第4章_基于对LC网络模拟的高阶有源RC滤波器的分析与设计

1、现现代电电路理论与设计论与设计第章第章基于对基于对LCLC网络模拟的高阶网络模拟的高阶有源有源RCRC滤波器的分析与设计滤波器的分析与设计引言引言 设计高阶有源滤波器的基本方法是基于对设计高阶有源滤波器的基本方法是基于对LC网络模拟的设计方法。网络模拟的设计方法。 本章主要讨论基于对双端接电阻的本章主要讨论基于对双端接电阻的LC梯形网梯形网络模拟的高阶有源滤波器的设计法。这是一种络模拟的高阶有源滤波器的设计法。这是一种以无源以无源LC梯形网络为基础来设计有源梯形网络为基础来设计有源RC滤波器滤波器和其他有源滤波器的最基本的方法。和其他有源滤波器的最基本的方法。主要包括对主要包括对LC梯形网络工

2、作的模拟和对梯形网络工作的模拟和对LC梯梯形网络元件的模拟两种方法。形网络元件的模拟两种方法。双端接电阻或双端接载的双端接电阻或双端接载的LC梯形网络从信号梯形网络从信号源到负载传输的功率最大时，网络具有很低的源到负载传输的功率最大时，网络具有很低的灵敏度。所以用基于对灵敏度。所以用基于对LC梯形网络模拟的方法梯形网络模拟的方法设计出的有源滤波器也具有比较低的灵敏度。设计出的有源滤波器也具有比较低的灵敏度。引言引言（1）基于对）基于对LC梯形网络工作模拟的有源梯形网络工作模拟的有源RC滤滤波器的设计法波器的设计法 基于对基于对LC梯形网络工作模拟的设计方法是利梯形网络工作模拟的设计方法是利用前

3、面讨论过的有源用前面讨论过的有源RC网络去模拟网络去模拟LC梯形网络梯形网络的内部工作关系，从而实现有源的内部工作关系，从而实现有源RC滤波器的一种滤波器的一种设计方法。这种方法也称为运算模拟法。设计方法。这种方法也称为运算模拟法。 被用来模拟的满足滤波要求的被用来模拟的满足滤波要求的LC梯形网络称为梯形网络称为原型原型LC梯形网络。梯形网络。 LC梯形网络的内部工作关系主要是指元件的伏梯形网络的内部工作关系主要是指元件的伏安关系和电路拓扑中的电压电流关系。安关系和电路拓扑中的电压电流关系。引言引言 在在LC梯形网络中，电感元件和电容元件的梯形网络中，电感元件和电容元件的v-i关系是积分和微分

4、关系。这些关系可以利用含有关系是积分和微分关系。这些关系可以利用含有积分器的有源积分器的有源RC电路来模拟实现。电路来模拟实现。 另外，根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流另外，根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律描述的定律描述的LC梯形网络的回路电压关系和节点梯形网络的回路电压关系和节点电流关系也可以用有源电路组成的相加器来模拟电流关系也可以用有源电路组成的相加器来模拟实现实现。 因此，用基于对因此，用基于对LC梯形网络工作模拟的方法梯形网络工作模拟的方法设计出来的滤波器是由有源积分器和相加器组成设计出来的滤波器是由有源积分器和相加器组成的有源的有源RC滤波器。滤波器。 我们把这样的设计方法

5、称为基于对我们把这样的设计方法称为基于对LC梯形网梯形网络工作模拟的有源络工作模拟的有源RC滤波器的设计法。滤波器的设计法。引言引言引言引言引言引言（2）基于对）基于对LC梯形网络元件模拟的设计法梯形网络元件模拟的设计法 基于对基于对LC梯形网络元件模拟的设计方法是利用梯形网络元件模拟的设计方法是利用具有电感性输入阻抗的有源具有电感性输入阻抗的有源RC电路替换原型电路替换原型LC梯梯形网络中的电感元件形网络中的电感元件L，从而实现有源，从而实现有源RC滤波器滤波器的一种设计方法。这种方法也称为元件模拟法或的一种设计方法。这种方法也称为元件模拟法或电感替换法。电感替换法。 用有源电路替代无源电路

6、的一个主要目的是实用有源电路替代无源电路的一个主要目的是实现电路的微型化和集成化。电感元件是实现电路现电路的微型化和集成化。电感元件是实现电路集成化的一个主要障碍。它的体积比较大，而且集成化的一个主要障碍。它的体积比较大，而且非线性比较严重。因此，用有源非线性比较严重。因此，用有源RC电路替换电感电路替换电感具有非常重要的意义。而且用这种方法设计有源具有非常重要的意义。而且用这种方法设计有源RC电路的原理非常简单，设计过程非常直观。电路的原理非常简单，设计过程非常直观。（3）级联设计法）级联设计法 实现高阶有源滤波器的最直接和最简单的方法实现高阶有源滤波器的最直接和最简单的方法是级联设计法。这

