高中数学不等式选修题型全归纳

1、优秀学习资料 欢迎下载6.不等式选讲6.1 均值不等式在证明中的应用2 2 x yx y21. （1）已知 a,b R ,x, y R ，求证：； a b a b（2）已知实数 x, y 满足：2x2 y2 1，试利用（ 1）求 2 1 2 2x y的最小值。（1）证：2 2 2 2x y bx ay2 2 2 2 2a b x y x y xy x ya b a b22 2 x yx ya b a b2（当且仅当x ya b时，取等号）；22 22 12 1 2 12 2 2 2 2 2x y 2x y 2x y9，当且仅当 2 2 1x y 时，32 12 2x y（2）解：的最小值是9。

2、考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 绝对值不等式 单绝对值不等式2. 已知函数f (x)2 5 4 , 0x x x2 x 2 ,x 0若函数 y f (x) a x 恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为 _.优秀学习资料 欢迎下载答案： (1,2)解析：分别作出函数 y f (x) 与y a | x| 的图像，由图知， a 0时，函数 y f (x) 与y a | x |无交点，a 0时，函数 y f (x) 与y a| x |有三个交点，故a 0.当x 0，a 2时，函数 y f ( x) 与 y a |x |有一个交点，当x 0，0 a 2 时，函数 y f ( x

3、) 与 y a |x |有两个交点，当x 0时，若 y ax与2 5 4,( 4 1)y x x x 相切，则由 0得：a 1或a 9（舍），因此当 x 0，a 1时，函数 y f (x) 与 y a| x |有两个交点，当x 0，a 1时，函数 y f (x) 与 y a | x |有三个交点，当x 0，0 a 1时，函数 y f (x) 与y a | x |有四个交点，所以当且仅当 1 a 2时，函数 y f (x) 与y a | x |恰有4个交点.优秀学习资料 欢迎下载考点：单绝对值不等式3. 存在 x 0 ，使得不 等式2 2x x t 成立 ， 则实数 t 的 取值范围为_答案：

4、9 ,24解析：不等式 x2 2 x t ，即x t x2 ， 2x t x2 ，令y x t y 的图象是关于 x t 对称的一个 V 字形图形， 其象位于第一、 二象1 , 1限；2y x ，是一个开口向下，关于 y 轴对称，最大值为 2 的抛物线；2 2要存在 x 0 ，使不等式2x t x 成立，2则y 的图象应该在第二象限和1y 的图象有交点，2两种临界情况，当 t 0 时，y 的右半部分和1y 在第二象限相切：2y 的右半部分即 y1 x t ，1优秀学习资料 欢迎下载联列方程 y x ty 2 x2 ，只有一个解；即x t 2 x2 ，即x2 x t 2 0 ， 1 4t 8 0

5、 ，得：9t ；4此时y 恒大于等于1y ，所以29t 取不到；4所以 9 0 t ；4当t 0 时，要使y 和1y 在第二象限有交点，2即y 的左半部分和1y 的交点的位于第二象限；2无需联列方程，只要y 与y 轴的交点小于 2 即可；1y t x 与y 轴的交点为 (0,t ) ，所以 t 2 ，1又因为 t 0 ，所以0 t 2 ；综上，实数 t 的取值范围是： 9 2 t ；4故答案为： 9 , 24考点：单绝对值不等式 同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数 f ( x) |2x 1| | 2x a |，g(x) x 3.（1）当a 2 时，求不等式 f ( x) g( x) 的解集

6、；优秀学习资料 欢迎下载（2）设a 1，且当 a , 1)x 时， f (x) g (x) ，求a 的取值范围。2 25x, x12（1）当a 2 时，令1y 2x 1 2x 2 x 3 x 2, x 1，23x 6,x 1作出函数图像可知，当 x (0,2) 时， y 0，故原不等式的解集为 x 0 x 2 ；（2）依题意，原不等式化为 1 a x 3，故x a 2对 a , 1 都成立，2 2a故 a 2 ，2故 4 a ，3故a 的取值范围是 1,43.考点：同系数绝对值相加型不等式优秀学习资料 欢迎下载 同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数 f ( x) x 2 x 5（1）证明：

7、3 f (x) 3;（2）求不等式2f x x x 的解集。( ) 8 153, x 2（1）f ( x) x 2 x 5 2x 7, 2 x 53, x 5当2 x 5时， 3 2x 7 3，所以， 3 fx 3（2）由（1）可知当x 2 时， f (x) x2 8x 15 的解集为空集；当2 x 5时， f ( x) x2 8x 15 的解集为 x |5 3 x 5当x 5 时， f (x) x2 8x 15 的解集为 x |5 x 6综上：不等式 f (x) x2 8x 15的解集： x |5 3 x 6考点：同系数绝对值相减型不等式 不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数 f x 2

