高中数学知识点总结及题型

1、A 为集合学习必备欢迎下载高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1集合：一般地，把一些能够_对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合 ( 或集 )，通常用大写拉丁字母A ， B，C，来表示2元素：构成集合的_叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b， c，来表示3空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.知识点二集合与元素的关系1属于：如果a 是集合 A 的元素，就说a_集合 A ，记作 a_A.2不属于：如果a 不是集合 A 中的元素，就说a_集合 A ，记作 a_A.知识点三集合的特性及分类1集合元素的特性_、 _、_.2集合的分类：(1)有限集：含有 _元素的集合

2、； (2)无限集：含有 _元素的集合3常用数集及符号表示名称非负整数集 (自然数集 )整数集实数集符号NN*或NZQR知识点四集合的表示方法1列举法：把集合的元素_，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法2描述法：用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法知识点五集合与集合的关系1子集与真子集子集真子集定义如果集合 A 中的 _元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合B 的子集如果集合 A ? B ，但存在元素_，且 _，我们称集合 A 是集合 B 的真子集图形语言符号语言(Venn 图 )_( 或_)_( 或_)2.子集的性质(1)规定：空集是 _的子集，也就是说，对任

3、意集合A ，都有 _(2)任何一个集合A 都是它本身的子集，即_(3)如果 A ? B ， B? C，则 _(4)如果 AB ，BC，则 _3集合相等学习必备欢迎下载定义如果集合A 是集合 B 的子集 (A? B)，且 _，此集合相等时，集合A 与集合 B 中的元素是一样的， 因此，集合 A 与集合B 相等知识点 六集合的运算1交集图形图言符号语言(Venn 图)A B自然语言符号语言图形语言由_A B _组成的集合，称为A与B的交集2并集自然语言符号语言图形语言由_组成的A B _集合，称为A 与 B 的并集3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A B _A B _A A _A A

4、 _A ? _A ?_A? B? A B _A? B? A B_4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_5补集对于一个集合A，由全集 U 中_的所有元素组成的集合称为集文字语言合 A 相对于全集 U 的补集，记作 _符号语言?U A _图形语言学习必备欢迎下载典例精讲题型一 *判断能否构成集合1在“高一数学中的难题； 所有的正三角形； 方程 x2 2 0 的实数解”中，能够构成集合的是。题型二 *验证元素是否是集合的元素1、已知集合 Ax xm2n2 , mZ ,nZ ，判断 3 是不是集合 A 的元素。2、集合 A 是

5、由形如 m3n m Z , n Z的数构成的，判断12是不是集合 A 中的元素 .3题型三 *求集合1方程组3xy 2的解集是 ()2x3y 27x3C 3 ， 7D (x ，y)|x3 且 y 7A.B x ，y|x 3 且 y 7y 72下列六种表示法：x 1， y 2 ； (x ， y)|x 1， y 2 ； 1,2 ； (1,2) ； ( 1,2) ； (x ，y)|x 1 或 y 2 2xy0，的解集的是 ()能表示方程组x y 3 0A B CD题型四 *利用集合中元素的性质求参数1已知集合 Sa ，b， c 中的三个元素是 ABC 的三边长，那么 ABC 一定不是 ()A 锐角三

6、角形B 直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2.设 a，bR，集合 1 ， ab，a b，b ，则 ba _.0，a3.已知 Px|2 x k， x N ，kR ，若集合 P 中恰有 3 个元素，则实数 k 的取值范围是 _.4.已知集合 A 是由 0， m， m2 3m 2 三个元素组成的集合，且2 A ，则实数 m 的值为 ()A 2B 3C0或 3D0或2或3题型五 *判断集合间的关系1、设 Mk1Z, Nx xk1Z ，则 M 与 N 的关系正确的是（x x, k4, k）242A. M=NB. MNC. MND.以上都不对2判断下列集合间的关系：(1)A x|x 3 2 ， B x|2

7、x 50 ；(2)A x Z| 1 x<3 ， B x|x |y|， y A 题型六*求子集个数1已知集合A x|ax 2 2xa 0，aR ，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 a 的取值构成的集合为 _2.已知集合 A 1 ，2，3 ，写出集合A 的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集学习必备欢迎下载题型七*利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合 A 1,2 ，m3 ，B 1 ，m ， B? A ，则 m_.2已知集合A 1,2 ， Bx|ax 2 0 ，若 B? A，则 a 的值不可能是 ()A 0B 1C 2D 3题型八 *集合间的基本运算1下面四个结论：若a(A B)，则

