中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

1、学习必备欢迎下载中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1：（北京市石景山区 20XX年数学期中练习）在 ABC中， B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1) 求 ABC的面积；(2) 现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后， PBQ的面积是

2、ABC的面积的一半？(3) 在第（ 2）问题前提下， P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P、 Q 在 ABC边上的位置，有三种情况。（ 1）当 0 t 6 时， P、Q 分别在 AB、BC边上；（ 2）当 6 t 8 时， P、 Q 分别在 AB 延长线上和 BC边上；（ 3）当 t >8 时, P 、Q 分别在 AB、BC边上延长线上 .然后分别用第一步的方法列方程求解.BCA例 2: ( 北京市顺义 20XX 年初三模考 ) 已知正方形的边长是1，E为边的中点，P为正方形边上的一个动点，动ABCDCDABCD点 P 从 A 点出发，沿 A B C E运动，到达点E.

3、若点 P经过的路程为自变量x， APE的面积为函数y，（1）写出 y 与 x 的关系式(2) 求当 y 1 时， x 的值等于多少？3点评 : 这个问题的关键是明确点P 在四边形ABCD边上的位置 , 根据题意点P 的位置分三种情况: 分别在AB 上、 BC边上、 EC边上 .例 3：( 北京市顺义20XX年初三模考 ) 如图1 ，在直角梯形 ABCD中， B=90°， DCAB，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 B C D A 运动，设点 P 运动的路程为x , ABP的面积为 y ,如果关于 x 的函数 y的图象如图2 所示 ，那么 ABC 的面积为（）A 32B 18C

4、16D10y3 x例 4：（ 09 齐齐哈尔） 直线 y6 与坐标轴分别交于BA、B 两点，动点 P、 Q 同4时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点Q 沿线段 OA运动，速度为每秒 1 个单位长P度，点 P 沿路线 O B A 运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；A xO Q（2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S48M 的坐标时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点5点评：本题关键是区分点P 的位置：点 P 在 OB上，点 P 在 BA 上。例 5：（2009

5、 宁夏）已知：等边三角形ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以1 厘米 / 秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点 A重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M 、 N 分别作 AB 边的垂线，与 ABC 的其它边交于P、 Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒（1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（ 2）线段 MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t 求四边形CQPAMNB学习必备欢迎下载MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化

6、的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围解：（1）过点 C 作 CDAB ，垂足为 D 则 AD2，3当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即 AM时，23秒时，四边形MNQP 是矩形四边形 MNQP 是矩形， t2CQ3S四边形 MNQP3PM AM tan60°= 3 ，322（ 2） 1°当 0 t1时，四边形1·3SMNQP( PMQN) MN3t22PAMNBC当 时， S四边形1·332MNQP(PM QN) MN2° 1 t22PQ当时，S四边形 MNQP1·3t73° 2 t 3(PM

7、QN) MN322AMNB点评：此题关键也是对P、 Q两点的不同位置进行分类。例 6：（2009 四川乐山）如图（15），在梯形 ABCD 中， DC AB， A 90°， AD6 厘米， DC4 厘米， BC的坡度i 34， P从A出发以 2厘米 / 秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3 厘米/秒的速度沿动点BCD 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动DC点也随之停止设动点运动的时间为t 秒（1）求边 BC 的长；Q（2）当 t 为何值时， PC 与 BQ 相互平分；BAP EPQ， PBQy，ytty（3）连结的面积为与的函数关系

8、式，求为何值时，有最图（ 3）设探求大值？最大值是多少？6. 解：（1）作 CEAB 于点 E ，如图（ 3）所示，则四边形AECD 为矩形AECD 4， CEDA又i34，CE38， AB 122 分6EB EB4在 Rt CEB 中，由勾股定理得：BCCE2EB210（ 2）假设 PC 与 BQ 相互平分由 DC AB，则 PBCQ 是平行四边形（此时 Q 在 CD 上） · ··即CQBP， 3t1012解得t22t22秒时， PC 与 BQ 相互平分2t5，即5（ 3）当 Q 在 BC 上，即 0 t 10时，作 QFAB 于 F ，则 CE QF3学习必

9、备欢迎下载QFBQQF3t9t1·19t=9281即 QF S PBQ(12·(t3)CEBC，652PB QF2t)510255当 t3 秒时，SPBQ 有最大值为81厘米 25QCD10141·1366t t 时，S PBQ(122t)6当在上，即322=3易知 S 随 t 的增大而减小故当 t10秒时，S PBQ 有最大值为 3610616厘米 2339254 ，0t1081t5t316， y553610 t 146t33综上，当 t3 时， S PBQ 有最大值为81厘米 25二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数

10、或方程。例 7：（包头）如图，已知 ABC 中， ABAC 10 厘米， BC8厘米，点 D为 AB的A中点（1）如果点P 在线段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C点向 A点运动DQ若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；BPC若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点

