高中数学学习必备的初中知识技能

1、学习必备欢迎下载第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用， 而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax2bxc0 ( a0) ，用配方法将其变形为：b)2 b24ac( x4a22a(1)当 b24ac0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：bb24acx2a(2)当 b24ac0时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：x1,2b2a(3) 当 b2 4ac 0时，右端是负数

2、因此，方程没有实数根由于可以用 b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 b24ac 叫做一元二次方程 ax 2bxc0 ( a0) 的根的判别式，表示为：b24ac【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)2 x23x1 0(2)4 y29 12 y(3)5( x23) 6x0解： (1)(3)24 21 10 ， 原方程有两个不相等的实数根(2)原方程可化为： 4 y212 y90(12449 ，0 原方程有两个相等的实数根2 )(3)原方程可化为：5x26x150(62)451 52 6 4， 0原方程没有实数根说明： 在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次

3、方程的一般形式【例 2】已知关于 x 的一元二次方程3x22 x k0 ，根据下列条件，分别求出k 的学习必备欢迎下载范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3) 方程有实数根；(4)方程无实数根解：(2) 243k412k(1)412k0k1；(2)412k01；3k3(3)412k0k1；(4)412k013k3【例 3】已知实数 x 、 y 满足 x2y2xy2xy10 ，试求 x 、 y 的值解： 可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：x2( y 2) x y2y 1 0由于 x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： ( y 2) 24( y2y 1

4、)3y20y 0，代入原方程得：x22x 1 0x1综上知： x1, y0二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程 ax2bxc0 ( a0) 的两个根为：xbb24ac , xbb24ac2a2a所以： x1x2bb24acbb24acb ，2a2aax1x2bb24acbb24ac(b)2( b24ac) 24acc2a2a(2 a)24a2a定理：如果一元二次方程ax 2bxc0 ( a0) 的两个根为 x1 , x2 ，那么：bcx1 x2a , x1 x2a说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为 ”韦达定理 ”上述定理成立的前提是0

5、【例 4】若 x1 , x2是方程 x22x 20070 的两个根，试求下列各式的值：(1)x12x22 ；(2)11；(3)( x15)( x25) ；(4) | x1x2|x1x2学习必备欢迎下载分析： 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解： 由题意，根据根与系数的关系得：x1x22, x1 x22007(1)x12x22( x1x2 ) 22x1 x2( 2)22(2007)4018(2)11x1 x222x1x2x1 x22007 2007(3)(x15)( x25)x1 x25( x1x2 ) 2520075(2)25197

6、2(4)| x1x2|( x1x2 ) 2( x1x2 ) 24x1x2(2)24( 2007)22008说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12x2 2(x1x2 ) 22x1 x2 ， 11x1x2 ， (x1x2 ) 2(x1x2 )24x1 x2 ，x1x2x1 x2| x1x2 |( x1x2 ) 24x1 x2 ， x1 x22x12 x2x1 x2 (x1x2 ) ，x13x23( x1x2 )33x1 x2 ( x1x2 ) 等等韦达定理体现了整体思想【例 5】已知关于 x 的方程 x2(k1)x1 k 210 ，根据下列条件， 分别求出 k 的4值(1)

7、方程两实根的积为5；(2)方程的两实根 x1, x2 满足 | x1 |x2 分析： (1)由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x1x20 ，二是x1x2 ，所以要分类讨论解： (1)方程两实根的积为5(k 1)24( 1 k 21) 034k4, kx1x21 k 21524所以，当 k4 时，方程两实根的积为5(2)由 | x1 |x2 得知：当 x10 时， x1x2 ，所以方程有两相等实数根，故0k3；2当 x10 时，x1x2x1x20k10k1，由于0k3，故 k1不合题意，舍去2学习必备欢迎下载3综上可得， k时，方程的两实根x1, x2 满足 | x1 |x2 2说明：

8、根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0 【例 6】已知 x1 , x2 是一元二次方程4kx24kxk10 的两个实数根(1)是否存在实数 k ，使 (2x1x2 )( x12x2 )3成立？若存在，求出 k 的值；2若不存在，请您说明理由(2)求使 x1x22 的值为整数的实数k 的整数值x2x1解： (1)假设存在实数 k ，使 (2 x1x2 )( x12x2 )3成立2 一元二次方程 4kx24kxk1 0的两个实数根4k0k0 ，( 4k)24 4k(k 1)16k0又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx24kx k1

9、0 的两个实数根x1x21x1 x2k14k (2 x1x2 )( x12x2 ) 2( x12x22 ) 5x1 x22( x1x2 ) 29x1 x2k9394kk，但 k 0253不存在实数 k ，使 (2x1x2 )( x12x2 )成立2(2)x1x22x1 2x222( x1x2 )24k44x2x1x1 x2x1x24k 1k 1 要使其值是整数， 只需 k1能被 4 整除， 故 k11,2, 4，注意到 k0 ，x1x22 的值为整数的实数k 的整数值为2,3, 5要使x1x2说明： (1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(

10、2) 本题综合性较强，要学会对4为整数的分析方法k1学习必备欢迎下载练习A组1一元二次方程(1 k) x22x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ()A k 2B k 2, 且 k 1C k 2D k 2, 且 k 12若 x1 , x2 是方程 2x26 x30 的两个根，则11的值为 ()x1x2A 2B 2C1D922x 的方3已知菱形 ABCD 的边长为5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于程 x2(2 m1)xm230 的根，则 m 等于 ()A 3B 5C5或 3D 5或34若 t 是一元二次方程 ax 2bxc0 ( a0) 的根，则判别式b2

11、4ac 和完全平方式 M(2 atb)2 的关系是 ()AMB MCMD大小关系不能确定5 若实数 ab ，且 a, b 满足 a28a50, b28b5 0 ，则代数式b1a1 的值为 ()a1b1A 20B 2C 2或 20D 2或206如果方程 (bc)x2(ca)x(ab)0 的两根相等， 则 a, b, c 之间的关系是_7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x28x70 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_ 8若方程 2x2(k1)xk30 的两根之差为1，则 k 的值是 _ 9设 x1, x2 是方程 x2pxq0 的两实根， x11, x21是关于 x 的方程 x2q

12、xp0的两实根，则p = _， q = _ 10已知实数 a,b, c 满足 a6b,c2ab9 ，则 a = _， b = _ ， c = _ 11对于二次三项式x210 x 36 ，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可学习必备欢迎下载能等于10您是否同意他的看法？请您说明理由12若 n0 ，关于x 的方程x2(m2n) x1 mn0 有两个相等的的正实数根，求 m 的4n值13已知关于x 的一元二次方程x2(4 m1)x2m10 (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 x1, x2 ，且满足111x1x2，求 m 的值214已知关于 x

13、 的方程 x2( k 1)x1k210 的两根是一个矩形两边的长4(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5 时，求 k 的值B 组1已知关于x 的方程 (k1)x2(2 k3) xk10 有两个不相等的实数根x1 , x2 (1) 求 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于 x 的方程 x23xm 0 的两个实数根的平方和等于11求证： 关于 x 的方程(k3) x2kmxm26m40 有实数根3若x1, x2是关于x 的方程x2(2 k 1)x k21 0的两个实数根，且x1, x2都大于1(1) 求实数 k 的取值范围；x11(2) 若，求 k 的值x22学习必备欢迎下载第