高中数学“极值法”求数列的最大项

1、“极值法”求数列的最大项数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但是如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列 an的通项公式 an(n1)(9)n ，求 an的最大项 .10解：设 an 是数列 an 中的最大项，anan 1 ,(n 1) ( 9 )nn ( 9 )n 1 ,则( n2) ，即1010anan 19n9n 1(n)(n 2) (.1) ()1010解，得 8 n9， 又N， n8 或 9， aa999.n81089 99当 n 1 时， a15 108 ，99

2、 an 的最大项为 a8 a98 .10对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问 1：为什么要单独讨论n1 的情况？anan1,分析：由于an(n 2) 这个不等式中出现了下标 n 1 ，而数列中的项an1应该从 1 开始，因此 n11，即 n 2 。故应考虑 n 1 的情况 .anan1 ,2) 这个不等式组求出的 an 一定是最大项吗？疑问 2：用an(nan1anan 1 ,( n2) 求出的 an 不一定是最大项，而只是比前后两项都分析：用an 1an不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问 3：用 anan

3、 1 ,(n 2) 这个不等式组求出的项唯一吗？anan 1分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一.anan 1 ,疑问 4：如果用(n2) 这个不等式组求出的n 有多个，那么如何anan 1处理？分析：将求出的这些n 对应的项比较大小，取最大者，然后与a1 比较 .疑问 5：为什么要与 a1 比较？分析：由于这个不等式组求得的是n2 时的最大项，因此还需要与a1 比较，二者最大的即为an 的最大项 .正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和极大值的方法，原理是一样的 .anan 1,疑问 6：若不等式组an 1(n

4、2) 无解，又该如何处理？an分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得 .这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致.疑问 7：若 n 求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？9分析：像本道例题中， n 8 或 9，而我们发现 a8 a99 8，同为该数列的10最大项 .对于一般数列an ，若用这种方法求出两个相邻的正整数m , m 1，则amam 1 ,am 1amamam 1 .因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较.疑问 8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？anan 1,分析：若函数具有单调性，则不等式组an 1( n 2) 无解，问题又回归an到疑问 6，最大项即为首项或末项 （若该数列是有穷数列， 只需比较首、 末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）.通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致 .因此，我们可以得出结论： “极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法 .可见，只要我们对问题深入分析研究，找出各知识