7、就是把前面所讨论的一阶滤波是级联设计法。这就是把前面所讨论的一阶滤波器、二阶滤波器通过直接级联的方法组成高阶滤器、二阶滤波器通过直接级联的方法组成高阶滤波器。实现一个波器。实现一个n阶滤波器，当阶滤波器，当n为偶数时，需要为偶数时，需要将将n/2个二阶滤波器级联。当个二阶滤波器级联。当n为奇数时，需要将为奇数时，需要将（n-1）/2个二阶滤波器和个二阶滤波器和1个一阶滤波器级联。个一阶滤波器级联。引言引言引言引言（4）多回路反馈设计法）多回路反馈设计法 多回路反馈设计法是在级联结构的基础上通过多回路反馈设计法是在级联结构的基础上通过引入适当的反馈以实现特定的转移函数的一种设引入适当的反馈以实现

8、特定的转移函数的一种设计方法。通过这种方法设计的电路既保留了级联计方法。通过这种方法设计的电路既保留了级联设计的基本结构，又克服了级联设计灵敏度高的设计的基本结构，又克服了级联设计灵敏度高的缺点。缺点。 本章主要介绍利用本章主要介绍利用LC梯形网络工作模拟设计梯形网络工作模拟设计法和对法和对LC梯形网络元件模拟设计法来设计高阶梯形网络元件模拟设计法来设计高阶滤波器的方法。一般地讲，阶数大于或等于滤波器的方法。一般地讲，阶数大于或等于4的的滤波器称为高阶滤波器。但是为了便于讲解原理，滤波器称为高阶滤波器。但是为了便于讲解原理，下面也介绍二阶和三阶电路的设计方法。下面也介绍二阶和三阶电路的设计方法

9、。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 本节以全极点低通滤波器的设计为例，说明本节以全极点低通滤波器的设计为例，说明基于对基于对LC梯形网络工作模拟的有源梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的滤波器的设计方法和设计步骤。设计方法和设计步骤。 在下面的讨论中，用小写字母表示原型在下面的讨论中，用小写字母表示原型LC梯梯形网络中的电压、电流和元件值，用大写字母形网络中的电压、电流和元件值，用大写字母表示由模拟法得到的有源表示由模拟法得到的有源RC梯形网络中的电压、梯形网络中的电压、电流和元件值。电流和元件值。

10、一个双端接电阻的五阶一个双端接电阻的五阶LC梯形网络如下图所梯形网络如下图所示。其中的元件值可以通过滤波器设计手册或示。其中的元件值可以通过滤波器设计手册或计算机辅助设计程序求得，也可以用人工方法计算机辅助设计程序求得，也可以用人工方法求得。求得。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 vic3rSl2l4c5+- vo-+rLc1 c3rSl2l4 c5 vo-+ rL c1isvr1v1svr2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计

11、设计步骤如下：设计步骤如下：1. 列写列写LC梯形网络的工作方程梯形网络的工作方程 为了对为了对N阶原型阶原型LC梯形网络的工作情况进行模梯形网络的工作情况进行模拟，必须先列写能够完全描述拟，必须先列写能够完全描述N阶阶LC梯形网络工梯形网络工作的作的N个方程。个方程。 为了列写方程，首先需要选取网络的变量。必为了列写方程，首先需要选取网络的变量。必须选取电容电压和电感电流作为须选取电容电压和电感电流作为LC梯形网络的梯形网络的变量。变量。 因为有源因为有源RC滤波器的基本单元电路是积分器，滤波器的基本单元电路是积分器，要用每一个积分器来模拟要用每一个积分器来模拟LC梯形网络中一个相梯形网络中

12、一个相应的无源元件的工作特性。应的无源元件的工作特性。 因此，因此，LC梯形网络中的电容电压和电感电流梯形网络中的电容电压和电感电流通过模拟都会以积分器输出电压的形式出现在通过模拟都会以积分器输出电压的形式出现在有源电路中，其他所有的电压和电流都不会直有源电路中，其他所有的电压和电流都不会直接出现在有源电路中。接出现在有源电路中。 这就是说，所列的这就是说，所列的N个方程必须只包含电容电个方程必须只包含电容电压和电感电流以及输入电压。其他的变量必须压和电感电流以及输入电压。其他的变量必须通过节点电压方程或节点电流方程的关系消去。通过节点电压方程或节点电流方程的关系消去。这样，必须选取电容电压和

13、电感电流作为这样，必须选取电容电压和电感电流作为LC梯梯形网络的变量。对上图所示的电路，就要选取形网络的变量。对上图所示的电路，就要选取v1、i2、v3、i4、v5 为电路变量。为电路变量。 下面以上图为例，说明列写方程的具体方法下面以上图为例，说明列写方程的具体方法和步骤。和步骤。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 如图所示是一个五阶如图所示是一个五阶LC梯形网络，需要列写梯形网络，需要列写五个工作方程。五个工作方程。 首先列写梯形网络中第一个元件首先列写梯形网络中第一个元件c1的工作方程，的工作

