高中数学关于求圆锥曲线方程的方法复习

1、关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m 0,n 0)定量由题设

2、中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部C'18 mC其中轴 (即双曲线的虚轴 )旋转所成的曲面， 其中 A、A是的顶点， C、 C是冷却塔上口直径的两个端点，B、 BA'20 m直径的两个端点，已知 AA =14 m ，CC=18 m,BB =2214 m A20 m建立坐标系并写出该双曲线方程分 ， 绕双 曲 线是 下 底m, 塔 高命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方22 m程 和 解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法B'B解 决 实际问题的能力知识依托待

3、定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析建立恰当的坐标系是解决本题的关键技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系 xOy,使 AA在 x 轴上，AAy的 中点为坐标原点 O， CC与 BB平行于 x 轴C'C设双曲线方程为x 2y 2=1(a 0,b 0),则 a= 1 AA =7A'oxa2b2A2又设 B(11,y1),C(9,x2 )因为点 B、 C 在双曲线上，所以有112y121, 92y2 2B'B172b272b2由题意，知 y2 y1=20,由以上三式得y1=12,y2=8,b=72故双曲线方程为x 2y

4、 2=14998例 2 过点 (1， 0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上y1且2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y= 1Ay=x离心率为x 过线2段22AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对o1x 称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程B命题意图本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，

5、两式相减得关于直线AB 斜率的等式解法二，用韦达定理解法一c2a2b2122由 e=2,得2,从而 a =2b ,c=baa2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B( x2,y2)在椭圆上2222222222y1y2x1x2.则 x1+2y1 =2b ,x2+2y2=2b ,两式相减得，(x1 x2)+2( y1y2)=0,x22( y1y2 )x1设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB= x0,又 (x0,y0)在直线 y=1x 上，y0 =1x0,于是x0 = 1,kAB=2 y0222 y0 1,设 l 的方程为 y=x+1右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为(

6、x,y ),y1x1则 xb解得x by1by122由点 (1,1 b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2=9, a29168所求椭圆C 的方程为8x2162=1,l 的方程为 y= x+19y9解法二c2得a 2b2122由 e=,a 22,从而 a=2b ,c=ba2设椭圆 C 的方程为 x2 +2y2 =2b2,l 的方程为 y=k(x 1),将 l 的方程代入222224k2,y1+y2=k(x1C 的方程，得 (1+2k)x 4k x+2k 2b=0,则 x1+x2=12k21)+k(x21)= k(x1+x2) 2k=2k12k2直线 ly=1x1x2,y1y2),则k

7、21 2k 22 ,解得 k=0，或 k=x 过 AB 的中点 (2212k212k21若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k= 1，直线 l 的方程为 y= (x 1),即 y= x+1, 以下同解法一例 3 如图， 已知 P12 的面积为27 ，P 为线段P 1P1 2的一个三等OP4P分点，求以直线OP1、OP2 为渐近线且过点P 的离心率为13 的双曲P2oP 2线方程命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托定比分点坐标公式；三角

8、形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 P1OP2 的面积是学生感到困难的技巧与方法利用点 P 在曲线上和 P1 OP2 的面积建yP1立关于参数 a、 b 的两个方程，从而求出a、 b 的值解 以 O 为原点， P1OP2 的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系P设双曲线方程为x 2y 2a 2b2 =1(a 0,b 0)由 e2= c 21 ( b )2( 13 ) 2 ，得 b 3a 2a2a 2oxP 2两渐近线 OP 、OP2方程分别为 y=3x 和 y=3x122设点 P1(x1,3x1),P2(x2,

9、 3x2)(x10,x20),则由点 P 分 P1 P2 所成的比 =P1P=2,得 P 点坐标22PP2为 (x1 2x2x12x2),又点 P 在双曲线x24 y 2( x1 2x2 ) 2( x1 2x2 ) 23,2a29a2=1 上，所以9a29a2=1,即 (x1+2x2)2 (x1 2x2)2 =9a2,整理得 8x1x2=9 a2又2921329213x14x12x1 ,| OP |x24 x22x2|OP1 |2 tan P1Ox2312sin P1OP221tan2 P1Ox19134SP OP1 |OP | |OP| sin P OP113 x x21227 ,21212

10、24113412即 x1x2= 92由、得 a2=4,b2=9故双曲线方程为x 2y 2=149例 4x 2y2为双曲线上一点，|OP|双 曲 线4b2 =1( b N) 的 两 个 焦 点 F1 、 F2 ， P5,|PF 1|,|F 1F 2|,| PF 2|成等比数列，则b2=_解析设 F1( c,0）、 F2(c,0)、 P(x,y),则222222|PF 1| +|PF2| =2(| PO| +|F 1O| ) 2(5 +c ),即|PF 1|2+|PF 2|2 50+2 c2,222又 |PF 1| +|PF2 | =(|PF 1| |PF 2|) +2|PF1 |· |

