第四章杆件的扭转与梁的弯扭屈曲

1、 根据支承条件和荷载形式的不同，扭转分为自由扭转（圣维南扭转）根据支承条件和荷载形式的不同，扭转分为自由扭转（圣维南扭转）和约束扭转（弯曲扭转）。和约束扭转（弯曲扭转）。 1自由扭转自由扭转 截面上受到等值反向的一对扭矩作用；构件端部截面纵向纤维不受截面上受到等值反向的一对扭矩作用；构件端部截面纵向纤维不受约束。约束。 非圆截面构件扭转时，原来为平面的横截面不再保持为平面，产生非圆截面构件扭转时，原来为平面的横截面不再保持为平面，产生翘曲变形，即截面上各点沿杆轴方向产生位移。如果扭转时轴向位移翘曲变形，即截面上各点沿杆轴方向产生位移。如果扭转时轴向位移不受任何约束，截面可自由翘曲变形，称为自由

2、扭转或圣维南扭转。不受任何约束，截面可自由翘曲变形，称为自由扭转或圣维南扭转。自由扭转时，各截面的翘曲变形相同，纵向纤维保持直线且长度保持自由扭转时，各截面的翘曲变形相同，纵向纤维保持直线且长度保持不变；截面上只有剪应力，没有纵向正应力；单位长度的扭转角相等。不变；截面上只有剪应力，没有纵向正应力；单位长度的扭转角相等。4.2 自由的扭转自由的扭转 非圆截面杆件离杆端非圆截面杆件离杆端z处的扭角为：处的扭角为： 构件自由扭转时，扭矩和扭转角（扭转率）的关系式构件自由扭转时，扭矩和扭转角（扭转率）的关系式 It截面的扭转惯性矩。截面的扭转惯性矩。当截面由几个狭长矩形板组成时当截面由几个狭长矩形板

3、组成时(如工字形、如工字形、H形、形、T形、槽形形、槽形)，可由下式计算可由下式计算bi 、 ti狭长板的宽度和厚度；狭长板的宽度和厚度；k考虑有利影响的修正系数，其值由试验确定。考虑有利影响的修正系数，其值由试验确定。T形截面形截面k=1.15；槽形截面；槽形截面k=1.12；双轴对称工字形截面；双轴对称工字形截面k=1.31；多板件；多板件组成的焊接组合截面可取组成的焊接组合截面可取k=1.0。dzdGIMtts3n1iib3ittkItstGIzM 自由扭转时，开口薄壁构件截面上剪应力在壁厚范围内构成一自由扭转时，开口薄壁构件截面上剪应力在壁厚范围内构成一个封闭的剪力流，剪应力方向与壁厚

4、中心线平行，大小沿壁厚度个封闭的剪力流，剪应力方向与壁厚中心线平行，大小沿壁厚度直线变化，中心处为零，壁内、外边缘最大。最大剪应力值直线变化，中心处为零，壁内、外边缘最大。最大剪应力值isisstGItMtt或 由于支承条件或外力作用方式使构件扭转时截面的翘曲受到由于支承条件或外力作用方式使构件扭转时截面的翘曲受到约束，称为约束扭转。约束扭转时，构件产生约束，称为约束扭转。约束扭转时，构件产生弯曲变形弯曲变形，截面上，截面上将产生将产生纵向正应力纵向正应力，称为，称为翘曲正应力翘曲正应力。同时还必然产生与翘曲正。同时还必然产生与翘曲正应力保持平衡的应力保持平衡的翘曲剪应力翘曲剪应力。双轴对称工

5、字形截面悬臂构件，悬。双轴对称工字形截面悬臂构件，悬臂端处受外扭矩使上、下翼缘向不同方向弯曲。悬臂端截面翘曲臂端处受外扭矩使上、下翼缘向不同方向弯曲。悬臂端截面翘曲变形最大，越靠近固定端截面的翘曲变形越小，固定端处翘曲变变形最大，越靠近固定端截面的翘曲变形越小，固定端处翘曲变形完全受到约束，中间各截面受到不同程度的约束。形完全受到约束，中间各截面受到不同程度的约束。4.3 约束扭转约束扭转 翘曲剪应力形成的翘曲扭矩与由自由扭转产生的扭矩翘曲剪应力形成的翘曲扭矩与由自由扭转产生的扭矩Mst之和，之和，应与外扭矩应与外扭矩MT相平衡相平衡 距固定端为距固定端为z任意截面，扭转角为任意截面，扭转角为

6、 ，上、下翼缘在水平方向，上、下翼缘在水平方向的位移各为的位移各为u，则，则根据弯矩曲率，一个翼缘的弯矩为根据弯矩曲率，一个翼缘的弯矩为 一个翼缘的水平剪力为一个翼缘的水平剪力为忽略腹板的影响忽略腹板的影响令令 为扇形（翘曲）惯性矩为扇形（翘曲）惯性矩约束扭转的平衡微分约束扭转的平衡微分方程方程 MMMtsz2thu 222f21f2 dzdhdzudEIM 4hIFyfQtEdzdM -EI4hIF2yQtEhMIhI2/21 EIGIMtz4.3.2 约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力翘曲扭矩M引起的翘曲正应力为： -E4bh-E2bIM1fcr4bhtISF

7、1BQf式中，称为扇形坐标翼缘上最大的翘曲应力发生在B点，即：把SB=bt/8和It=2I/h代入上式，翼缘上的最大翘曲切应力可以按照下式计算：tISFQfS=hbt/16 称为扇形静矩 梁主要用于承受弯矩，为了充分发挥材料的强度，其截面梁主要用于承受弯矩，为了充分发挥材料的强度，其截面通常设计成高而窄的形式。荷载作用在最大刚度平面内，当荷通常设计成高而窄的形式。荷载作用在最大刚度平面内，当荷载较小时，仅在弯矩作用平面内弯曲，当荷载增大到某一数值载较小时，仅在弯矩作用平面内弯曲，当荷载增大到某一数值后，梁在弯矩作用平面内弯曲的同时，将突然发生侧向弯曲和后，梁在弯矩作用平面内弯曲的同时，将突然发