8、 a A；若 a (A B)，则 a (A B) ；若 a A ，且 a B，则 a (A B) ；若ABA，则A B B. 其中正确的个数为()A 1B 2C 3D 42已知集合A x|x> 33已知集合M x| 3<x 5 ，N x|x>3 ，则 M N ()B x| 3<x 5C x|3<x 5Dx|x 5A 2 ， 3 ，集合 B 满足 BA B ，那么符合条件的集合B 的个数是()A 1B 2C 3D 44 (2016 ·全国卷理， 1)设集合 Sx|(x 2)(x 3) 0 ，T x|x>0 ，则 S T( A 2,3 B(， 2 3，

9、 ) C 3， ) D (0,23 ， )5下列关系式中，正确的个数为() (M N)? N； (M N)? (M N) ； (M N)? N；若 M ? N，则 M N M.A4B3C2D16 (2016 ·唐山一中月考试题 ) 已知全集 U x|x 4 ，集合 A x| 2<x<3 ，B x| 3 x 2 ，求 A B， (?UA) B， A (?UB).题型九*根据集合运算的结果求参数1若集合A 2,4 ， x ， B 2 ， x2 ，且 A B 2,4 ， x ，则 x_.2设 A x|x 2 8x0 ，B x|x 22(a2)x a2 4 0 ，其中 a R.如

10、果 A B B ，求实数a 的取值范围.3 U 1,2，A x|x 2pxq 0 ， ?U A 1 ，则 pq _.题型十 *集合中的新定义问题1集合 P3,4,5 ， Q6,7 ，定义 P*Q (a ，b)|a P，bQ ，则 P*Q 的子集个数为 ()A 7B 12C 32D 642当 x A 时，若 x 1?A ，且 x1?A ，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为 A 的“孤星集”， 若集合 M 0,1,3 的孤星集为 M ，集合 N 0,3,4 的孤星集为 N，则 M N ()A 0,1,3,4B 1,4C 1,3D 0,3学习必备欢迎下载知识点一

11、函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1定义域 _ 2 _完全一致知识点三区间的概念及表示1一般区间的表示设 a， b R，且 a<b，规定如下：定义x|a x bx|a<x<bx|a x<bx|a<x b名称闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间符号数轴表示2.特殊区间的表示定义符号R(，)x|x aa， )x|x>a (a，)x|x a( ， ax|x<a (，a)知识点四函数的表示方法知识点五分段函数如果函数y f(x) ，x A ，根据自变量x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义

12、域是各段定义域的学习必备欢迎下载_，值域是各段值域的_知识点六映射的概念设 A ， B 是两个 _ ，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合 A中的_ ，在集合 B 中都有 _确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射知识点七函数的单调性1增函数、减函数：设函数f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x 2 时，都有 f(x 1 )<f(x 2)，那么就说函数f(x) 在区间 D 上是增函数；当 x1<x 2 时，都有 f(x 1)>f(x 2)，那么就说

13、函数 f(x) 在区间 D 上是减函数2函数的单调性： 若函数 f(x) 在区间 D 上是增 (减 )函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，区间 D 叫做 f(x) 的单调区间3单调性的常见结论：若函数f(x) ，g(x) 均为增 (减 )函数，则 f(x) g(x) 仍为增 (减 )函数；若函数 f(x) 为增 (减 )函数，则 f(x) 为减 (增 )函数；若函数 f(x) 为增 (减 )函数，且 f(x)>0 ，则 1为f x减( 增)函数知识点八函数的最大值、最小值最值最大值最小值类别设函数 y f(x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对

14、于任意的 x I，都有 _(1)对于任意的 x I，都有 _(2)存在 x0 I，使得 _(2)存在 x0 I，使得 _结论M 是函数 y f(x) 的最大值M 是函数 y f(x) 的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小 )值知识点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)f( x) f(x)结论函数 f(x) 是偶函数函数 f(x) 是奇函数2.性质学习必备欢迎下载(1) 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称， 奇函数在原点有定义， 则 f(x)=0(2) 奇函数在对称的区间上单调性相

15、同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3) 在定义域的公共部分内， 两个奇函数之积与商 (分母不零 )为偶函数； 两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零 )为奇函数知识点十函数的周期性若存在非零常数T，对定义域内任意x，都有 f x Tf ( x) ，称这样的函数为周期函数， T 叫函数的一个周期。如：若 f x af (x )，则典例精讲题型一*函数的定义域1 函数 f(x) ln(x 3)的定义域为 ()A x|x> 3B x|x>0C x|x>3D x|x 32函数 f(x) 12x1的定义域为 ()x 3A ( 3,0B

