第05章刚体定轴转动

1、第五章第五章 刚体定轴转动刚体定轴转动5-1 5-1 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动5-2 5-2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5-3 5-3 转动定律的应用转动定律的应用 5-5 5-5 刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能5-4 5-4 刚体定轴转动的刚体定轴转动的 角动量守恒定律角动量守恒定律1.1.刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。即运动过程中不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体可视为由无限多个彼此间距离保持

2、不变的质元组成的刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。质点系。5-1 5-1 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动2.2.刚体的运动刚体的运动 刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线过该点的轴线( (瞬时转轴瞬时转轴) )的转动的转动2.1 2.1 平动：平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。始终保持方向不变。 特点：特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。刚刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动

3、。可用质点模型。体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。可用质点模型。2.2 2.2 转动：转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴若转轴固定不变固定不变，则称为，则称为定轴转动。定轴转动。2.3 2.3 刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点： 1. 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，刚体上各个质点都在作圆周运动，刚体内所有点刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。具有相同的角位移、角速度和角加速度。 但各质点圆周运动的半径不一定相等。但各质点圆周运动的半径不一定相等。 2. 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴各质点圆周运动

4、的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为转动平面。线上，这个平面我们称为转动平面。适合角量描述适合角量描述. .若转轴若转轴固定不变固定不变，则称为，则称为定轴转动。定轴转动。3.3.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角位置：角位置： 3.1 3.1 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。角速度和角加速度均为矢量3.2 3.2 角量和线量的关系角量和线量的关系 rv2tnarar矢量表示：矢量表示： 2 tnrrrvvx

5、OP rv1.1.力对转轴的力矩力对转轴的力矩 力对转轴上任一参考点的力矩矢量沿转轴方向的分量为力对转轴上任一参考点的力矩矢量沿转轴方向的分量为力对转轴的力矩力对转轴的力矩: : () ()zzzzzzMrFrrFFrFrFrFrF :O:O:O0zzzzrFzrFzrFzrF 沿垂直垂直zdPOrFFzFO rzr5-2 5-2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 FrMz结论：结论：zdPOrFFzF O rzr2 2刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量2.1 2.1 质点对转轴的角动量：质点对转轴的角动量： 质点对转轴上任一参考点的角动量矢量沿转轴质点对转轴上任一参考点的角动量矢量沿转轴方

6、向的分量为质点对转轴的角动量方向的分量为质点对转轴的角动量: : () ()zzzzzzLrprrpprprprprp :O:O:O0zzzzrpzrpzrpzrp沿垂直垂直zdmOrppzpO rzrzLrp结论：结论：zdmOrppzpO rzr2.2 2.2 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和: :2izii ii iLmvrmr ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2刚体对转轴的转动惯量：刚体对转轴的转动惯量： 刚体对转轴的角动量：刚体对转轴的角动量： zzLJzOriimiv 3 3刚体定轴转动

7、定律刚体定轴转动定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，则，则zzJM简写为：简写为：JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 2iirmJ连续体：连续体：dmrJ24.2 4.2 转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量与刚体的质量、形状及转动轴有关。 4 4转动惯量转动惯量4.1 4.1 转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：刚体定轴转动惯性大小刚体定轴转动惯性大小 的量度。的量度。 例例5-15-1 计算下列刚体对给定转轴的转动惯量：计算下列刚体对给定转轴的转动惯量：（1 1）均匀细棒对与过细棒端点且细棒垂直的转轴；）均匀细棒对与过细棒端点且细棒垂直的转轴；（2

8、 2）均匀圆盘对垂直于圆平面并过圆心的轴；）均匀圆盘对垂直于圆平面并过圆心的轴；（3 3）均匀球体对通过球心的轴。）均匀球体对通过球心的轴。ROzORzOzl（1）（2）（3）OzdxdmxdmxdJ2解：解：mdmdxdxl22013lmJxdxmll（1）（2）rdrdm2dmrdJ2340212212RJr drRmRrROzdr（3）dmrdJ221，sinRr ，2233( sin )( cos )sindmdVr dyRd RRd 550521(sin)282155JRdRmRROryz4.3 4.3 平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理：平行轴定理：2zCJJm

9、diririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd垂直轴定理垂直轴定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJmRzJCJOzxy例：例：212CJmR2221mRmRJz（1）212zJmR241mRJJyx2212mRJJJxyx（2）解题要点解题要点:5-3 5-3 转动定律的应用转动定律的应用 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2aOCOmg1.1.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定

10、理和角动量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL简写为简写为刚体定轴转动的角动量定理0M 000LLJJ刚体定轴转动的角动量守恒定律5-4 5-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律2 2含质点和刚体的系统的角动量定理和角动量守含质点和刚体的系统的角动量定理和角动量守恒定律恒定律00ttMdtLL0M 0LLML:质点刚体mvdLJ系统所受的合外力矩系统所受的合外力矩系统总角动量：系统总角动量： 角动量守恒现象举例演示演示演示演示 m2 m1RmF例例5-75-7 如图，长为如图，长为l l，质量为，质量为M M的均匀细棒可饶过的均匀细棒可饶过

11、O O点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为m m的质的质点以初速点以初速v v0 0沿水平方向运动，与静止在竖直位置沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求一起上摆。求（1 1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度 ；（2 2）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度 。Olmv01.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功idOizP0PFiridli cos sin sin iiiiiiiiii iiidAF

12、dlFdlFrdFrdM d0AMdiidAM dMd5-5 5-5 刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能2.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 合外力矩做功：合外力矩做功：iiiAMdM dM dA一对力的力矩一对力的力矩: :0MM0AA2 2刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能 22221()21()212kiiii iiEmmrJv221JEk2.1 2.1 刚体的转动动能刚体的转动动能 O zrimivi2.2 2.2 刚体的重力势能刚体的重力势能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi3.3.刚体定轴转动的动能定

13、理刚体定轴转动的动能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA 对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即 CEEEpk4.4.含刚体系统的机械能守恒定律含刚体系统的机械能守恒定律 O解：解：MmkRl m1 Om2v课本例题课本例题5.16 5.16 如图，均质木棒长如图，均质木棒长l ,质量质量m1,可绕一可绕一端的水平轴端的水平轴O 在铅垂面内自由转动。初始时刻，自然在铅垂面内自由转动。初始时刻，自然悬垂，子弹悬垂，子弹m2以速度以速度 水平射入棒下端，求棒获得的水平射入棒下端，求棒获得的角速度和最大上摆角度。角速度和最大上摆角度。解：解：木棒和子弹组成的系统，子弹射入过程，外力木棒和子弹组成的系统，子弹射入过程，外力包括轴的支撑力和重力力矩都为零。包括轴的支撑力和重力力矩都为零。角动量守恒：角动量守恒：02Lmlv22