8、生侧向弯曲和扭转，并丧失继续承载的能力，称为梁的弯扭屈曲或整体失稳扭转，并丧失继续承载的能力，称为梁的弯扭屈曲或整体失稳。4.4 梁的弯曲扭转梁的弯曲扭转XXYY11XXYY 梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或最大弯矩，称为最大弯矩，称为临界荷载临界荷载或或临界弯矩临界弯矩。加大梁的受压翼缘或在加大梁的受压翼缘或在梁的受压翼缘加支撑可梁的受压翼缘加支撑可提高梁的整体稳定性。提高梁的整体稳定性。 梁可以看做是受拉构件和受压构件的组合体。梁可以看做是受拉构件和受压构件的组合体。受压翼缘其弱轴为受压翼缘其弱轴为1 -11 -1轴，但由于有腹板作连轴，但由于有

9、腹板作连续支承，（下翼缘和腹板下部均受拉，可以提续支承，（下翼缘和腹板下部均受拉，可以提供稳定的支承），压力达到一定值时，只有供稳定的支承），压力达到一定值时，只有绕绕y y轴屈曲轴屈曲，侧向屈曲后，弯矩平面不再和截面，侧向屈曲后，弯矩平面不再和截面的剪切中心重合，必然产生扭转。的剪切中心重合，必然产生扭转。 荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。荷载作用在荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。荷载作用在上翼缘，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载上翼缘，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载P将将产生绕剪力中心的附加扭矩产生绕剪力中心的附加扭矩Pe，它将对梁侧向弯曲和扭转起，它将对梁侧

10、向弯曲和扭转起促进作用，使梁加速丧失整体稳定。但当荷载促进作用，使梁加速丧失整体稳定。但当荷载P作用在梁的作用在梁的下翼缘，它将产生反方向的附加扭矩下翼缘，它将产生反方向的附加扭矩Pe，有利于阻止梁的侧，有利于阻止梁的侧向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。显然，后者的临界荷载向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。显然，后者的临界荷载（或临界弯矩）将高于前者（或临界弯矩）将高于前者。1.梁的微分方程梁的微分方程一两端简支、双轴对称工字形截面纯弯曲梁，两端均承受弯矩一两端简支、双轴对称工字形截面纯弯曲梁，两端均承受弯矩M作用，弯矩沿梁长均匀分布。作用，弯矩沿梁长均匀分布。“端部简支端部简支” 条件，即支座处

11、条件，即支座处截面可自由翘曲，能绕截面可自由翘曲，能绕x轴和轴和y轴转动，但不能绕轴转动，但不能绕z轴转动，也轴转动，也不能侧向移动。不能侧向移动。设固定坐标为设固定坐标为x、y、z，弯矩，弯矩M达一定数值屈曲变形后，相应达一定数值屈曲变形后，相应的移动坐标为的移动坐标为x、y 、z ，截面形心在，截面形心在x、y轴方向的位移为轴方向的位移为u、v，截面扭转角为，截面扭转角为 。4.3 梁的临界弯矩梁的临界弯矩梁在移动坐标系梁在移动坐标系平平面内面内，弯矩平衡方程为，弯矩平衡方程为 梁在移动坐标系梁在移动坐标系平平面内面内，平衡方程为，平衡方程为 梁端部支承，中部任意梁端部支承，中部任意截面扭

12、转时，纵向纤维截面扭转时，纵向纤维发生弯曲，属于约束扭发生弯曲，属于约束扭转。扭转的微分方程转。扭转的微分方程MdzdEIdzdEIx-2222MdzdEIdzdEI-u22y22MEIGIt 求解上述微分方程，则得到求解上述微分方程，则得到 的弯扭屈曲微分方程的弯扭屈曲微分方程 024 ytEIMGIEI令2EIGIkt1EIEIMky22； 0kk2214 则上式可写为：上式的通解为：zDchnzCshnzBcosnzAsinn221122111kkk-n22112kkkn根据边界条件，得到微分方程的解：lzAsin求解上述微分方程，则得到求解上述微分方程，则得到 的弯扭屈曲微分方程的弯扭

13、屈曲微分方程假设两端简支梁的扭转角为正弦曲线分布假设两端简支梁的扭转角为正弦曲线分布上式中的上式中的M就是双轴对称工字形截面简支梁纯弯曲时的就是双轴对称工字形截面简支梁纯弯曲时的临界弯矩临界弯矩Mcr 024 ytEIMGIEIlzsinA0sinA222lzEIMlGIlEIyt0222ytEIMlGIlEI221lGIEIGIEIlMttycr梁整体稳定的临界荷载与梁的侧向抗弯刚度、抗扭刚度梁整体稳定的临界荷载与梁的侧向抗弯刚度、抗扭刚度、翘曲刚度及梁的跨度有关。、翘曲刚度及梁的跨度有关。当梁不是纯弯曲，而是受到集中荷载、均布荷载或两端不等弯矩作用时，通常采用数值方法求解，如有限单元法、有限积分法、有限差分法等。承受一个集中荷载的双轴对称工字型截面简支梁，临界弯矩为：22tyy2tyy2crEI366. 1GIEI1GIEI366. 1GIEI1GIEI63MlGIEIlllllty对于双轴对称工字型截面简支梁，当荷载作用在截面形