11、PF 2|,依已知条件有 |PF 1|· |PF2|=|F1 F2 |2=4c2 16+8 c2 50+2c2,c2 17 ,3又 c2=4+ b2 17, b2 5 , b2=133答案 1学生巩固练习1已知直线 x+2y 3=0 与圆 x2+y2+x 6y+m=0 相交于 P、Q 两点， O 为坐标原点，若 OP OQ ，则 m 等于 ()A3B 3C1D 12中心在原点，焦点在坐标为(0，± 52 )的椭圆被直线3xy 2=0 截得的弦的中点的横坐标为 1 ，则椭圆方程为 ()2A.2x 22 y212x 22 y 212575B.2575C. x2y 21D. x

12、2y212575752512x2 4y2=3 的焦点作3直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P，若过点 P 且以双曲线椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_4已知圆过点 P(4， 2)、Q( 1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ，则该圆的方程为 _5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点， |MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点 M1 和 M2，且 |M1M2 |= 4 10 ，试求椭圆的方程36某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4米需用一支柱支撑，求

13、其中最长的支柱的长7已知圆 C12220,椭圆 C2 的方 程 为的方程为 (x 2) +( y 1) =3ACDEFBx 2y22，如果 C1 与 C2相 交 于a 2b2=1( a b 0)， C2 的离心率为2A、 B 两点，且线段AB 恰为圆 C1 的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2 的方程参考答案 :1 解析 将直线方程变为 x=3 2y,代入圆的方程 x2+y2+x 6y+m=0, 得 (3 2y)2+y2+(3 2y)+m=0整理得 5y220y+12+m=0, 设 P(x1,y1)、 Q(x2 ,y2)则 y1y2= 12m ,y1+y2=45又 P、 Q 在直线 x=3 2

14、y 上， x1x2=(3 2y1)(3 2y2 )=4y1y2 6(y1+y2)+9故 y1y2+x1 x2=5 y1y2 6(y1+y2)+9= m3=0 ，故 m=3答案 A2 解析由题意，可设椭圆方程为y 2x222a2b2=1,且 a =50+b ,即方程为y2x250 b2b2 =1将直线 3x y 2=0 代入，整理成关于x 的二次方程由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为 F 1( 1,0),F 2(1,0),2a=|PF 1|+|PF2|欲使 2a 最小，只需在直线 l 上找一点P使 |PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解x

15、 2y2答案45=14 解析设所求圆的方程为 (x a)2+( yb)2=r 2(4 a) 2( 2 b) 2r 2a 1a 5则有 ( 1 a) 2( 3 b) 2r 2b 0或 b 4| a |2(2 3)2r 2r 213r 227由此可写所求圆的方程答案x2+y2 2x 12=0 或 x2+y2 10x 8y+4=05解|MF |max=a+c,|MF |min=a c,则 (a+c)(a c)=a2 c2=b2,2x2y 2 b =4,设椭圆方程为1a24设过 M1 和 M 2 的直线方程为 y= x+m将代入得(4+a2)x2 2a2mx+a2m2 4a2=0设 M1(x1,y1)

16、、 M2(x2,y2),M1M 2 的中点为 (x0,y0),1a 2m4m则 x0= ( x1+x2)=4 a2 ,y0= x0+m=4 a222m4my代入 y=x,得a2 ,4a24 aD' oE'C'F'x2由知4a22 ,由于 a 4, m=0,x1+x2=0,x1 x2=a4x2 ) 24 10,ACDEFB又 |M1M2 |= 2 ( x14 x1 x232x2y 2代入 x1+x2,x1x2 可解 a =5,故所求椭圆方程为=1546 解以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，、|AB|=20，|OM|=4， AB 坐标分别为 ( 10， 4）、(10， 4）设抛物线方程为 x2=2py,将 A 点坐标代入，得100= 2p× (4),解得 p=12 5,于是抛物线方程为 x2= 25y由题意知 E 点坐标为 (2， 4)，E点横坐标也为2，将 2 代入得 y= 0 16,从而 |EE |=( 0 16) ( 4)=3 84 故最长支柱长应为 3 84 米7解由 e=2,可设椭圆方程为x2y 2=1,22b2b2又设 A(x1,y1)、 B(x2,y