8、x 1 x 2（1）求不等式 f x 2的解集；（2）若2 11x R f x t t 恒成立，求实数 t 的取值范围,2优秀学习资料 欢迎下载x 3,x12（1）由题意得1f (x) 3x 1, x 2 2x 3,x 2当1x 时，不等式化为 x 3 2，解得 x 5 x 5，2当 1 2x 时，不等式化为 3x 1 2 ，解得 x 1 1 x 2， 2当x 2时，不等式化为 x 3 2，解得 x 1 x 2，综上，不等式的解集为 x x 1?òx 5 （2）由（1）得5f x ，若 x R，min22 11f x t t 恒成立，25 11则只需 2f x t t ，解得min2

9、 212t ，5综上， t 的取值范围为 1 ,52考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3 已知绝对值不等式解求参数7. 设函数 f (x) x a 3x, a 0(1)当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2的解集；(2)如果不等式 f (x) 0的解集为 x x 1 ，求a 的值。（1）当a 1时， f (x) 3x 2 可化为| x 1| 2 。由此可得 x 3或x 1。故不等式 f (x) 3x 2 的解集为 x | x 3或x 1 。优秀学习资料 欢迎下载(2) 由 f ( x) 0 得 x a 3x 0此不等式化为不等式组x ax a 3x 0或x aa x 3x 0x a x

10、 a即xa4或aa2因为a 0，所以不等式组的解集为 |x xa2a ，故 a 2 由题设可得 =-12考点：已知绝对值不等式解求参数6.4 已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数 f (x) | x a | | x 2 |.（1）当a 3时，求不等式 f ( x) 3的解集；（2）若 f (x) |x 4|的解集包含 1,2 ，求a 的取值范围 .答案：5 2x ( x 2)（1）当a 3时，f (x) | x 3| | x 2| 1(2 x 3)2x 5( x 3)所以不等式 f (x) 3可化为x 25 2x 3，或 2 x 31 3，或x 32x 5 3解得 x 1或x 4因

11、此不等式 f ( x) 3的解集为 x | x 1 或x 4（2）由已知 f (x) | x 4 |优秀学习资料 欢迎下载即为| x a | | x 2 | | x 4 |，也即| x a | | x 4 | | x 2 |若 f (x) | x 4 |的解集包含 1,2 ，则 x 1,2 ，| x a | |x 4| | x 2 |，也就是 x 1,2 ，| x a | 2 ，所以 x 1,2 ，x ax a2，2从而1 a 22 a 2，解得 3 a 0因此a 的取值范围为 a 3,0 .考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5 含绝对值不等式的恒成立问题9

12、. 已知函数 f ( x) 2x 1 2x 1 ，（1）若对任意的 x 有 f (x) a 成立，求 a 的取值范围；（2）若不等式 2 1 ( ) 0a b a a b f x ，对于任意的 a,b都成立，求 x 的取值范2围。（1）根据题意 ,a 小于等于 f (x) 的最小值优秀学习资料 欢迎下载4x, x12由1 1f (x) 2, x2 24x, x12可得f (x) 2min所以 a 2（2）当a b 0 即a b 时，2 b 0 f (x) 0 恒成立， x R当a b 0 时，由绝对值不等式得性质可得2a b a (2a b) a a b ，当且仅当 (2a b)a 0 时取&

13、#39;' ，2a b aa b1恒成立，12 ( ) 0a b a a b f x ，22a b a 1a b 2f (x)12f x ， f (x) 2( ) 11 1 x2 2考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6 含绝对值不等式的能成立问题10. 已知函数 f x x 1 x 3 .(1)求x 的取值范围 ,使 f x 为常数函数 .(2)若关于 x 的不等式 f x a 0 有解,求实数 a 的取值范围 .优秀学习资料 欢迎下载2x 2,x 3(1)f x x 1 x 3 4, 3 x 12x 2,x 1则当 x 3,1 时, f x 为常数函数.(

14、2)方法一:如图,结合(1)知函数 f x 的最小值为 4 ,实数a 的取值范围为 a 4 .方法二: x 1 x 3 x 1 x 3 ;x x ,1 3 4等号当且仅当 x 3,1 时成立.得函数 f x 的最小值为 4 ,则实数 a 的取值范围为 a 4 .考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7 利用绝对值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数 x, y满足：1 1| | ,| 2 | ,x y x y 求证：3 65| |y 18证明： 3| y |= | 3y| = |2 x y 2x y | 2 x y 2x y ，由题设| | 1,| 2 | 1,x y x y3 6 1 1 5y

