第六章_自由电子论和电子的运输性质

1、1第六章第六章 自由电子论和电子的自由电子论和电子的输运性质输运性质经典理论：经典理论：上世纪初特鲁德在理想气体理论基础上发展起来的。假设：假设：金属中存在着自由电子，与理想气体分子一样，服从经典的玻尔滋曼统计。成功之处成功之处：很好说明了金属导电、导热等现象；遇到一些根本性矛盾遇到一些根本性矛盾：（1）金属中自由电子对热容量贡献小。（2）电子具有很长“自由程”两套自由电子论：经典理论和量子理论。2量子力学和费米统计规律确立后，关于电子热容量的矛盾才得到解决，在费米统计的基础上重新建立起现代的金属电子理论（索末菲）。本章首先利用费米统计理论解释价电子对金属热容量贡献小的原因。费米统计和能带论基

2、础上，逐步发展了关于输运过程的量子理论。为处理电子运动以及电子自由程问题提供了新的基础，从理论上解释纯金属电阻率的实验规律。3本本 章章 主主 要要 内内 容容6.16.1 电子气的费米能和热容量电子气的费米能和热容量6.2 6.2 接触电势差接触电势差 热电子发射热电子发射6.3 6.3 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程6.4 6.4 驰预时间的统计理论驰预时间的统计理论6.5 6.5 电子与声子的相互作用电子与声子的相互作用6.6 6.6 金属的电导率金属的电导率6.7 6.7 纯金属电阻率的统计模型纯金属电阻率的统计模型6.8 6.8 弱磁场下弱磁场下玻玻尔兹曼方程的解尔兹曼方程的解6.9 6.

3、9 金属的热导率金属的热导率46.1 电子气的费米能和热容量电子气的费米能和热容量一一 、费米能量、费米能量金属中价电子价电子的运动决定了金属的输运特性。能带理论是一种单电子近似，每个电子运动视为独立的，具有一系列确定本征态。系统的宏观态系统的宏观态可由电子在这些本征态间的统计分布来描述。1、电子的费米分布函数、电子的费米分布函数（1）单电子近似到宏观态）单电子近似到宏观态5温度T时，E 能级上分布的电子数目（费米狄费米狄拉克拉克统计）：1)(TkEEBFegnEF:费米能，化学势费米能，化学势简并度简并度电子的费米分布函数：电子的费米分布函数：温度T时，能级E的一个量子态上平均分布的电子数为

4、n/g。11)()(TkEEBFeEf能量为E的每个量子态被电子占据的平均几率（2）费米分布函数）费米分布函数EF可由系统中电子总数决定：NEfii)(6（1）T 0时，费米能级EF上，有一半量子态有电 子 = 一个量子态被电子占据的几率为 = 一量子态被电子填充和不被填充的几率相等 （2）分布函数变化区域主要在EFkBT EF+kBT。T 0时,21)E(fF11)()(TkEEBFeEf不同温度下的分布函数1.00.500KT0KEEFEF0EFkBTEF+kBT讨论讨论:72、自由电子模型的费米能量、自由电子模型的费米能量此能量区间的自由电子数目dE)E(fEC)E(dZfdNE E+d

5、E能量范围内量子态数目dEECdZ 2322)2(2mVCc其中（1） E E+dE能量范围内电子数目能量范围内电子数目8（2）T = 0K时的费米能时的费米能0F0FEE;0EE; 1)E(f电子浓度n = N/Vc得到32220)3(2nmEFmkE2/223/120F)n3(k（费米半径）金属中自由电子总数2300)(320FEECdEECNF2322)2(2mVCcEF0kF00K9（1）kF0是0K时电子的最大波矢。（2）费米半径和0K的费米能只是电子浓度函数。 n 1028/m3：kF0 67109/m，EF0 几eV。 即使是0K，由于电子遵从泡利不相容原理，不可能所有电子都处在

6、最低能级E0上。00235310FEEdEENCEdNNEF（4）绝对零度时电子的平均动能不等于0。2322)2(2mVCc是电子服从费米分布的必然结果是电子服从费米分布的必然结果讨论：讨论：32220)3(2nmEF3/120F)n3(k（一般高于或远高于金属熔点）（3）费米温度：K1010k/ET54B0F0F10T0 K时的费米能时的费米能若不存在电子发射，价电子总数不变 02302302132)(32)(dEEfECEECfdEEECfNTTF0或kBTEF0成立023dE)Ef(EC32NE时, f(E) 011偏微分函数在E = EF 处取极大值，偏离EF其值迅速减小。与(E-EF

