积分变换法求解定解问题

1、1 在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解的解2 积分变换法积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就

2、使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分的解积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边界条件均方程等）中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解利用积且显得具有固定的程序

3、，按照解法程序进行易于求解利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的量法不能得到的3 特别是特别是对于无界或半无界的定界问题对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来，用积分变换来 求解，最合适不过了（注明：无界或半无界的定界问题求解，最合适不过了（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：用积分变换求解定解问题的步骤为：第一第一：根据自变量的：根据自变量的变化范围和定解条件变化范围和定解条件确定选择适当确定选择适当 的的积分变换积分变换；对于自变量在对于自

4、变量在 (,) 内变化的定解问题内变化的定解问题（如无界域的坐标变量）（如无界域的坐标变量）常采用常采用傅氏变换傅氏变换，而自变量在，而自变量在 4(0,)内变化的定解问题（如时间变量）常采用内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换拉氏变换 第二第二：对方程取积分变换，将一个：对方程取积分变换，将一个含两个自变量含两个自变量的偏微分方的偏微分方程化为程化为一个含参量一个含参量的常微分方程；的常微分方程；第三第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；，即为

5、原定解问题的变换；第五第五：对所得解取：对所得解取逆变换逆变换，最后得，最后得原定解问题的解原定解问题的解5对于对于无限空间的定解无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法本节将通过几个例子说明运用傅里叶适用的求解方法本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式基本方法，并给出几个重要的解的公式 6下面的讨论我们假设待求解的函数下面的讨论我们假设待求解的函数 u及其一阶导数是有限的及其一阶导数是有限的 .12.1.1 弦振动问题弦振动问题例例1

6、2.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题求解无限长弦的自由振动定解问题（假定假定：函数：函数 u及其及其一阶导数是有限一阶导数是有限的，以后不再特别指出的，以后不再特别指出 这一定解问题在行波法中已经介绍，这一定解问题在行波法中已经介绍， 读者可以比较行波解读者可以比较行波解 法和傅氏解法）法和傅氏解法）72000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux 【解解】 应用傅里叶变换，即用应用傅里叶变换，即用 i xe遍乘定解问题中的各式，遍乘定解问题中的各式，并对并对空间变量空间变量x积分积分（这里把时间变量看成参数），按照傅（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我

7、们采用如下的里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对傅氏变换对： 8ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e简化表示为简化表示为 ( , )( , )u x tUtF对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为( )( ) ( )( )xxFF9于是原定解问题变换为下列于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题222200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解为上述常微分方程的通解为ii( , )( )( )atatUtAeBe10代入代入初始条件初始条件可以定

8、出可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa这样这样iiii11(, )()()22i11()()22i() ()cos()sin()atatatatUteeaeeaatata 11最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作并作逆傅氏变换逆傅氏变换应用应用延迟定延迟定理和积分定理得到理和积分定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 这正是前面学过的的达朗贝尔公式这正是前面学过的的达朗贝尔公式.例例12.1.212 为了说明为了说明傅氏变换法解非齐次方程傅氏变换法解非齐次方程特别简便，特别简便， 我们特举一我

9、们特举一强迫弦振动强迫弦振动问题：问题：求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 【解解】根据与例根据与例15.1.1 相同的方法，相同的方法，作傅氏变换作傅氏变换13 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF我们容易得到原定解问题可变换为下列我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题常微分方程的问题222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUt

10、Ut 14上述问题的解为上述问题的解为 01( , )( , )sin()d( )( )cos()sin()tUtFa taata ta 利用利用傅氏变换的性质傅氏变换的性质有有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf FF故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F15i()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( ,

11、 )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatx ata 1612.1.2 热传导问题热传导问题例例12.1. 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题200, (,0)|( ) txxtua uxtux 【解解】 作傅氏变换作傅氏变换， ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解问题变换为定解问题变换为22( , )0( ,0)( )Ua UtU 17常微分方程的初值问题的解是常微分方程的初值问题的解是 22( , )( )a tUte 再进行逆傅里叶变换，再进行逆傅里叶变换，2

12、 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交换积分次序交换积分次序22i()1( , )( )d d2a txu x tee 18引用积分公式引用积分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用积分公式，即以便利用积分公式，即得到得到22()41( , )( )d2xa tu x teat 19例例15.1.4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 【解解】 利用利用 ( , )( , ), (