14、方程，即描述即描述c1的电压电流关系的方程。为了便于列写的电压电流关系的方程。为了便于列写电容电容c1上端节点的节点方程，将图中的电压源转上端节点的节点方程，将图中的电压源转换为电流源。于是得到换为电流源。于是得到c1的电压电流关系为：的电压电流关系为：111sciv 4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 因为变量因为变量i1不是我们所选取的电路变量，它不不是我们所选取的电路变量，它不应该出现在最终的方程中，可以通过该节点的电应该出现在最终的方程中，可以通过该节点的电流关系消去不必要的电流变量流关系消去不必要的电流变量i1。该节点的电流。该节点的电流关系为：关系为：

15、211irvrvissi消去变量消去变量i1得：得：)/1()/(121ssirscirvv 该式描述了电容该式描述了电容c1和端接电阻和端接电阻rs在电路中的工在电路中的工作关系，而且只包含了所允许的变量。所以该式作关系，而且只包含了所允许的变量。所以该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第一是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第一个方程。个方程。 c3rSl2l4 c5 vo-+ rL c1isvr1v1svr2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i)/1()/(121ssirscirvv4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 4.1 全极点低通滤波器的

16、分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 下面列写梯形网络中第二个元件下面列写梯形网络中第二个元件l2的工作方程。的工作方程。它的电压电流关系为：它的电压电流关系为：222slvi其中其中v2不是我们所需要的变量。可以通过包含不是我们所需要的变量。可以通过包含l2的回路方程而消去这个变量。该回路的回路电压的回路方程而消去这个变量。该回路的回路电压方程为：方程为：312vvv消去变量消去变量v2，得：，得： 2312slvvi该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第二个方程。的第二个方程。 c3rSl2l4 c5 vo-+ rL c1isvr1v1svr

17、2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i2312slvvi3423sciiv4534slvvi)/1 (545lrsciv)/1()/(121ssirscirvv4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 用同样的方法，可以对电容用同样的方法，可以对电容c3、l4和和c5列出符列出符合要求的方程为：合要求的方程为：3423sciiv4534slvvi)/1 (545lrsciv 上述各式组成的方程组完全描述了上述各式组成的方程组完全描述了LC梯形网梯形网络的工作过程。这些方程中的变量只包含了电络的工作过

18、程。这些方程中的变量只包含了电容电压、电感电流和输入电压，所以适合于用容电压、电感电流和输入电压，所以适合于用有源有源RC积分器和相加器来模拟实现。几个方程积分器和相加器来模拟实现。几个方程中的分子项可以用相加器来实现，相加器的输中的分子项可以用相加器来实现，相加器的输出就是为积分器的输入。出就是为积分器的输入。voisvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr2. 画方框图画方框图 上面列出的五个方程所描述的工作关系可以用如下上面列出的五个方程所描述的工作关系可以用如下的方框图表示。的方框图表示。2312slvvi3423sciiv4534slvv

19、i)/1(545lrsciv)/1()/(121ssirscirvv4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 方框图具有以下规律：方框图具有以下规律：（1）该框图主要由积分器和相加器组成。共）该框图主要由积分器和相加器组成。共包括五个积分器，每个积分器代表一个元件的包括五个积分器，每个积分器代表一个元件的工作方程。一般地说，工作方程。一般地说，N阶阶LC梯形网络的方框梯形网络的方框图有图有N个积分器，组成（个积分器，组成（N-1）个双积分回路；）个双积分回路；（2）各积分器输出端的朝向是上下交替的。）各积

20、分器输出端的朝向是上下交替的。其中，用来模拟电容工作的积分器输出端朝下，其中，用来模拟电容工作的积分器输出端朝下，而用来模拟电感工作的积分器输出端是朝上的。而用来模拟电感工作的积分器输出端是朝上的。（3）第一个和最后一个积分器是阻尼积分器，）第一个和最后一个积分器是阻尼积分器，阻尼电阻分别是阻尼电阻分别是LC网络的端接电阻网络的端接电阻rs和和rL。其余。其余积分器是无阻尼积分器。而这些积分器可以用积分器是无阻尼积分器。而这些积分器可以用有源积分器实现。有源积分器实现。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 积分器用有源电路实现时，反相积分器的电路积分器用有源电路实现

21、时，反相积分器的电路比较简单，而同相积分器的实现则需要在反相积比较简单，而同相积分器的实现则需要在反相积分器的后面再加一级反相器，因而要比反相积分分器的后面再加一级反相器，因而要比反相积分器多一个运算放大器。为了减少运放的个数，应器多一个运算放大器。为了减少运放的个数，应尽量少用同相积分器。尽量少用同相积分器。 上图的五个积分器都是同相积分器。为了尽量上图的五个积分器都是同相积分器。为了尽量多采用反相积分器，需要在不改变电路转移函数多采用反相积分器，需要在不改变电路转移函数的条件下，对的条件下，对LC梯形网络工作过程的方程式进行梯形网络工作过程的方程式进行一些变形。为此，必须改画方框图。例如，

