高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质

1、优秀教案专题二利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。考点展示1.二次函数 yf ( x)的图象过原点且它的导函数yf '( x) 的图象是如图所示的一条直线，则yf ( x) 图象的顶点在第一象限2 如图，函数f ( x) 的图象是折线段ABC ，其中 A，B，C

2、 的坐标分别y为 (0，4)，(2，0)，(6 4) ，则 f ( f (0)2；4 AC3函数 f ( x) 在 x1处的导数f (1)-221BOx3.曲线 yx32x4 在点 (1，3) 处的切线的倾斜角为45°1234564.设曲线 y1a ）处的切线与直线2xy60平行，则 a1ax 2 在点（ ，5.设 a R ，若函数 y exax ， xR 有大于零的极值点，则a 的取值范围 a16.已知二次函数f (x)ax2bxc 的导数为 f(x) ， f(0)0 ，对于任意实数x ，有 f ( x) 0，则f (1) 的最小值为2f (0)7.已知函数 f ( x)x312

3、x8在区间3，3 上的最大值与最小值分别为M ，m ，则 M m_32_ _8.过点 P（ 2， 8）作曲线 yx3 的切线，则切线方程为 _12x-y-16=0或 3x-y+2=0样题剖析例 1 、设函数 f (x)a x33 x2( a 1) x 1,其中 a 为实数。32（）已知函数f ( x) 在 x 1 处取得极值，求a 的值；（）已知不等式f ' ( x)x2xa 1 对任意 a(0,) 都成立，求实数x 的取值范围。解: (1)f ' (x)ax23x (a 1) ，由于函数f ( x) 在 x1 时取得极值，所以f ' (1)0即 a3a 10, a1(

4、2)方法一： 由题设知： ax23x (a1)x2xa1 对任意 a(0,) 都成立即 a( x22) x22x0 对任意 a(0,) 都成立欢迎下载设 g( a)a(x22)x22x(aR) ,则对任意 xR， g(a) 为单调递增函数 ( a R)所以对任意 a(0,) ， g( a)0 恒成立的充分必要条件是g (0)0即 x22x0， 2x0于是 x 的取值范围是x |2x0方法二： 由题设知： ax23x( a1)x2x a1 对任意 a (0,) 都成立即 a( x22)x22x0 对任意 a(0,) 都成立于是 ax22x 对任意 a(0,) 都成立，即 x22x0x22x22

5、2 x 0于是 x 的取值范围是 x | 2 x 0点评 ：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0 ，则在函数这点处取得极值。变式 1.若 f(x)=1x2b ln( x 2)在 (-1,+) 上是减函数，则b 的取值范围是b12b由题意可知 f ' ( x)x0 ，在 x(1,) 上恒成立，x2即 b x(x2) 在 x (1,) 上恒成立，由于x1，所以 b1 ，变式 2. 已知函数 f1 (x)3 xp1 ， f2 ( x)2 3 x p2 （ xR, p1, p2 为常数）则 f1xf 2x 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用p1, p

6、2 表示）为（ 1）由 f ( x) 的定义可知，f (x) f1 (x) （对所有实数x ）等价于f1xf 2 x（对所有实数 x ）这又等价于3xp12 3 x p2 ，即x p1xp2log22 对所有实数 x 均成立 .（ * ）333由于 xp1xp2( x p1)(xp2 )p1p2 (xR) 的最大值为p1p2 ，故（ * ）等价于3 p1p22 ，即 p1p2log32 ，这就是所求的充分必要条件变式 3.函数 f (x)ax33x1 对于 x1,1总有 f ( x)0成立，则 a = 4解：若 x 0 ，则不论 a 取何值，f x0显然成立；优秀教案欢迎下载当 x0即 x(0

7、,1 时， f (x)ax33x1 0 可化为， a31y y03x x0 ，即 yx0313x x023xx12x0x023 12xx0设 gx31，则 g'， 所以 gx 在区间0, 11 ,1xx4上单调递增，在区间上66x2x322令 x0 ，得 yx 0的交点坐标为 0,；，从而得切线与直线x0g 1x0单调递减，因此gx max4 ，从而 a4 ；令 yx ，得 yx 2x0 ，从而得切线与直线yx 的交点坐标为2x0 ,2 x0；2当 x0即 x1,0 时， f ( x)ax33x 10 可化为 a31， g ' x3 12x0所以点 P x0 , y0处的切线与

8、直线 x0, yx 所围成的三角形面积为162x0 6 ；x2x3x42x0g x在区间1,0 上单调递增，因此gx ma ng14 ，从而 a4 ，综上 a4故曲线 y f x上任一点处的切线与直线x0, yx 所围成的三角形面积为定值，此定值为；例 2、如图，等腰梯形 ABCD 三边 AB ，BC，CD 分别与函数 y1 x22, x 2,2 的图像切于点P，2YQ， R，求梯形 ABCD 面积的最小值CQBRP1 x022) ， A( x024 ,0)B( 1 x0 ,2)解：设 P 的坐标 P(x0 ,22x02x0241ADOS 2( 2 x02 x0 ) 利用基本不等式得，最小值为

