幅度，00)cos()(AnAnxn（6）复指数序列）复指数序列0()

2、00( )(cossin)jnnx nAeAenjn 当0时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。 序列的运算序列的运算 1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)注：以上均为序列对应点相加、相乘注：以上均为序列对应点相加、相乘3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(绝对可和序列xBnx )( 有界序列 )()()(mnmxnxm6、序列的单位脉冲序列表示 5、实序列的偶部和奇部 )()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo1.2 采样采样对

3、信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。1.1.采样过程采样过程 采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。 连续时间信号的采样采样器)(txa)(txpP(t)TTfs1如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个

4、脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为 一般很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。 )()()(tptxtxap2. 理想采样理想采样 开关闭合时间0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲激载波， nnTttM)()(则有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()( 实际情况下，0达不到

5、，但(35)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。3）归一化数字角频率=T=/fs s=sT=2表表一一些些典典型型的的数数字字信信号号处处理理系系统统应用系统上限频率maxf采样频率sf地质勘探500Hz1-2 kHz生物医学1kHz-kHz机械振动kHz4-10 kHz语音kHz8-16 kHz音乐kHz40-96 kHz视频MHz8-10 MHz4采样的恢复（恢复模拟信号）采样的恢复（恢复模拟信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率 则理想采样的频谱就

6、不会产生混叠，因此有 =0部分）进行变换的z变换，其定义为单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。0)()(nnznxzX三、三、 z变换的收敛域变换的收敛域 一般，序列的Z变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是级数一致收敛的条件是绝对值可和绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足 因为对于实数序列， 因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()( Rx

7、-|z|Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。 z变换的收敛域 jImzRx+Rx-Rez0这里主要讨论以下四种序列：a 有限长序列有限长序列序列 (序列x(n)只在有限长度n1n2 内有值，其余为零)其Z变换X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及 n

8、nnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX 两个点（对应n0不收敛）以外的整个 z 平面： 0|z|如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域： 0|00021nznz 例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比级数求和 nnzznzX11)()(0nNnNnnNzzzzznRzX10)1(2111)()(|0,11)(1zzzzXNb 右边序列右边序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nRx- 为收敛半

9、径Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，nn2时，x（n）=0 收敛域： |Z|Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域: Rx-|z|Rx-如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛. Z变换小结 Z变换收敛域的特点：1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x（n）=（n）的收敛域是整个z平面。2）在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。 Z变换表示法：级数形式解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域） 已知函数

10、X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用Z-1x(z)表示。若 则逆z变换为： 逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。xxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc四、逆四、逆z变换变换围线积分路径证： 设积分路径C在半径为R的圆上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，则 mcmncnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(2111(1)11Re2210,002kkj kjcckjkzdzRejdjjk

11、Redknmk这个公式称为柯西积分定理。因此 或 mcmnnxdzzjmx)(21)(1)(),()()(211xxcnRRcnxdzzzXj直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：l 幂级数l 留数定律法l 部分分式法常用序列z变换（可直接使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNN五、五、z变换的性质变换的性质 z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到 、 六、DTFT与z变换 njnjenxeX)()(njnezjenxzXeXj)()()( )( )nnX zx n z七、七、Parseval定理定理z变换的

12、重要性质之一变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z|Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它们的收敛域满足条件： Rx- Ry-1则 其中，C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -ncdvvvYvXjnynx1*)/1 (*)(21)(*)(证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性(p21表1.3，第7和第10)：则 由于假设条件中已规定收敛域满足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收敛域内，即w（z）在单位圆上收敛，w（z）|z=1存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1 (又因 因此 证毕1(1)( ) *( )( ) *( )nznnWx n yn zx n yn111( ) *( )( ) *2cnx n ynX v Yv dvvj如果 X（v）、Y