7、)函数性质相似，积分值主要取决于EEF附近积分。Ef)E(f与Ef)E(fEEF )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g的性质及积分方程的解的性质及积分方程的解Ef023dE)Ef(EC32N120)(dEEfEgI改变积分下限dEEfEgI)(将g(E)在E=EF处展成泰勒级数 2)()()()(FFFFFEEEgEEEgEgEgdEEfEgI)(210IIII的积分Ef13)()01)()()()(0FFFEgEgffEgIxTk/ )EE(BFdxxfxEgTkIFB)()(1dEEfEgIF)()(0dE)Ef)(EE()E(gIFF1 dEEfEEEgIFF)()

8、()(2122210IIIIf/ x 是以x=0为对称的偶函数I1 = 014 0 x3x2x2F2B2x2xF2B2dx)e3e2e(x)E(g)Tk()e1(dxxe)E(g)Tk(21I)()(6)31211 (2)()(22222FBFBEgTkEgTk )()(6)(22FBFEgTkEgI210IIII1111)()(xTkEEeeEfBF1523CE32)E(gT0K 时的费米能)(81 322223FBFETkCEN )()(6)(22FBFEgTkEgI023)(32dEEfECNdEEfEgI)(FBFETkECN230)(32)TT(121EE20F20FF16（1）温度

9、升高，费米能降低（EFEF0）；（2）T 0KEEFEF0EFkBTEF+kBT17二、金属中电子气的热容量二、金属中电子气的热容量电子是费米子，受泡利不相容原理的约束，在讨论电子的热容量时，须考虑电子的费米狄费米狄拉克分布拉克分布。1、价电子作为经典粒子遇到的问题、价电子作为经典粒子遇到的问题金属中N个价电子对热容量的贡献：经典粒子（自由粒子）热容量应为3NkB/2；实验测得价电子对热容量贡献比3NkB/2低两个数量级。18金属中有N个价电子，每个电子的平均能量023)(1dEEEfNCEdNNE025dE)Ef(ENC52E分部积分2、热容量的计算、热容量的计算)TT(1251E53E20

10、F20F )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g19平均每个电子对热容量的贡献B0F2VVk )TT(2)TE(C)(1251 532020FFTTEE（2）在常温下，T/TF010-2，价电子对热容量的贡献大约是自由粒子的百分之几。一般温度下，晶格热容量比电子热容量大得多。（自由粒子热容量应为3kB/2）讨论：讨论：（1）电子热容量与温度T成正比。（4）低温范围晶格热容量按T3迅速下降，而电子按T下降，在液氦温度范围两者的大小就可以相比。20051015200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040 Cv (cal/mol

11、K)T (K)TbT321常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从晶格振动获取能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外空状态上；能够发生能态跃迁的仅是费米面附近少数电子，绝大多数电子能量不随温度变化。导致电子平均能量的温度变化率很小，即在常温下电子热容量很小。3、价电子对热容量贡献小的原因、价电子对热容量贡献小的原因EFkF1.00.500KT0KEEFEF022低温下，晶格振动的热容量与T3成正比34)(512DBVTNkC4、低温下、低温下CV/TT2关系关系温度很低时温度很低时，晶格热容迅速减小，电子热容达到不可忽略的程度，金属的热容量应计及价电子与晶格振动两部分贡献：3b

12、TTCCCaVeVV（对应摩尔热容量）44512DRb23由实验可将低温下晶格和电子对热容的贡献分离开来：3bTTCCCaVeVV实验作出CV/TT2的关系曲线2bTTCV24低温下CV/TT2关系曲线2bTTCV斜率为b截距为25很多金属的基本性质主要决定于能量在EF附近的电子。电子热容量正比于N(EF)，因此电子的热容量可以直接提供费米面附近的能态密度。应用应用Bi0.01Pb2.98Tl1.47Hg1.79Au0.73Pt6.8Ir3.1Os2.4Re2.3W1.3Ta5.9Hf2.16La10.0Ba2.7Cs3.20Sb0.11Sn1.78In1.69Cd0.69Ag0.65Pd9.