22、为了一些变形。为此，必须改画方框图。例如，为了能够使第一、三、五个积分器是反相积分器，使能够使第一、三、五个积分器是反相积分器，使第二、四个积分器是同相积分器，可将上述五个第二、四个积分器是同相积分器，可将上述五个方程变为：方程变为：4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 )/1 ()/(121ssirscirvv2312)(slvvi3423)(sciiv4534slvvi)/1 (545lrsciv 根据调整以后的这五个方程，得到的电路方框根据调整以后的这五个方程，得到的电路方框图如所示。方框图中的相加器可以用独立的有源图如所示。方框图中的相加器可以用独立的有源相

23、加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。的虚地输入端去实现。isvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr 根据调整以后的五个方程，得到的电路方框图根据调整以后的五个方程，得到的电路方框图如所示。如所示。)/1 ()/(121ssirscirvv2312)(slvvi3423)(sciiv4534slvvi)/1(545lrsciv4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 voisvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr

24、isvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr0v4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 3. 实现电路实现电路 画出方框图以后，还要将该方框图用实际的画出方框图以后，还要将该方框图用实际的电路去实现。方框图中的相加器可以用独立的电路去实现。方框图中的相加器可以用独立的有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。积分器的虚地输入端去实现。 反相积分器和同相积分器的实现电路分别如反相积分器和同相积分器

25、的实现电路分别如下图所示。下图所示。iVoVCRiVCRoVR1R14.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 前面所示的双端接电阻的五阶前面所示的双端接电阻的五阶LC梯形网络的有梯形网络的有源源RC实现电路如下所示。实现电路如下所示。 iV2V4V1V3V5VoViG112G32G34G54G21G23G43G45G11G11C22CGGGG33C44C55C55G) 1 () 2() 3() 4() 5(4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 有源有源RC电路中的工作关系（用大写字母表示）电路中的工作关系（用大写字母表示）与原型与原型LC网络

26、的工作关系（用小写字母表示）的网络的工作关系（用小写字母表示）的对应关系如下：对应关系如下：)/1 ()/(121111121211ssiiirscirvvGsCVGVGV2312223231212slvvisCVGVGV3423334342323sciivsCVGVGV4534445453434slvvisCVGVGV)/1 (54555554545lrscivGsCVGV4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 从上面的方程可以得到各变量的对应关系如下：从上面的方程可以得到各变量的对应关系如下：;5544332211vViVvViVvVvVii有源电路的元件值可以通

27、过下面的关系确定：有源电路的元件值可以通过下面的关系确定：lssirGcCGlCGGcCGGlCGGrGcCGrG1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1, 1,15555554444454333334322222321111111214.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 采用上述元件值实现的有源电路的转移函数采用上述元件值实现的有源电路的转移函数V5/Vi与原型与原型LC梯形网络的转移函数梯形网络的转移函数v5/vi相同。但相同。但是，上述元件值不是唯一的，而且往往是不实际是，上述元件值不是唯一的，而且往往是不实际的。比如，有时候元件值可能太大，有时候元件

28、的。比如，有时候元件值可能太大，有时候元件值可能太小。所以要对元件值进行定标。另外，值可能太小。所以要对元件值进行定标。另外，为了使所实现的有源为了使所实现的有源RC电路的动态范围为最大，电路的动态范围为最大，还要对电路进行所谓的动态范围定标。这方面的还要对电路进行所谓的动态范围定标。这方面的具体做法和无源网络的定标方法是一样的具体做法和无源网络的定标方法是一样的。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 例例4.1 设满足要求的归一化三阶无源低通滤波器的设满足要求的归一化三阶无源低通滤波器的电路如图所示。若滤波器的通带边界电路如图所示。若滤波器的通带边界(3dB频率频

29、率)为为c=104rad/s，用基于对，用基于对LC梯形网络工作模拟的设梯形网络工作模拟的设计法设计相应的有源计法设计相应的有源RC滤波器。滤波器。解：下图所示电路是归一化的，因而其通带边界解：下图所示电路是归一化的，因而其通带边界是是1rad/s，端接电阻，端接电阻rs=rl=1。查表可得电路的元。查表可得电路的元件值为：件值为：c1=c3=1F， l2=2H。 因所设计的滤波器的通带边界为因所设计的滤波器的通带边界为c=104rad/s，故需对上述元件值进行频率去归一，即对原来的故需对上述元件值进行频率去归一，即对原来的元件值都除以元件值都除以c104。频率去归一后通带边界为。频率去归一后

30、通带边界为c=104rad/s的三阶无源低通滤波器的元件值为：的三阶无源低通滤波器的元件值为：c1=c3=1104F， l2=2104H，rs=rl=1。4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 下面用模拟下面用模拟LC梯形网络工作过程的方法设计梯形网络工作过程的方法设计和它对应的有源和它对应的有源RC滤波器。滤波器。（1）列写）列写LC梯形网络的工作方程梯形网络的工作方程 选取选取v1、i2、v3为电路变量，可得到为电路变量，可得到LC梯形网梯形网络的工作方程为：络的工作方程为：)/1()/(121ssirscirvv3312scvvi)/1 (323lrsciv4.