11、Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？解：（ 1） t 1秒， BPCQ 313 厘米， AB10 厘米，点 D 为 AB 的中点， BD5 厘米又 PCBC BP， BC8 厘米， PC835 厘米， PCBD 又 ABAC ，BC ， BPD CQP vPvQ ， BPCQ ，又 BPD CQP ，BC，则 BPPC4，CQBD5 ，点 P ，点 Q 运动的时间 tBP4CQ 515厘米/秒3秒， vQt4433（ 2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得15 x3x210，解得 x80秒43学习必备欢迎下载点 P 共运动了80 380 厘米380 2 2824 ，点

12、P 、点 Q 在 AB 边上相遇，经过80秒点 P 与点 Q 第一次在边AB 上相遇3例 8：（09 济南）如图，在梯形ABCD中，AD BC，AD3， DC5，AB 42，B 45 M从B点动点出发沿线段 BC 以每秒 2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（ 1）求 BC 的长 （2）当 MN AB 时，求 t 的值（ 3）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形解：（1）如图，过A、 D 分别作 AKBC于K，DHBC 于 H ，则四边形 ADHK 是矩形KHAD3 Rt ABK

13、中，AKAB sin 454 24在22BKAB cos454 224 在， Rt CDH 中，由勾股定理得，HC524232 BCBKKHHC43310ADADNB（2）如图，过D作DG AB交BC于GMN ABMN DGBG AD由题意知，当M 、 N 运动到 t 秒时， CNKCBGCHM（图）（图）点，则四边形ADGB 是平行四边形3 GC103 7t， CM 102t DG MN NMC DGC 又C CCNCMt102t50 MNC GDC 即57解得， t17CDCG（ 3）分三种情况讨论：当 NCMC 时，如图，即 t 102t t103ADADNNBMCBMHEC（图）（图）

14、当 MN NC 时，如图，过N作NEMC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC1 MC1 102t5 t22EC5 tCH35 t325在 Rt CEN 中， cosc又在 Rt DHC 中， coscCD55解得 tNCtt8学习必备欢迎下载 C C， DHCNEC90 NEC DHC NCEC 即t5 t t25DCHC538当 MNMC 时，如图，过M 作MFCN于F点.FC1 NC1 t22解法一：（方法同中解法一）ADFC1 t360NcosC2解得 tFMC102t517B解法二：H MC C C， MFCDHC90 MFC DHC（图）FCMC1 t102t t602即17

15、HCDC35综上所述，当 t1025或 t60、 t8时， MNC 为等腰三角形317例 9：（呼和浩特）如图，在直角梯形 ABCD中， ADBC， ABC 90o， AB12cm，AD 8cm，BC22cm，AB 为 O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动， 动点 Q 从点 C 开始沿 CB边向点 B 以 2cm/s 的速度运动， P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t( s) APD( 1) 当 t 为何值时，四边形PQCD为平行四边形？( 2) 当 t 为何值时， PQ 与 O 相切？

16、O解： ( 1) 直角梯形 ABCD ，AD BCPD QCBQC当 PDQC 时，四边形 PQCD 为平行四边形由题意可知： APt，CQ 2tAPD8 t2t ， 3t8O8 ， t38 s 时，四边形 PQCD 为平行四边形BQC当 tAPD3H（ 2）解：设PQ与O相切于点H ，P作PEBC，E过点垂足为直角梯形 ABCD， AD BCOPEAB 由题意可知： APBEt，CQ2t BQBC CQ 22 2tBEQCEQBQBE222tt223tAB 为 O 的直径，ABCDAB90°AD、 BC 为 O 的切线APPH， HQBQPQPHHQAPBQt222t22t学习必备

17、欢迎下载在 Rt PEQ 中， PE 2EQ 2PQ 2122(223t )2(22t) 2 即： 8t288t1440t 2 11t18 0 ， (t2)(t 9)0t12， t297 分AD88秒，而 t9 8t 9因为 P 在 AD 边运动的时间为1（舍去）1当 t2 秒时， PQ 与 O 相切例 10. 如图，在矩形ABCD 中， BC=20cm，P，Q， M， N 分别从 A，B，C， D 出发APND沿 AD， BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm( x0) ，则 AP=2xcm，CM=3x

18、cm，DN=x2cm（ 1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边 ,以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边构BQC成一个三角形；M（ 2）当 x 为何值时，以 P， Q，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（ 3）以 P， Q，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由解：（ 1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时，由 x22 x20，得 x1211 ，x2211（舍去）因为 BQ+CM= x3x4(211)20 ，此时点 Q 与点 M 不重合所以 x 21 1 符合题意当点 Q 与点 M 重合时，由 x 3 x 20,得 x5 此时 DN22520 ，不符合题意故点Q 与点 M 不能重合x所以所求 x 的值为211 （ 2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20 ( x3x)20(2 xx2 ) ，解得 x10(舍去)，x2 2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时，由 20