16、 ( 3,1C (， 3) ( 3,0D (， 3) ( 3,13. 函数 yx23x 4（）x的定义域为A 4,1B 4, 0)C (0,1D 4, 0) (0,14.已知函数 f(x)=mx2mx1的定义域是一切实数 ,则 m 的取值范围是（）A.0<m4B.0 m 1C.m 4D.0m 45、若函数 y f (x) 的定义域是 1 ， 4 ，则 y f (2x1) 的定义域是6、若函数 y f (3x1) 的定义域是 1 ， 2 ，则 y f ( x) 的定义域是题型二* 函数概念的考察1 下列图象中，不可能成为函数yf(x) 图象的是 ()2 下列各组函数中表示同一函数的是（）5

17、2xln xA.y= 5x 和 yxB.y=lne 和y eC. yx 1x 33D.y0和 y1x和 y xx01x3 下列四组函数中，表示同一函数的是（）学习必备欢迎下载A. yx1与 y( x1) 2BC y4 lg x与 y2 lg x2Dx1yx 1与 y1xy lg x 2与 lg x 1004 已知函数y=22定义域为1,0.1,2，则其值域为x题型三 *分段函数的考察1、已知函数 f (x)log3 x, x012x, x0，则 f( f ()9A.4B.1C.-4D-144112x， x 0，若 f(a) a，则实数 a_.2、已知函数 f(x) 1，x<0 ，x3、设

18、函数f (x)x24x 6, x 0则不等式 f ( x)f(1) 的解集是（）x6, x0A. ( 3,1)(3,)B.(3,1)( 2,)C.(1,1)(3,)D.(, 3)(1,3)4、已知函数 f ( x)x 24x,x0若 f (2a2 )f (a), 则实数 a 的取值范围是 （ ）4xx 2 ,x0A (,1)(2,)B(1,2)C(2,1) D(,2)(1,)题型四 *函数图像的考察1、设 abc0, 二次函数 f (x)ax2bxc 的图像可能是x22、函数 y=2 - x 的图像大致是学习必备欢迎下载3、函数 yexe x的图像大致为()exe xyyyy1111O 1xO

19、1xO 1 xO 1xABCD4、 已知甲、乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和 v乙 （如图2 所示）那么对于图中给定的t0和 t1 ，下列判断中一定正确的是（）A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面B.t1 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 t0 时刻，两车的位置相同D.t0 时刻后，乙车在甲车前面题型五 *求函数的解析式1、求下列函数的解析式 已知 f x1313 , 求f (x).xxx 已知 f21lg x，求 f (x).x已知 f(x)是二次函数，若f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).学习必备欢迎下载

20、已知 f(x)满足 2 f x f13x. 求 f(x).x2、已知 f(x) 为奇函数， x>0, f(x)=x2+x, 求 f(x)解析式3、设 f ( x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，并且f (x)g( x)x2x ，求 f ( x) 。题型六*函数的值域与最值1、函数 yx22x3 ， x1,4 的值域为2、求函数x11,4 的最大值和最小值。f (x)xx53、求函数f (x)4x2 x 13x2,4 的最大值和最小值。题型七*函数性质的考察1、写出函数 f (x)log 1 (x 24x 3)的单调递减区间22、设二次函数 f(x)=x 2-(2a+1)x+3(1) 若函

21、数 f(x)的单调增区间为2,，则实数 a 的值 _；(2) 若函数 f(x)在区间 2,内是增函数，则实数a 的范围 _。3、定义在 (1,1) 上的奇函数 f (x)xm_x2，则常数 m _, nnx 14、已知函数f ( x) 是 (,) 上的偶函数，若对于 x0 ，都有 f (x2） f ( x) ，且当x 0,2)时， f ( x)log 2 ( x1），则 f ( 2008)f (2009) 的值为（）A 2B 1C 1D 25、函数 ylog22x 的图像（）2xA. 关于原点对称B.关于主线 yx 对称 C . 关于 y 轴对称 D. 关于直线 yx 对称6、函数 f x4x

22、1的图象（）2xA. 关于原点对称B.关于直线y=x 对称C.关于 x 轴对称D.关于 y 轴对称学习必备欢迎下载7、定义在R 上的奇函数f ( x) ，满足 f(x 4)f ( x) , 且在区间 0,2上是增函数 , 则 （）A. f (25)f (11)f (80)B.f (80)f (11)f ( 25)C. f (11) f (80)f ( 25)D.f ( 25)f (80)f (11)8、已知偶函数f (x) 在区间 0,) 单调增加，则满足1) 的 x 取值范围 ( )f (2 x 1) f (3（A）（ 1， 2） B.1，2） C. （1，2） D.1，2）33332323