31、1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 （2）画）画LC滤波器的框图滤波器的框图 根据上述方程可以得到下图根据上述方程可以得到下图(a)所示所示LC滤波器滤波器的框图如下图的框图如下图(b)所示。可见，该电路可以用三个所示。可见，该电路可以用三个积分器实现。第一个和最后一个积分器是反相阻积分器实现。第一个和最后一个积分器是反相阻尼积分器。尼积分器。（3）将）将LC滤波器用有源滤波器用有源RC电路实现电路实现 下图下图(b)所示的框图可用有源所示的框图可用有源RC电路实现，见电路实现，见下图下图(c)，设电路的增益，设电路的增益k=1， G可选任意值。图可选任意值。图中各元

32、件值为：中各元件值为：4111122132231133142223311S1S10 F12 10 H1SislGGGGGGCCcrClGr4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 rSl2vic3+-vo-+rLc13v1vi21F1F2H2i -vo1v 1v111ssCr21sl311LsCr213C32G2I12G21GGG(2)1V1iG11G11C(1)3V32G33G(3)23G22C33C(a)(c)(b)4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 例例4.2 用对用对LC梯形网络工作模拟的设计法设计梯形网络工作模拟的设计法设计一个五

33、阶一个五阶1dB波纹的波纹的Chebyshev有源有源RC滤波器，滤波器，滤波器的截止频率滤波器的截止频率fc=10kHz。解：解： （1）设计符合要求的无源滤波器）设计符合要求的无源滤波器 五阶五阶1dB波纹的波纹的Chebyshev LC低通滤波器如低通滤波器如下图所示，查表得归一化元件值为：下图所示，查表得归一化元件值为：F1349. 251 ccF0009. 33cH0911. 142ll0000. 1LSrr4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 若滤波器的截止频率若滤波器的截止频率fc=10kHz，负载电阻，负载电阻rs=rl=1k，则去归一化以后的元件值

34、为：，则去归一化以后的元件值为：15432.134933.9780nF2 1010ccnF7608.47101020009. 3343cmH3654 14342llk0000. 1LSrr3c3V2liI1V1c2I4IiVSrLroV4l5V5c2.1349F3.0009F1.0911H1.0911H112.1349F4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 （2）列无源滤波器的状态方程）列无源滤波器的状态方程 选电容电压选电容电压v1(s)、v(s)、v5(s)和电感电流和电感电流i2(s)、i(s)作为状态变量。列出上图所示无源滤波器的作

35、为状态变量。列出上图所示无源滤波器的状态方程：状态方程：)()(1)(211sisvGGscsviss)()(1)(3122svsvslsi)()(1)(4233sisiscsv)()(1)(5344svsvslsi)(1)(455siGscsvL4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 （3）画电路框图）画电路框图 根据状态方程画出无源滤波器的电容电压和电感电根据状态方程画出无源滤波器的电容电压和电感电流间运算关系的方框图如下图所示。图中，每一个状态流间运算关系的方框图如下图所示。图中，每一个状态方程对应一个虚线圈定的电路框图。方程对应一个虚线圈定的电路框图。)()(

36、1)()()(1)()()(1)()()(1)()()(1545453434232312121svsiGscsisvsvslsvsisiscsisvsvslsvsisvGGscLissGSSGsc 1121sl31sc41slLGsc 11)(svisG)(1sv)(3sv)(5sv)(2si)(4sI4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 （4）实现电路）实现电路 将方框图用基本单元电路实现，如下图所示。将方框图用基本单元电路实现，如下图所示。图中，每部分电路框图对应一部分电路。图中，每部分电路框图对应一部分电路。 若电路中所有电阻值均取若电路中所有电阻值均取1k，

37、则图中所示电，则图中所示电路中的各电容值为：路中的各电容值为：nF9780.3351CCnF7608.473CnF3654.1742CC4.1 全极点低通滤波器的分析与设计全极点低通滤波器的分析与设计 LGsc11)(1sv)(3sv)(5sv)(2sirrrrSRSR2R3R5R6R8R7R9RLR( )oV s4RGSSGsc 1121sl31sc41slLGsc 11)(svisG)(1sv)(3sv)(5sv)(2si4( )i s)(1sV)(sVi)(2sI)(3sV)(5sV1C2C3C4C5C4.2 具有有限传输零点的低通滤波器具有有限传输零点的低通滤波器 的分析与设计的分析与