13、42Rh4.9Ru3.3Tc-Mo2.0Nb7.79Zr2.80Y10.2Sr3.6Rb2.41As0.1032GeGa0.60Zn0.64Cu0.69Ni7.02Co4.73Fe4.98Mn9.20Cr1.40V9.26Ti3.35Sc10.7Ca2.9K2.08PSiAl1.35Mg1.3Na1.38NCBBe0.11Li1.63若干金属的电子比热系数的实验值（mJ/mol K2)266.2 接触电势差接触电势差 热电子发射热电子发射一、接触电势差一、接触电势差接触电势差：不同金属接触后产生电势差。应用：制作热电偶测量温度。1、概念、概念27价电子能量FNEU53费米能3222)3(2nm

14、EF价电子总数（2）金属带电：除动能外，还有静电势能。假定金属的电势为V。价电子的总能量NeVNE53UF（1）金属不带电：对自由电子模型，忽略0K与常温下费米能的差异，价电子总能量FEEdEENU0)(212322)2(2)(EmVENC2、价电子的总能量、价电子的总能量28+ + + + + + + + + + + + + + + + + + V1V2V1V23、金属接触电势差图示、金属接触电势差图示29金属金属1金属金属2接触前体积VC1VC2费米能EF1EF2价电子总数N1N2接触后体积VC1VC2费米能EF1EF2价电子总数N1N2电势V1V24、金属接触前后的物理量、金属接触前后的

15、物理量305、金属接触价电子系统的总能量、金属接触价电子系统的总能量222211115353eVNENeVNENUFF212132222223221121)3(2)3(2NNNNVNmEVNmEcFcF22121135121322c22351321c22eV)NN()VV( eN)NNN()V3(m253)N()V3(m253U31材料一定，两金属电势差是常数。由平衡时价电子系统能量取极小值的条件dU/dN1=0)(12121FFEEeVV6、两金属电势差是常数的含义、两金属电势差是常数的含义V1 0，V2 0和V2 0，V2 0，V2 kBT42设金属表面垂直于z轴，mvz2/2E0电子沿z

16、轴脱离金属。速度分量vx 、vy可取任意值。vz vz +dvz区间内的电子数目zTkmvTkE3zdvee)hm2()dn(vBzBF22yTkmvxTkmvdvedveByBx2222（5 5）热电子发射电流密度）热电子发射电流密度adxeax2zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(vzvzdtvz43对EE0电子，在dt时间内，只有表面附近vz dt体积内的电子才能逃离金属，逃出的电子数目（单位面积）dtvvdndNzz)(dtvvednedNdqzz)(携带的电荷vzvzdtvz形成的电流密度zzvvedndtdq)(44Richarson-dushman公式

17、温度越高，脱出功越小，发射电流越大z)mE2(Tk2mvzTkEB32dvevTekhem4dtdqj210B2zBFTk2Tk)EE(2B3BBF0eATe)Tk(hem4总的热电子发射电流密度zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(zzvvedndtdq)(456.3 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程一、平衡状态和非平衡状态问题一、平衡状态和非平衡状态问题11)(0TkEEBFef平衡状态（比热问题）：电子分布函数只是能量E函数（费米狄拉克分布）电子在k k空间的分布30)2(2f由于E(k)= E(-k)，电流密度为046非平衡状态（导电状态）：在宏观电场 作用下，很快形

18、成一稳定电流密度j，且服从欧姆定律 j= 这个稳定电流反映：在恒定外场作用下，电子分布不再是平衡状态下的费米狄拉克分布，而是达到了一个新的统计分布f(k)。单位体积内在dk中的电子数3)2()(2kk df它们对电流密度的贡献3)2()(2)(kkkvdfe积分得到总电流密度3)2()(2)(kkkvjdfe通过这种非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法，就是分布函数方法。（但对导电有贡献的仍是费米面附近的电子）。47（1）电子在电场 作用下加速（漂移）（2）电子由于碰撞失去定向运动1、如何形成非平衡的分布、如何形成非平衡的分布欧姆定律的物理基础是：欧姆定律的物理基础是：二、有外场时电子分