15、 . 3 6 63| | =5| |y .18优秀学习资料 欢迎下载考点：绝对值的三角不等式6.8 数形结合在含参绝对值不等式中的应用12. 已知函数f x x2 x x2 x ( ) 6 9 8 16（1）求 f (x) f (4) 的解集；（2）设函数 g( x) k (x 3) ，k R ，若 f (x) g (x) 对任意的 x R都成立， 求实数 k 的取值范围（1）2 2f (x) x 6x 9 x 8x 16(x 3)2 (x 4)2 | x 3| | x 4 | ，f x f ，即| x 3| | x 4| 9 ,( ) (4)x 4,3 x x 4 9 或4 x 3,3 x

16、x 4 9 或x 3,x 3 x 4 9,解得不等式： x 5；：无解；： x 4，所以 f (x) f (4) 的解集为 x | x 5或x 4 （2） f (x) g( x) 即 f (x) | x 3| | x 4 |的图象恒在 g( x) k(x 3) 图象的上方，2x 1, x 4,可以作出 的图象，f (x) | x 3| | x 4| 7, 4 x 3,2x 1, x 3而g(x) k(x 3) 图象为恒过定点 P (3, 0) ，且斜率 k 变化的一条直线，作出函数 y f (x), y g( x) 图象，其中k 2, A( 4,7) ， k 1，PB PA由图可知，要使得 f

17、 (x) 的图象恒在 g(x) 图象的上方，优秀学习资料 欢迎下载实数k 的取值范围应该为 1 k 2考点：同系数绝对值不等式相加型、 数形结合在含参绝对值不等式中的应用7.证明不等式的基本方法7.1 比较法证明不等式13. 设不等式 | 2x 1| 1的解集是 M ，a,b M （1）试比较 ab 1与a b 的大小；（2）设max 表示数集 A的最大数h 2 22 a b 2max , , ,a ab b求证： h 2.答案：（ 1）ab 1 a b; （2）见解析解析：（ 1）先解出 M x|0 x 1 .(ab 1) (a b) (a 1)(b 1) 0.问题得证 .优秀学习资料 欢迎

18、下载（2）h 2 22 a b 2max , , ,a ab b可知 2 2 2 a b 2h ,h , ha ab b,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出 h3 8 .故h 2.考点：比较法证明不等式7.2 综合法证明不等式7.3 分析法证明不等式14. 已知 f ( x) x 1 x 1,不等式 f (x) 4 的解集为 M .（1）求M ；（2）当a,b M 时,证明:2 a b 4 ab .（1）解不等式： x 1 x 1 4 ；x 12x 4或1 x 12 4或x12x 41 x 2或 1 x 1或 2 x 1，2 x 2 M 2,2 .（2）需证明：2 2

19、2 24(a 2ab b ) a b 8ab 16 ，只需证明 a2b2 4a2 4b2 16 0 ，优秀学习资料 欢迎下载即需证明 (a2 4)(b2 4) 02 2 2 2a,b ( 2, 2) a 4,b 4 (a 4) 0,( b 4) 02 2(a 4)( b 4) 0，所以原不等式成立 .考点：分析法证明不等式7.4 反证法证明不等式15. 设a 0,b 0. 且a b1 1a b.证明：（1）a b 2 ；（2）a2 a 2 与b2 b 2 不可能同时成立 .由a b 1 1 = a ba b ab，a 0,b 0. 得ab 1（1）由基本不等式及 ab 1 ，有a b 2 ab

20、 2 ，即a b 2；（2）假设 a2 a 2 与b2 b 2 同时成立，则由a2 a 2 及a 0 得0 a 1 ，同理0 b 1 ，从而ab 1 ，这与 ab 1 矛盾，故a2 a 2 与b2 b 2 不可能同时成立 .考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用优秀学习资料 欢迎下载8.5 放缩法证明不等式 (多为数列的题 )16. 已知数列an的前 n项和 Sn 满足 S 2a nn n（1）求数列a 的通项公式；n（2）设bnanan1，记数列 bn 的前 n和为 Tn ，证明：1 nT 0 n3 2n【答案】（1） a 2 1；（2）详见解析 .n【解析】试题分析：（1）考虑到

21、a 1 1 ，因此可以利用条件中的式子得到数列 an 的一个递推公式，从而n S Sn n即可求解； （2）由（ 1）可知na 2 1nbn n 1a 2 1n 1，n1 1b ，从而可证 T 0，进一步n nn22 2 2 2放缩可得1 1 1n 2 n n n2 2 2 2 3 2 3 2，求和即可得证 .试题解析： （1） S 2a n，当 n 1时， S1 a1 2a1 1 a1 1 ，又 Sn 1 2an 1 n 1，n n与 S 2a n两边分别相减得 an 1 2an 1 2an 1，得n na 1 1 2 a 1 ，又 a1 1 2 ，n nn n 数列 a 1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 1 2a ，得 a 2