38、设计4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 具有有限的传输零点的五阶低通滤波器如下具有有限的传输零点的五阶低通滤波器如下图所示。该网络与全极点图所示。该网络与全极点LC梯形网络的不同之梯形网络的不同之处就在于并联电容处就在于并联电容c2和和c4。如果我们能设法将这。如果我们能设法将这两个并联电容改为一端接地的电容，从而消去两个并联电容改为一端接地的电容，从而消去这两个并联电容，则具有有限传输零点的滤波这两个并联电容，则具有有限传输零点的滤波器的设计方法与前面研究的全极点滤波器的设器的设计方法与前面研究的全极点滤波器的设计方法完全相同。计方法完全

39、相同。l2l4 vovic3rSc5+-+rLc1c2c44i2i1v3v5vABC4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 1.消去并联电容消去并联电容 为了将上图中的两个并联电容为了将上图中的两个并联电容c2和和c4改为一端接地的改为一端接地的电容，从而消去这两个并联电容，就需要将这两个电容电容，从而消去这两个并联电容，就需要将这两个电容用它的等效电路代替。为此，需要研究这两个电容的工用它的等效电路代替。为此，需要研究这两个电容的工作情况。从上图看，电容作

40、情况。从上图看，电容c2的的A端接电压端接电压v1，它的，它的B端接端接电压电压v3。因此，如果要将电容。因此，如果要将电容c2从从B端断开而改接到接端断开而改接到接地端，则需要在电容地端，则需要在电容c2与地之间加接一个电压源与地之间加接一个电压源v3。同。同样，如果要将电容样，如果要将电容c2从从A端断开而改接到接地端，则需端断开而改接到接地端，则需要在电容要在电容c2与地之间加接一个电压源与地之间加接一个电压源v1。这说明，要将。这说明，要将一个并联电容变成非并联的形式，就需要用两个同样的一个并联电容变成非并联的形式，就需要用两个同样的电容和两个电压源来代替。对并联电容电容和两个电压源来

41、代替。对并联电容c4的分析方法与的分析方法与对对c2的分析方法相同。于是得到其等效电路如下图所示。的分析方法相同。于是得到其等效电路如下图所示。4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 l4l2 c3 c5+- +rL4i1v3v5vsrisvr2i1c3v2c1v2c5v4c3vov4c- 将图中的电压源将图中的电压源v1、v3和和v5转换成电流源、将并转换成电流源、将并联电容合并以后的电路如示。注意，图中电压源联电容合并以后的电路如示。注意，图中电压源v3和电容和电容c2串联的支路在转换成电流源的过程中串联的支路在转换成电流源的过程中产生了产

42、生了sc2v3项，它代表一个受控源，是一个电压项，它代表一个受控源，是一个电压控制电流源。同样，电压源控制电流源。同样，电压源v1和电容和电容c2串联的电串联的电路在转换成电流源的过程中产生了路在转换成电流源的过程中产生了sc2v1项，它也项，它也是一个电压控制电流源。受控源是一个电压控制电流源。受控源sc4v5和和sc4v3也是也是这样产生的。这样产生的。4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 l2l4-+rL4i1v3v5vsrisvr2i112ccc2 3sc v2 1sc v4 5sc v4 3sc vov1c3c3234cccc545

43、ccc5c 该图所示的网络结构中除了四个受控源该图所示的网络结构中除了四个受控源sc2v3、sc2v1、sc4v5和和sc4v3以外，与全极点滤波器的网络以外，与全极点滤波器的网络结构相同。正是这四个受控源实现了滤波器的结构相同。正是这四个受控源实现了滤波器的有限传输零点。受控源可以很容易地通过运算有限传输零点。受控源可以很容易地通过运算放大器实现。放大器实现。 4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 2. 列写工作方程列写工作方程 列写方程的步骤和方法与全极点滤波器的相列写方程的步骤和方法与全极点滤波器的相同。其方程为：同。其方程为：)/1

44、()/(13221ssirscvscirvv2312slvvi3541223scvscvsciv4534slvvi)/1 (53445lrscvsciv4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 3. 用有源用有源RC电路实现电路实现 上面的方程与全极点网络的方程相似，所不上面的方程与全极点网络的方程相似，所不同的就是方程中多了一些含受控电流源同的就是方程中多了一些含受控电流源sc2v3、sc2v1、sc4v5和和sc4v3的项。这些电流源既然代表一的项。这些电流源既然代表一个电流，就可以通过在网络的相应节点之间连接个电流，就可以通过在网络的相应节

45、点之间连接一个电容来实现。有源一个电容来实现。有源RC实现电路如下图所示。实现电路如下图所示。例如，受控电流源例如，受控电流源sc2v3是通过在网络的第三个积是通过在网络的第三个积分器的输出端（其电压为分器的输出端（其电压为v3）和第一个积分器的）和第一个积分器的虚地之间连接一个电容虚地之间连接一个电容c2（图中（图中C13=c2）来实现的。）来实现的。受控源受控源sc2v1是通过在网络的第一个积分器的输出是通过在网络的第一个积分器的输出端（其电压为端（其电压为v1）和第三个积分器的虚地之间连）和第三个积分器的虚地之间连接一个电容接一个电容c2（C31=c2）来实现的。）来实现的。4.2 具有

