高中数学圆锥曲线题目(答案)

1、优秀学习资料欢迎下载解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r 2=2a。第二定义中， r1=ed1r2=ed2 。（ 2）双曲线有两种定义。 第一定义中， r1r22a ，当 r1>r2 时，注意 r2 的最小值为c-a：第二定义中， r1=ed1，r 2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次

2、方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：x2y21(ab0) 与直线相交于x0y0k0 。（ 1）2b2A 、

3、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 22aab（ 2） x2y21(a0,b0) 与直线 l 相交于 A 、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)则有 x0y0k0a2b2a 2b2（ 3） y2=2px （ p>0）与直线 l 相交于 A 、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例题 】例 1、 (1) 抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 _2。(2)抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点

4、Q 的坐标为分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则 PHPF ，因而易发现，A当 A 、HQP、 F 三点共线时，距离和最小。PB（ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B 、Q、R 三点共线时，F距离和最小。解：（ 1）（ 2， 2 ）连 PF，当 A 、P、F 三点共线时，AP PH APPF 最小，此时 AF 的方程为 y4 20 ( x 1) 即3122)，（注：另一交点为1y=2 2 (x-1), 代入 y =4x 得 P(2,2( , 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）2优秀学习资料欢迎下载（ 2）（ 1 ,1）4过 Q 作 QR l 交

5、于 R，当 B 、 Q、 R 三点共线时，BQQFBQQR 最小，此时Q 点的纵坐标为1，代211,1)入 y =4x得 x=， Q(44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、 F 是椭圆 x 2y 21 的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。43（1） PAPF 的最小值为yAPH（2） PA2 PF 的最小值为F0 Fx分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解：（ 1） 4- 5设另一焦点为F ，则 F (-1,0)连 A F ,PFPAPFPA 2a PF 2a( PFPA

6、 ) 2a AF4 5当 P 是F A的延长线与椭圆的交点时, PAPF 取得最小值为 4-5 。（ 2） 3作出右准线 l ，作 PH l 交于 H ，因 a2=4 ， b2=3，c2=1， a=2， c=1， e=1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH2 PA2PF PAPH当 A 、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a 2xA 4 1 3c例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点y共线（如图中的A 、 M 、C 共线

7、， B、 D、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的C“半径MCMD ）。等于半径”（如图中的MD解：如图， MCMD ，A 0 B5x ACMAMBDB即6 MAMB 2 MAMB8（ *）优秀学习资料欢迎下载点 M 的轨迹为椭圆，2x2y22a=8， a=4， c=1， b =15轨迹方程为11615点评：得到方程（* ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出( x1) 2y 2(x1) 2y 24 ，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求点 A

8、的轨迹方程。5分析： 由于 sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（ R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=3 · 2RsinA55AB AC3 BC5即AB AC 6（*）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为x 2y21（ x>3）916点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（* ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动， AB 中点为 M ，求点 M

9、到 x 轴的最短距离。分析：（ 1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x12)， B(x2，X 22) ，又设 AB 中点为 M(x 0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（ 2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(x 1 ，x12)， B(x2 ，x22)， AB中点 M(x 0， y0)( x1x2 )2( x12x22 ) 29则 x1x22x0222 y0x1x2由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2)2=9即 (x 1+x 2)2-4x1x2 · 1

10、+(x 1+x2 )2=922由、得 2x 1x2=(2x 0) -2y 0=4x0 -2y0代入得(2x 0 )2-(8x 02-4y0) · 1+(2x 0 )2=9优秀学习资料欢迎下载 4 y0 4x029 2 ，14x04y0 4x029(4x021)914x024x021291 5,y054当 4x02+1=3即 x02时， ( y0 ) min5此时 M(2,5)2424法二： 如图，2MM 2AA2BB2AF BFAB3313yMM2， 即MM 1，B242M5A， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 MM1A10 MB1x41A2MB252 M 到 x 轴的最短距

11、离为4点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1， x2，从而形成y0 关于 x0 的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A 、 B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。例 6、已知椭圆 x 2y 21( 2m5) 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、mm1B 、 C、 D、设 f(

12、m)= ABCD ,（1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此题初看很复杂，对 f(m) 的结构不知如何运算，因 A、 B 来源于“不同系统” ， A 在准线上，圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防B 在椭f (m)( xBxA )2( xDxC )22 ( x Bx A )(xDX C )2 ( xB xC ) ( xAxD )yDCF1 0F2xBA优秀学习资料欢迎下载2 (xBX C )此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（ 1）椭圆x2y 21222mm中， a =m ， b =m-1， c =

13、1，左焦点 F1(-1,0)1则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0得 (m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0设 B(x 1,y1),C(x 2,y2),则 x1+x2 =-2m (2 m 5)2m1f (m)ABCD2 (xBx A )( xDxC )2 (x1x2 ) ( x AxC )2 x1x222m2m1（ 2） f (m)2 2m112 (11)2m12m1当 m=5 时， f (m) min1029当 m=2 时， f (m) max423点评：此题因最终需求xBxC ，而 BC