19、布函数的变化机制二、有外场时电子分布函数的变化机制48 有外电场 时，电子波矢的时间变化率kedtd所有价电子的波矢变化率，即在波矢空间的漂移速度都相同。没有电场时分布是一个费米球，有了电场后，费米球将沿电场相反的方向发生刚性刚性漂移。2、金属中两种漂移、金属中两种漂移（1）外电场（导电）外电场（导电）在外电场中费米球的平移e49（2）温度（导热）温度（导热）金属中各处温度不同时，电子会由高温向低温区域扩散。温度梯度均匀，电子将以恒定速度在金属中扩散。503、碰撞作用、碰撞作用阻滞上述两种漂移，使电子不能无休止地漂移下去，帮助电子实现一个稳定分布。杂质、缺陷、晶格振动引起的电子散射。都称为电子

20、遭到了碰撞。51电子分布函数f(k, r, t)（普遍情况）：波矢k、空间坐标r及时间t的函数。分布函数随时间变化率tftftfdtdfcd漂移作用引起的变化率碰撞作用引起的变化率稳定状态稳定状态电子系统：1）df/dt=0； 2）f不显含t，对t求偏导数为零0tftfcd1、分布函数的时间变化率、分布函数的时间变化率三、非平衡状态电子分布函数满足的方程三、非平衡状态电子分布函数满足的方程有温度梯度时分布函数是位置的函数522、漂移项、漂移项理想流体在水平放置的玻璃管中无摩擦的稳定流动。流速为v，压强为P dttBdttAtBvdtxPxPxP)()()(tdt, x = xA = xBvdt

21、t, x = xB53dt),(f),(flimtfdttt0dtdrkrkdt),(f)dt,dt(flimdttdtt0dtrkvrkkdttt)dt,dt(f),(fvrkkrk与理想流体类似，不考虑碰撞，t时刻在相空间 (k, r) 附近的电子是t-dt时刻在(k- dt, r-vdt)处的电子漂移过来的kdt),(f)dt(flimdt),(f),dt(flimdttdtt0dtdttdtt0dtrkvrk,rkrkkffkvkdtdf)(f)d(fuudtuuu543、碰撞项、碰撞项由于晶格原子的振动，或者是杂质的存在等原因，电子不断发生从一个状态k到另一个状态k 的跃迁这种运动状

22、态的突变好比分子运动论中一个分子遭受碰撞由速度v到另一个速度v 的情况。一般可用跃迁几率函数(k , k)来描述单位时间由状态k k的几率。55设a0，b0，并记作abtcf3)2/(b单位时间内因碰撞作用一种自旋的电子进入(k, r)处单位体积电子数3)2/(a单位时间内因碰撞作用同种自旋的电子离开(k, r)处单位体积的电子数3)2/(f单位体积内一种自旋的电子数ct f3)2(1单位体积内由于碰撞作用一种自旋的电子在单位时间内的增量单位时间一个电子因碰撞由 k 态跃迁到同自旋k态的几率(k , k)56单位时间因碰撞由 k 态变成k态的电子数正比于： 同种自旋k 电子数目：f(k , r

23、)/(2)3； k态未被占据的份额：1 f(k, r)； 电子由k 向k跃迁的几率：(k , k)。)(1)()2(1),()2(33rk,r ,kkkkffb)(1)()2(1),()2(33r ,krk,kkkffa单位时间因碰撞单位时间因碰撞进入进入和和离开离开k态的电子数态的电子数进入进入离开离开krk,r ,kkkdffb)(1)(),()2(13kr ,krk,kkdffa)(1)(),()2(1357（4）玻尔兹曼输运方程）玻尔兹曼输运方程abtcfftfkdvk0tftfcdabffkkv玻尔兹曼输运方程玻尔兹曼输运方程（微分积分方程）58四、玻尔兹曼输运方程的求解（弛豫时间近

24、似法）四、玻尔兹曼输运方程的求解（弛豫时间近似法）假设在漂移和碰撞的共同作用下，电子分布函数由原来的平衡态f0变到稳定态f。令t = t时撤去外场，漂移作用消失，只有碰撞作用。电子分布函数将依靠碰撞作用，最终恢复到平衡态f0 ：偏差(f -f0)由t =t时的(f -f0) ，最终变为零。ff0tftt+E0E=059偏差按自然规律应以指数形式作衰减tt00e )ff(ff对时间求微商0cfftf两边取极限0ccttffabtftflim撤去外场作用后分布函数的变化弛豫时间ff0tftt+E0E=0abffkkv0kffffkv0ffab60金属中温度有差异，电子将由高温区向低温区扩散0)()