9、4 2变式：设函数f (x)axb ，曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程为 7 x4y12 0。x（ 1）求 yf (x) 的解析式；（2）证明：曲线 yf ( x) 上任一点处的切线与直线x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解：（）方程7x4 y120 可化为 y7 x3 ，当 x2 时， y1；422ab1a1又 f 'xab ，于是2xx32 ，解得，故 fx2ab7b3x44（）设 Px0 , y0为曲线上任一点，由y'13知曲线在点 P x0 , y0处的切线方程为x2总结提炼1. 要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数

10、研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式2. 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的3. 切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时X找出错误。自我测试1.过原点作曲线x的切线，则切点的坐标为(1, e)ye2.直线 y1 xb 是曲线 yln x(x 0) 的一条切线，则实数bl n 2123.已知函数f ( x) ,xR满足f ( 2)3f ( x)在R上的导数满足f/ ( x)10，则不等式，且f ( x2 )x21的解集为 _(,2)( 2,)_. （构造函数 g( x)f ( x)x ）4.一个物

11、体的运动方程为s1tt 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒， 那么物体在 3秒末的瞬时速度是5米 /秒35.母线长为1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于36.半径为 r 的圆的面积S(r) r 2, 周长 C(r)=2r ，若将 r 看作 (0 ， ) 上的变量，则 (r 2) 2r1 ，1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看优秀教案作 (0 ， ) 上的变量，请你写出类似于1的式子：22 ， 式可以用语言叙述为：解： V球434322432，用语言叙述为“球的体积函R，又R）4 R故 式可填R）4 R3（33数的导数等于球的表面积函数

12、”（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）7.已知函数f ( x)log a x和 g (x)2log a (2xt2), ( a0, a1, tR) 的图象在 x=2 处的切线互相平行 .（ 1）求 t 的值 .（ 2）设 F (x)g( x) f ( x)，当 x1,4时， F ( x)2 恒成立，求 a 的取值范围 .（ 1）解： f ( x)1 log a e, g ( x)2x4log a ext2函数 f (x)和 g( x) 的图象在x=2 处的切线互相平行， f (2) g (2) 1log a e4log a e2t2 t=6（ 2） t=6 ， F (x)g( x)f (

13、 x)2 log a ( 2x 4)log a x= log a (2xx4) 2, x1,4(2 x4) 24x1616, x1,4.令 h( x)xx h (x)4164( x2)( x2) , x1,4x2x2当 1 x 2时， h (x)0，当 2 x4时， h (x) 0 h( x)在1,2) 是单调减函数，在(2,4 是单调增函数 h( x) minh( 2)32, h( x) maxh(1)h(4)36.当 0 a1时，有 F ( x) minlog a 36，当 a1时，有 F ( x) min log a 32.欢迎下载当 x1,4时， F ( x)2恒成立，F (x) mi

14、n2满足条件的a 的值满足下列不等式组：0a1.或a1,log a 362log a 322不等式组的解集为空集，解不等式组，得1a4 2综上所述，满足条件的a 的取值范围是 (1,428.已知函数 f ( x) 的导数 f ( x)3x23ax,f (0)b. a, b 为实数， 1 a2 .（）若 f ( x) 在区间 1, 1 上的最小值、最大值分别为2 、 1，求 a 、 b 的值；（）在（）的条件下，求经过点P(2, 1) 且与曲线f ( x) 相切的直线 l 的方程；（）设函数 F ( x)( f(x)6 x 1) e2x ，试判断函数F ( x) 的极值点个数解（）由已知得，f

15、( x)x33 ax2b2由 f ( x) 0 ，得 x10 ， x2a 1, 1，1a2，x 当 x 1, 0) 时， f(x)0 ， f (x) 递增；当 x(0, 1 时， f(x)0 ， f (x) 递减 f (x) 在区间 1,1上的最大值为f (0)b， b1又 f (1)13 a123 a ， f (1)13 a13 a ，2222 f (1)f (1) 由题意得 f (1)2 ，即3 a2 ，得 a44231为所求故 a， b3（）解：由（1）得 f ( x)x32x21， f ( x)3x24x ，点 P(2,1) 在曲线 f (x) 上优秀教案欢迎下载 当切点为 P(2,1

16、)时，切线 l的斜率 kf ( x) |x 24 ， l 的方程为 y1 4( x2) ，即 4 xy70 当切点 P 不是切点时，设切点为Q( x0 , y0 ) (x0 2) ，切线 l 的斜率 k f( x) |x x 3x024 x0 ，0 l 的方程为yy0(3x024x0 )( xx0 ) 又点 P(2,1)在 l上，1y0(3 x024 x0 )(2x0 ) ， 1 ( x032x021) (3x024x0 )(2x0 ) ， x02 (2x0 )(3 x024x0 )(2x0 ) ， x023x024x0 ，即 2x0 ( x02) 0 ， x00 切线 l的方程为 y18分故所求切线 l 的方程为 4xy70 或 y19 分（ 或者 ：由（ 1）知点 A（0，1）为极大值点，所以曲线 f (x) 的点 A 处的切线为 y1，恰好经过点 P(2, 1)，符合题意）（）解：F ( x)(3x23ax6x1) e2 x3x23(a2)x1e2 x F ( x)6x3(a2)e2