14、斜率已知为1，故可也用 “点差法” 设 BC 中点为 M(x 0,y0),通过将 B、x0y0k0 ，将 y0=x 0+1 ， k=1x0x01， x0mC 坐标代入作差，得m1代入得m0，可见mm12m 1xBxC2m2m1当然， 解本题的关键在于对 f (m)AB CD 的认识， 通过线段在 x 轴的“投影”发现 f (m) xB xC是解此题的要点。【同步练习 】优秀学习资料欢迎下载1、已知： F1， F2 是双曲线 x2y21的左、右焦点，过F1 作直线交双曲线左支于点A 、B，若 ABm ，a2b2 ABF 2 的周长为（）A 、 4aB、 4a+mC、 4a+2mD、 4a-m2、

15、若点 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）A 、 y2=-16xB 、 y2 =-32xC、 y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC 的三边 AB 、 BC、AC 的长依次成等差数列，且ABAC ，点 B、C 的坐标分别为 (-1，0)，(1 ，0) ，则顶点 A 的轨迹方程是（）x2y21x2y21(x0)A 、3B 、344x2y21(x 0)x 2y21( x0且 y 0)C、3D、3444、过原点的椭圆的一个焦点为F(1， 0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）A 、 (x1) 2y 29 ( x1)B 、 ( x

16、1 )2y 29 (x1)2424C、 x2( y1) 29 ( x1)D 、 x2( y1) 29 (x1)24245、已知双曲线x2y 291 上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是166、抛物线 y=2x 2 截一组斜率为2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线2的弦 AB 所在直线过定点p(-2，0) ，则弦 AB 中点的轨迹方程是y =2x8、过双曲线x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2 =1 的交点个数只有一个，则k=x 2y 2sin F1PF2 的最大值。10、设点 P 是椭圆1上的动点， F1， F

17、2 是椭圆的两个焦点，求25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线 l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点 M 为 (-2， 1)， AB4 3 ，求直线 l 的方程和椭圆方程。x2y21( a 0, b 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C、D。求证：12、已知直线 l 和双曲线2b2aABCD 。优秀学习资料欢迎下载【参考答案 】1、 CAF2AF12a, BF2BF12a ，4,42 ,选CBF2ABa AF2BF2 ABamAF22、 C点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离， P 点轨迹为抛物

18、线p=8 开口向右，则方程为y2=16x，选 C3、 D AB AC 2 2，且 AB AC点 A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、 B、 C 三点不共线，即y 0，故选 D 。4、 A设中心为 (x， y)，则另一焦点为(2x-1 ， 2y)，则原点到两焦点距离和为4 得 1(2 x 1) 2(2 y)24 ，( x1) 2y 2924又 c<a,( x 1)2y 22 (x-1) 2+y 2<4 ，由，得 x -1，选 A295、3左准线为 x=- 9 ， M 到左准线距离为 d 4 (9)29则 M 到左焦点的距离为 ed529295553536、 x1 ( y1 )

19、22设弦为 AB ， A(x 1，y1)， B(x 2， y2)AB 中点为 (x， y)，则 y1=2x 12， y2=2x 22， y1-y2=2(x 12-x22)y1y22(x1 x2 )1x2 2=2 ·2x， xx12将 x1代入 y=2x 2 得 y1，轨迹方程是 x1(y>1)22227、 y2=x+2(x>2)设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)， AB 中点 M(x ，y)，则y122x1 , y222x2 , y12y222( x1x2 ), y1y2 ( y1 y2 ) 2x1x2 k AB kMPy0 ，y2y2 ，即 y2=x+2x

20、2x2又弦中点在已知抛物线内P，即 y2<2x ，即 x+2<2x ， x>2优秀学习资料欢迎下载8、 4a2b 24, c 28, c 2 2 ，令 x2 2 代入方程得 8-y2=4 y2 =4， y= ± 2，弦长为 49、2或1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=01 k 20得 4k22， k=2+8(1-k )=00 1-k2=0 得 k= ± 110、解： a2=25 ， b2=9，c2=16y设 F1、 F2 为左、右焦点，则F1(-4， 0)F2(4， 0)P设 PFr , PFr, F122PF2Fx1121F则 r1 r2 2r2r22r r2cos(2c) 2121 2-得 2r1r2(1+cos )=4b 2 1+cos=4b22b 2 r1 +r2 2 r1 r2 ， r1r 2 的最大值为22r1 r2r1r2a 1+cos的最小值为 2b2，即 1+cos18a 225cos7， 0arccos 7则当时， sin 取值得最大值1，25252即 sinF1PF2 的最大值为 1。11、设椭圆方程为x2y 21(a b 0)a2b