13、, )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF对定解问题作对定解问题作傅氏变换傅氏变换，得到常微分方程的定解问题，得到常微分方程的定解问题 2022( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU上述问题的解为上述问题的解为2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 为了求出上式的逆变换，利用下面为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式傅氏变换的卷积公式，即，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF则则 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF21而积分而积分 222i211dexp242atxxea tat即

14、为即为 222121exp42atxea tatF最后得到定解问题的解为最后得到定解问题的解为2222()()t4 ()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 2212.1.3 稳定场问题稳定场问题 我们先给出求半平面内我们先给出求半平面内 (0)y 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换边值问题的傅氏变换 系统解法（读者可以与格林函数解法进系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）行比较）例例 12.1.5 定解问题定解问题x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 23 【解解】

15、对于变量对于变量 x作作傅氏变换傅氏变换，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xFFF定解问题变换为常微分方程定解问题变换为常微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy24因为因为 可取正、负值，所以可取正、负值，所以常微分定解问题的通解常微分定解问题的通解为为 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe因为因为 lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解为常微分方程的解为| |( , )( )yUyFe设设 | |( , )yGye25根据傅氏变换定义，根据傅氏变换定义

16、， | |ye的的傅氏逆变换傅氏逆变换为为0| |iii22011111ddd 222ii()yxyxyxyeeeey x y xxy再利用再利用卷积公式卷积公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到原定解问题的解原定解问题的解为为22( )( , )d()yfu x yxy26容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式例例12.1.6 如果定解问题为下列第二边值问题如果定解问题为下列第二边值问题x0 (,0)( ,0)( ) lim( , )0 xxyyyuuxyuxf xu x y 【解解】 令令 ( , )( , ),y

17、x yux yv即即 0( , )( , )dyyu x yxv27容易得到容易得到 ( , )x yv满足定解问题为满足定解问题为x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyxyxf xx y vvvv则根据上述则根据上述稳定场第一边值问题公式稳定场第一边值问题公式22( )( , )d()yfx yxyv故得到故得到280002222221( )( , )( , )ddd()1d( )d()1( )ln()d( )yyyyyyfu x yxxfxfxyx v12.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作由于要作傅氏变换的函数傅氏变换的函数必

18、须定义在必须定义在 ),(上，故当上，故当我们讨论我们讨论 半无界问题半无界问题时，就不能对变量时，就不能对变量x作傅氏变换了作傅氏变换了 29由此本节介绍另一种变换法：由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法求解定解问题求解定解问题 12.2.1 无界区域的问题无界区域的问题例例12.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (15.2.1)【解解】 先对时间先对时间 t作作拉氏变换拉氏变换 30 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x

19、tF x pLL ( , )( , )( ,0) (17.2.2)tu xtpU x pu xL由此由此原定解问题中的泛定方程原定解问题中的泛定方程变为变为 22222d11( )( , )0 (17.2.3)dUpUxF x pxaaa对方程对方程(17.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解实施傅氏逆变换来进行求解.利用利用傅氏逆变换公式傅氏逆变换公式1222b xbebF31以及卷积定理以及卷积定理-1( ) ( )() ( )dFGf xgF得方程得方程(12.2.3)的解为的解为11( , )( )d( , )d22ppxxaaU x peFpea pa p (12.2.4)(12.2.4

20、)式作式作拉氏逆变换拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，并查阅拉氏变换表， 32得得原定解问题原定解问题(12.2.1)的解的解为为222201()( , )( )expd421() ( , )expd d (17.2.5)4 ()2()txu x ta tatxfa tat 12.2.2半无界区域的问题半无界区域的问题例例 12.2.2 求定解问题求定解问题332 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt (12.2.6)【解解】首先作变量首先作变量 t的的拉氏变换拉氏变换 ( , )( , ), ( , )( , )(

21、 ,0) (17.2.7) ()( ) tu xtU x pu xtpU x pu xqtQ pLLL原定解问题即为原定解问题即为34222d( , ) 0 d(0, )( ) , ( , ) (17.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM易得到易得到(12.2.8)式的解为式的解为( , )( )( ) (17.2.9)ppxxaaU x pC peD pe( , ) (0)u x pMx ( )0 (17.2.10)D p 35又又 (0, )( ) (17.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (17.2.12)pxaaU x pQ p ep 由于由于221411 (17.2.13)xpxaa teeptL36及拉氏变换的卷积定理及拉氏变换的卷积定理10 ( ) ( )( ) (