25、(fffeTfTkBvv TTff)(Bvke五、温度有差异、电磁场作用下玻尔兹曼输运方程五、温度有差异、电磁场作用下玻尔兹曼输运方程0kffffkv616.4 弛豫时间的统计理论弛豫时间的统计理论弛豫时间具有复杂的性质，弛豫时间方法的根据如何以及本身的大小由什么决定，都不很明显。在此情况下，考虑一个可以具体导出驰豫时间的特例很有意义。晶格完全各向同性，电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况正是这样一个特例。62各向同性，弹性散射的优点：各向同性，弹性散射的优点：（1）能带情况各向同性：E(k)与k的方向无关，只是k的函数。（2）由于散射是由晶体引起的，各向同性意味着(k,k)不依赖于k和k各自在晶

26、体中的方向，最多只依赖它们之间的夹角。（3）散射是弹性的，k只跃迁到相同能量的k状态，可以表示如下： 如E(k) E(k)，则(k,k)=063对k以外的其它波矢状态求和f=f0，电子两能态间的跃迁达到平衡 (k, k) = (k, k)(f1)(f ),()(f1)(f ),(abtfckkkkkkkkk)(f1)(f)2(1),()2(b33rk,r ,kkkk)(f1)(f)2(1),()2(a33r ,krk,kkk无外场、无温度梯度的热平衡状态1 1、弹性散射弛豫时间、弹性散射弛豫时间 的通式的通式64)(f1)(f ),()(f1)(f ),(tfckkkkkkkkk)()( ),

27、(kkkkffk有外场及温度梯度，有外场及温度梯度，外场力及温差作用力与原子内部电场力相比小得多，f偏离平衡态f0不大。 (k, k) (k, k)在弹性散射近似条件下)()()(00kEkEfff)()()(00kEkEfff)()(1 ),()(Eftf0ckkkkkk 统计表达式)()(1 ),(1kkkkk)(Effftf00ck65kkvEfmEfEEfffkkk02000)(f与f0偏差不大，右端是小量2 2、恒定温度下，只施加外电场、恒定温度下，只施加外电场 情况的情况的弛豫时间弛豫时间恒定温度下，只施加外电场 ，玻尔兹曼方程为feffk00)()(fffeTfTkBvv )(0

28、0kmeEfffff0tftt+66)(00kmeEfff)(Ef)(f)(f)(Ef)(f)(f0000kEkkEkkkkkme)(me)(取 沿x轴方向)()(1 ),(1kkkkk)kk1( ),(1xxkkk67自由电子弹性散射近似所有可能由k态向k 态散射，波矢分布在一个球面上取极轴与k重合。将矢量(k-k )分成两个分量： 平行于k的分量为k(1-cos)； 垂直k的分量(k-k )。为了进一步简化弛豫时间的表达式，先求和)( ),(k-kkkk 沿x轴方向)kk1( ),(1xxkkkkk O电子的弹性散射k-k (k-k )(k-k ) 68)cos-(1kkkk-kkkk-k

29、kkkkk),()( ),()( ),(散射几率(k, k)与散射方向无关最多是波矢的模和散射角函数：(k, k)= (k, k, )cos-(1kkkk-kkkkk),()( ),(k, k)=(k, k, )不变，(k-k )以极轴为对称轴。保持角不变，环绕极轴对(k, k)(k-k )求和为0； 再从0到对(k, k)(k-k )求和，必然为0。kk O电子的弹性散射k-k (k-k )(k-k ) 69)kk1( ),(1xxkkk)cos-(1k),(1kk只有外电场时，弛豫时间的统计表达式取x方向的分量)cos-(1kkkkk),(k)kk1( ),(kxxxkx)cos-(1kk

30、kk-kkkkk),()( ),(70)cos-(1k),(1kk讨论：讨论：（1）忽略掉(1-cos)，求和表示在k k状态的电子被散射的总几率，就是电子的自由碰撞时间；（2） (1-cos)反映了各种不同的散射对电阻的贡献不同，小角度散射影响小（ = = 0），大角度散射（ = = ）影响大。小角度散射对应电子遭受碰撞后，运动方向只有很小改变，它的定向运动在碰撞中并未完全失掉，这样的碰撞显然对电阻的影响很小。716.5 电子与声子的相互作用电子与声子的相互作用对纯金属，如原子实处在严格周期排列的位置不作振动，则价电子处在布洛赫函数所描述的稳定态，电子具有确定的能量和波矢。但是原子实时刻在其

