高中数学-柯西不等式与排序不等式

1、学习必备欢迎下载3.1 3.2柯西不等式1. 二元均值不等式有哪几种形式？答案： abab(a0,b0) 及几种变式 .22. 已知 a、 b、 c、d 为实数，求证 ( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2证法：（比较法） ( a2b2 )( c2d 2 )(acbd )2 = .=(adbc)20定理：若 a、 b、 c、 d 为实数，则 ( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2.变式：a2b2c 2d2| acbd |或a2b2c 2d2| ac | bd |或 a2b2c2d 2ac bd .定理：设 a1 ,a2 , an ,b1 ,b2 ,bnR ，则( a12a2

2、2an2 )(b12b22bn2 )( a1 b1a2 b2an bn )2（当且仅当 a1a2an时取等号，假设bi0）b1b2bn变式： a12a22an21(a1a2an )2 .n定理：设,是两个向量，则| .等号成立？（是零向量，或者,共线）练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证a2b2c2d 2(ac)2(bd )2 .证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式： 定理：设 x1 , y1 , x2 , y2R ，则x12y12x22y22( x1x2 )2( y1y2 ) 2 .变式：若 x1 , y1, x2 , y2 , x3 ,

3、 y3R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例 1：求函数y3 x1102x 的最大值？分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式变式： y3x1102x 推广： ya bxcdefx ,( a,b,c, d,e, fR )学习必备欢迎下载例 2：若 x, yR ， xy 2 ，求证：112.xy分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 构造）要点： 111( xy)(11)1(x )2(y )2 (1) 2(1)2 xy2xy2xy讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知 3x2 y 1 ，求 x 2y2 的最小值 .解答要点：（凑配法） x2y21( x2y2 )(3222 )

4、1(3 x 2y)21.131313讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知 a 、 b11R ，求证： ( a b)() 4 .ab例 1：已知 3x2 yz1 ，求 x2y 2z2 的最小值 .练习：若 x, y, zR，且111yz1，求 x的最小值 .xyz23变式：若 x, y, zR ，且 xyz1 ，求 x2y2z2 的最小值 .变式：若 x, y, zR ，且 xyz1 ，求xyz 的最大值 .学习必备欢迎下载例 2：若 a >b > c ，求证：114bbca.ac要点： (a c)(11)( ab)( bc)(11) (1 1)24abbcabbc例 3 已知正数

5、 a,b, c 满足 abc 1证明a3b3c3a2b2c23c2 23131312a2b2证明：利用柯西不等式a 2 a2b 2b 2c 2 c2323232a3b3c32a2b2c 2a b ca b c 1a b c又因为a2b2c2abbcca 在此不等式两边同乘以2，再加上 a2b2c2得：a bc3 a2b2c2a2b2c22a3b3c33 a2b2c2 故 a3b3c3a2b2c23例 4设 p 是 ABC 内的一点， x, y, z是 p 到三边 a, b, c 的距离， R 是ABC 外接圆的半径，证明xyz1a2b2c22R证明：由柯西不等式得，xyzax1by1cz1ax

6、 bycz111abcabc记 S 为ABC 的面积，则 axbycz2S2 abcabc4R2Rxyzabcabbcca1abbcca1a2b2c22Rabc2R2R故不等式成立。学习必备欢迎下载练习：已知实数a, b, c ,d 满足 a bcd 3 ， a22b23c26d 25试求 a 的最值解：由柯西不等式得，有2b23c26d 2111bc2d236即 2b23c26d 2bc d25 a232由条件可得，a解得， 1a2b3c6d时等号成立，2当且仅当1 31 61 2代入 b1,c1 , d1时，amax2b1,c2 , d1时amin136333.3排序不等式排序不等式（即排

7、序原理） ：设有两个有序实数组 : a1a2···an ; b1b2 ···bn . c1, c2 , ··· cn 是 b1 ,b2 ，··· ,bn 的任一排列 , 则有a1b1a2b2··· +anbn ( 同序和 )a1c1a2 c2 +··· + an cn ( 乱序和 )a1bna2 bn 1 +··· + an b1(反序和)当且仅当 a1a2··· = an 或 b1b2··· =bn 时，反序和等于同序和 .排序不等式的应用：例 1：设 a1 ,a2 ,an 是 n 个互不相同的正整数，求证：1111a1a2a3an2 3n2232n2 .证明过程：设 b1 ,b2 ,bn 是 a1 , a2 , an 的一个排列，且 b1 b2bn ，则 b1 1,b2 2, ,bn n .又 1111，由排序不等式，得222n23a1a2a3anb2b3bn2232n2b132n222小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知a,b,