46、有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 iV2V4V1V3V5VoV1iG12G32G34G54G21G23G43G45G11G11C22CGGGG33C44C55C55G(1)(2)(3)(4)(5)13C31C35C53C4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 4. 求元件值求元件值 描述上图电路的方程如下：描述上图电路的方程如下：111131321211GsCVsCVGVGVii223231212sCVGVGV335351314342323sCVsCVsCVGVGV445453434sCVGVGV55

47、553534545GsCVsCVGV4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 将各式进行比较，可以得到各电路变量的对应将各式进行比较，可以得到各电路变量的对应关系如下：关系如下：;5544332211vViVvViVvVvVii., 1,1,14442225553331114533523113544543343223211255111lClCcCcCcCcCCcCCGGGGGGGGrGrGGlsi4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 例例4.3 设满足要求的归一化三阶无源低通滤波器设满足要求的归

48、一化三阶无源低通滤波器的电路如下图所示。若滤波器的通带边界的电路如下图所示。若滤波器的通带边界(3dB频频率率)为为c=104rad/s，用基于对，用基于对LC梯形网络工作模梯形网络工作模拟的设计法设计相应的有源拟的设计法设计相应的有源RC滤波器。滤波器。 vic3rS+- vo- +rLc12i1v3vAB2l2c4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 解：这是一个三阶椭圆低通滤波器。查表可得归解：这是一个三阶椭圆低通滤波器。查表可得归一化三阶无源低通滤波器的一组元件参数为：一化三阶无源低通滤波器的一组元件参数为：c1=c3=0.9897F，

49、c2=0.0529F，l2=1.0869H。 因 为 所 设 计 的 滤 波 器 的 通 带 边 界 为因 为 所 设 计 的 滤 波 器 的 通 带 边 界 为c=104rad/s，故需要对上述元件值进行频率去归，故需要对上述元件值进行频率去归一。具体方法是对原来归一化三阶无源低通滤波一。具体方法是对原来归一化三阶无源低通滤波器的元件值都除以器的元件值都除以c=104。进行频率去归一以后。进行频率去归一以后通带边界为通带边界为c=104rad/s的三阶椭圆低通滤波器的的三阶椭圆低通滤波器的元 件 值 为 ：元 件 值 为 ： c1= c3= 0 . 9 8 9 7 1 0 4 F ，c2=0

50、.0529104F， l2=1.0869104H，rs=rl=1。4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 下面用模拟下面用模拟LC梯形网络工作过程的方法设计梯形网络工作过程的方法设计该电路。该电路。（1）求等效电路）求等效电路 为了便于列写上图所示为了便于列写上图所示LC梯形网络的工作方梯形网络的工作方程，将上图中的两个并联电容程，将上图中的两个并联电容c2用它的等效电路用它的等效电路代替，得到的等效电路如下图所示。代替，得到的等效电路如下图所示。l2 c3+-+rL1v3vsrisvr2i1c3v2c1v2cov-4.2 具有有限传输零点的低

51、通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 将上图中的电压源将上图中的电压源v1和和v3转换成电流源同时将转换成电流源同时将并联电容合并，得到的等效电路如下图所示。并联电容合并，得到的等效电路如下图所示。l2-+rl1v3vsrisvr2i112ccc2 3sc v2 1sc vov1c3c323ccc4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 （2）列写）列写LC梯形网络的工作方程梯形网络的工作方程 在上图的等效电路中，选取在上图的等效电路中，选取v1、i2、v3为电路为电路变量，可得到它的工作方程为：变量，可得到它的工作方程为

52、：)/1 ()/(13221ssirscvscirvv2312slvvi)/1 (31223lrscvsciv4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 （3）将）将LC滤波器用有源滤波器用有源RC电路实现电路实现 根据上述方程，可以将该根据上述方程，可以将该LC滤波器用有源滤波器用有源RC电路实现，如下图所示。设电路的增益电路实现，如下图所示。设电路的增益k=1，则，则图中各元件值为：图中各元件值为：S11F100426.1H100869.1F100426.1F100529.0S1S11331323334222421111423113233221

53、12111lsirGcccClCcccCcCCGGGGrGG4.2 具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计 iV2V3VoV1iG12G32G21G23G22CGG33C(2)(3)1V11G11C(1)13C31C33G图中，图中，G可选任意值。可选任意值。4.3 双积分回路二阶滤波器的分析与设计双积分回路二阶滤波器的分析与设计4.3 双积分回路二阶滤波器的分析与设计双积分回路二阶滤波器的分析与设计 将前面所介绍的对将前面所介绍的对RLC无源梯形网络工作模拟的无源梯形网络工作模拟的方法应用到二阶方法应用到二阶RLC谐振电路中，就可以得到双二谐振电路中