23、9、定义在 R上的偶函数f (x) 满足：对任意的 x1, x20,)( x1x2 ) ，有f ( x2 )f (x1)x20 .x1则 ()(A)f (3)f ( 2)f (1)B.f (1)f ( 2)f (3)C.f (2)f (1)f (3)D.f (3)f (1)f ( 2)10 、已知函数f ( x) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf ( x1)(1x ) f(x ，)则 f ( f ( 5) 的值是()2A.0B.1C.1D.52211、已知定义在 R 上的奇函数f ( x) ，满足 f ( x4)f ( x) , 且在区间 0,2 上是增函数 ,

24、若 方 程f(x)=m(m>0) 在 区 间8,8上有四个不同的根x1 , x2 , x3, x4 , 则x1 x2x3x4_.1 ax2的图象经过点 (1,3) ，并且 g(x) xf(x) 是偶函数12、已知函数 f(x) x b(1) 求函数中 a、 b 的值；(2) 判断函数 g(x)在区间 (1， )上的单调性，并用单调性定义证明学习必备欢迎下载基本初等函数、方程的根与函数的零点知识点一指数函数（1）根式的概念：如果 xna, a R, x R, n 1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（2）分数指数幂的概念：mn am (a0, m, nN , 且 n正数的正分数

25、指数幂的意义是：a n1) 0 的正分数指数幂等于 0mm正数的负分数指数幂的意义是：a n(1 ) nn (1) m (a0, m, nN , 且 n1)0 的aa负分数指数幂没有意义（3）运算性质： arasar s( a0, r ,s R) (ar ) sars (a 0, r , s R) (ab)rarbr (a0,b0,r)R（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 yax ( a0 且 a1) 叫做指数函数a10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1) ，即当 x0 时， y1奇偶性非奇非偶单调性在 R

26、上是增函数在 R 上是减函数学习必备欢迎下载ax1 (x 0)ax1 ( x 0)函数值的ax1 (x 0)ax1 ( x 0)变化情况axax1 (x 0)1 ( x 0)a 变化对图象a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低在第一象限内，的影响知识点二对数函数（ 1）对数的定义：若 axN (a 0, 且 a1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog a Na xN (a0, a1, N0) （ 2）几个重要的对数恒等式： log a 10 ， log a a1， loga

27、 abb （ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e2.71828）（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1,M 0, N0，那么加法： log a Mlog a Nlog a ( MN )数乘： n log aMlog a M n (nR)log bnn logaM(b0,n)a MbRl a oNlb oNg且 (b0,gb oablg减法：log a Nlog aMNlog a M alog a NN换底公式：1)（ 5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y loga x(a0 且 a1) 叫做对数函数图象

28、a 10 a 1学习必备欢迎下载x 1x1yy loga xyy loga x(1,0)O(1,0)xOx定义域(0, )值域R过定点图象过定点 (1,0)，即当 x1时， y0 奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log a x0( x1)logax0(x1)函数值的log a x0( x1)logax0( x1)变化情况log a x0(0x 1)logax0(0x 1)a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高知识点三幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（ 2）幂函

29、数的图象过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)知识点四函数与方程1、函数零点的定义（1）对于函数yf (x) ，我们把方程f ( x)0 的实数根叫做函数yf (x)的零点。（2）方程 f (x)0 有实根函数 yf ( x) 的图像与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点， 就是判断方程f (x)0是否有实数根， 有几个实数根。函数零点的求法：解方程f (x)0 ，所得实数根就是f (x) 的零点学习必备欢迎下载（3）变号零点与不变号零点若函数 f (x) 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x

30、) 的变号零点。若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x) 的不变号零点。若函数 f (x) 在区间 a,b上的图像是一条连续的曲线，则f (a ) f (b)0 是 f (x) 在区间 a, b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（ 1）零点存在性定理：如果函数yf ( x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线，并且有f ( a)f (b)0，那么，函数y f (x)在区间a,b内有零点， 即存在x0( , )，使得f (x0)0，a b这个 x0 也就是方程 f (x)0的根。（2）函数 yf ( x) 零点个数（或方程f (x)0 实

31、数根的个数）确定方法 代数法：函数 y f ( x) 的零点f ( x) 0 的根；（几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0yf (x) 有 2 个零点f (x)0有两个不等实根；0yf (x) 有 1 个零点f (x)0有两个相等实根；0yf (x) 无零点f (x)0 无实根；对于二次函数在区间a,b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义 : 对于在区间 a, b 上连续不断且f (a) f (b) 0 的函数 yf (x) , 通过不断地把函数 y f ( x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点的近似值