31、平衡位置附近作振动，严格周期性不存在，电子实际上在一个不严格的周期势场中运动，会遭到偏离平衡位置原子实散射作用。原子实振动形成格波，电子散射可理解为电子与格波的相互作用。格波能量子称为声子，电子与格波的相互作用又可视为电子与声子的相互作用。72设格点Rn处原子实在平衡位置时，其原子势场)(nVRr t时刻，Rn处原子的位移为 n。若把原子势场随原子的位移视为刚性位移，则势场)(VnnRr原子偏离平衡位置引起的势场变化)(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu原子振幅格波波矢原子振动引起的势场变化原子振动引起的势场变化原子位移方向上的单位矢量73由微扰理论，跃迁矩阵元r

32、rrkkkkd)(H)(M*,跃迁几率222k ,k)(E)(Et )(E)(E(21sinM4),(kkkkkk跃迁几率跃迁几率nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnnitiVeeAn)(2RruRq)(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu74对应电子吸收一个声子散射对应电子发射一个声子散射)()(kkEE)(E)(Ekk跃迁几率最大的条件222k ,k)(E)(Et )(E)(E(21sinM4),(kkkkkk能量守恒能量守恒75跃迁矩阵元nni)( iti,d)(VeeN1e2AMnrRruRqrkkkknni)( itid)(VeeN1e2AnrR

33、ruRqrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkk自由电子近似rkkrieN1)(rkkr ieN1)(准动量守恒准动量守恒rrrkkkkd)(H)(M*,nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnniti)(Vee2AnRruRq76rrrrrRrIrkkrkkRrkkd)(Ve1d)(Ve1d)(Ve1)( i)( in)()( in跃迁矩阵元为n)( itin)( iti,nneeN2AeeN2AMRqkkRqkkkkIuIuqKkkKqkkRqkkmmn,n)( iN

34、NeqKkkqKkkkkIuIumm,ti,ti,e2Ae2AMKm 倒格矢77跃迁矩阵元不为零的条件qKkkmqKkkm或对应电子吸收一个声子的散射对应电子发射一个声子的散射Km0，正常散射过程qkkqkk散射过程中准动量守恒Km0的散射，称为倒逆过程或U过程。倒逆过程对应k，k本身大，散射角也大的情况。78电子的倒逆过程Kmkkq796.6 金属的电导率金属的电导率恒定温度下金属处于一电场中feffk0电子分布函数化为feffk0f与f0相差不大)e(fff0k0一、加电场后电子的分布函数一、加电场后电子的分布函数80施加电场后，波矢空间稳定态的电子分布函数，由平衡态分布函数f0(k)发生

35、刚性平移产生。如平衡态f0(k)为一个费米球分布，稳定分布f(k)也是一个费米球分布，球心在e /。在外电场中费米球的平移)()(0kkeffuuuudf)(f)d(fu)e(fff0k0e81电子分布函数还可化为)*me(Efff00k)(eEfff00vk*m有外场后，稳态电子分布函数f(E)是无外场时分布函数f0(E)发生刚性平移ev 产生的。dxdxdfxfdxxf)()()e(Ef)E(f082二、加电场后金属中的电流密度二、加电场后金属中的电流密度考虑同一波矢k k对应自旋相反两电子，对电流密度的贡献相同设金属体积为单位体积，电流密度为kkjd)Efef(4efde)2(20033

36、)(eEfff00k(jd)Ef4e032f0是波矢k的偶函数，v是k的奇函数，第1项为零83取体积元EdSdEdkkE+dEdEdsdk波矢空间两等能面间体积元电流密度为EdSdE)Ef4ek032(j)(0FEEEfFSk32EdS)4e(jFSxk2x32xEdSv4ej外电场沿x方向84立方结构金属的电导率FSkxEdSve2324积分仅限于费米面上积分，即对金属导电有贡献的只是费米面附近电子三、立方晶系金属的电导率三、立方晶系金属的电导率立方晶系中电流与电场的关系式zyxzyx000000jjjFSxk2x32xEdSv4ej853/1FFF2F2F)n3(kkv*mv31vx*2m