54、，就可以得到双二次型二阶有源次型二阶有源RC滤波器。这是得到双二次有源滤波器。这是得到双二次有源RC电电路最常用的方法。这样得到的电路由一个反相积分路最常用的方法。这样得到的电路由一个反相积分器和一个同相积分器组成反馈回路，因此称为双积器和一个同相积分器组成反馈回路，因此称为双积分回路二阶电路。一般，双积分回路二阶电路除了分回路二阶电路。一般，双积分回路二阶电路除了需要两个积分器以外还需要一个相加器，因此这种需要两个积分器以外还需要一个相加器，因此这种电路通常由三个运算放大器组成。采用三个运算放电路通常由三个运算放大器组成。采用三个运算放大器实现的双二次滤波电路比前面讲过的采用一个大器实现的双

55、二次滤波电路比前面讲过的采用一个运算放大器的电路有很多优越性。主要是：灵敏度运算放大器的电路有很多优越性。主要是：灵敏度低，低，Q值高，灵活性大，容易调整。值高，灵活性大，容易调整。 4.3 双积分回路二阶滤波器的分析与设计双积分回路二阶滤波器的分析与设计4.3.1 二阶二阶RLC谐振谐振器器 为了得到双二次型二阶有源为了得到双二次型二阶有源RC滤波器的结构，滤波器的结构，首先研究下图所示的由首先研究下图所示的由RLC并联谐振电路构成并联谐振电路构成的带通滤波器。的带通滤波器。l+-+ ci2( )iv s1( )vsr14.3.1 二阶二阶RLC谐振谐振器器4.3.1 二阶二阶RLC谐振谐振

56、器器其转移函数为：其转移函数为：其中，其中，lc1020020222211111111111111)()()(sQssQlcscscssllcssllcssllcCsslsLssLscsLssLscsVsVsHicQ10l+-+ ci2( )iv s1( )vsr14.3.1 二阶二阶RLC谐振谐振器器由上式可得到电路的设计方程为：由上式可得到电路的设计方程为：0Qc Ql01由于电感中的电流由于电感中的电流slsvsi)()(12于是如果以电流于是如果以电流i2(s)作为输出，则转移函作为输出，则转移函数数)()(2svsii是一个低通函数。即是一个低通函数。即2002202122111)(

57、)()()(sQslcscslcslsHsVsIsHil+-+ ci2( )iv s1( )vsr11. TT电路的实现电路的实现 为了用有源为了用有源RC电路实现上图所示电路的功能，电路实现上图所示电路的功能，需要对图中所示的需要对图中所示的RLC谐振电路的工作特性进行谐振电路的工作特性进行模拟。该电路中电容和电感的工作方程如下：模拟。该电路中电容和电感的工作方程如下：)1(121rscivvi 该式是描述电容电压该式是描述电容电压工作特性的方程，可以工作特性的方程，可以用一个反相阻尼积分器用一个反相阻尼积分器来模拟它的工作。来模拟它的工作。 4.3.2 TT滤波器滤波器4.3.2 TT滤波

58、器滤波器l+-+ ci2( )iv s1( )vsr1slvi12 该式是一个描述电感电流工作特性的方程，可该式是一个描述电感电流工作特性的方程，可以用一个同相积分器来模拟它的工作。以用一个同相积分器来模拟它的工作。 l+-+ ci2( )iv s1( )vsr1 4.3.2 TT滤波器滤波器由此得到的实现电路如下图所示由此得到的实现电路如下图所示 4.3.2 TT滤波器滤波器iV2V1V1iG12G21G11G11C22CGG(1)(2)2Vslvi12) 1(121Rscivvi图中电路的方程为：图中电路的方程为：111121211GsCVGVGVii221212sCVGV 则上图所示双积

59、分回路电路和则上图所示双积分回路电路和RLC谐振电路变谐振电路变量的对应关系如下：量的对应关系如下：;2211iVvVvVii 若所有的电阻都相等，上图电路的元件值如下：若所有的电阻都相等，上图电路的元件值如下： )/(1/10220112112111QlCQcCGGGGi电路中与反相器有关电路中与反相器有关的导纳的导纳G为任意值。为任意值。 4.3.2 TT滤波器滤波器 上图的电路从上图的电路从V1处输出是一个带通滤波器。其处输出是一个带通滤波器。其带通转移函数带通转移函数V1(s)/Vi(s)为：为：22211112111121111)()(CGCGCGssCGssVsVii它的中心频率它

60、的中心频率0和和Q值分别为：值分别为：221121120CCGG112112221111110GGGCCGCQ中心频率中心频率0处的增益为：处的增益为：111GGHiB 4.3.2 TT滤波器滤波器 上图的电路从上图的电路从V2处输出时是一个低通滤波器。处输出时是一个低通滤波器。其低通转移函数其低通转移函数V2(s)/Vi(s)为：为：222111121111222211112)()(CGCGCGssCGCGsVsVii 它的极点频率它的极点频率0和和Q值与带通滤波器相同，值与带通滤波器相同，极点频率极点频率0处的增益为：处的增益为：121GGHiL 4.3.2 TT滤波器滤波器 上图所示的电