37、neF立方晶系金属的电阻率Fnem2*假设费米面是球面，则电导率FFFFkvex223244FSkxEdSve2324讨论：（1）金属电导率与自由电子浓度成正比；（2）与驰豫时间成正比。866.7 纯金属电阻率的统计模型纯金属电阻率的统计模型高温时，电阻率与温度T成正比；低温时，与T5成正比（Bloch-Grneisen定理）一、纯金属电阻率的实验规律一、纯金属电阻率的实验规律87Fnem2*e，m*与温度无关；忽略热膨胀，n也与温度无关；电阻率与温度的依赖关系完全取决于1/F。电阻率主要来自晶格振动对电子的散射作用（纯金属中缺陷、杂质可忽略不计） 。二、声子的统计平均模型描述二、声子的统计平

38、均模型描述1、电阻率与温度的依赖关系完全取决于、电阻率与温度的依赖关系完全取决于1/ F88电阻率是一个宏观物理量，是电子与声子相互作用的统计平均效应，可采用一个声子的统计平均模型。声子的统计平均模型声子的统计平均模型：声子系统是由平均声子构成，每个声子动量等于原声子系统中声子的平均动量。电子被声子散射可看成费米面附近的电子被平均声子所散射（金属中被散射的电子仅仅是费米面附近的电子）。2、声子的统计平均模型、声子的统计平均模型89)cos-(1k),(1kk)cos1)(,k ,k(Z1F是一常数，是除k k态外，费米面上其它电子态总和电子遭受到平均声子散射作用的散射角波矢为k的电子单位时间内

39、与一个平均声子的碰撞几率3、声子的统计平均模型公式、声子的统计平均模型公式kk Oqk-k90电子与声子的平均相对速度是一常数： 费米面附近电子的速度为kF/m*，为常数。 德拜模型，声子速度为金属中声速，为常数。 按经典统计理论，单位时间内某A气体分子与B气体分子的碰撞次数，正比于 （1）B分子的浓度（声子浓度）； （2）A和B分子的平均相对速度：2122)(BArvvv（1）(k, k, )正比于声子的浓度正比于声子的浓度n4、电阻率与平均声子数和平均动量的关系、电阻率与平均声子数和平均动量的关系Fnem2*)cos1)(,k ,k(Z1F91FFk2qk2qk2q2sin声子的平均动量电

40、子的正常散射过程电子的正常散射过程电子正常散射过程kk q2F22)k(2)q(2sin2)cos1()cos1()2(92)cos1)(,k ,k(Z1FF12)q(n 纯金属电阻率的统计理论：纯金属电阻率与声子浓度及平均动量的平方正比。（3）纯金属电阻率与声子浓度及平均动量的关系2)(1qnFn),k ,k(2F2)k(2)q()cos1(93由德拜近似，声子的色散关系为qv频率为的声子数11)(TkBen1、声子浓度、声子浓度三、纯金属电阻率与温度的关三、纯金属电阻率与温度的关系系声子浓度为DBDTkpcedvdDnVn02320123)()(13p22cv2V3)(D模式密度Fnem2

41、*2)(1qnF942、声子的平均波矢、声子的平均波矢DBB03T22cTkT3L22cTkLcdv2V1e1v2v2V1e1vVn1qDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edv4T4L4sv2v1v3DB0Tk34T4L2ccd1ev2v12VVn1DB0Tk23p21edv23n95德拜温度TkxBT0 x22T0 x351edxx1edxxATD38s225B3pvne2kv*m3A4、纯金属的电阻率与温度的关系、纯金属的电阻率与温度的关系声子浓度和声子平均波矢的表达式代入2FF2)q(n1ne*mDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edvDB0Tk23p21edv23n96

42、（）高温时（）高温时x1ex（）低温时（）低温时T/DT0 x22T0 x351edxx1edxxATD5AT6 .17低温时，与T5成正比。T0 x22T0 x351edxx1edxxATDTA924D高温时，电阻率与温度T成正比5、讨论、讨论976.8 弱磁场下玻尔兹曼方程的解弱磁场下玻尔兹曼方程的解有外电场和磁场时，金属中的价电子除了作定向运动外，还做回旋运动。运动方向的改变会对电流密度有影响，可用等效的磁致电阻描述。电场 和磁场B同时存在0)()(fffeTfTkBvv 0kfff)(eBv一、电磁场同时存在下电子分布函数一、电磁场同时存在下电子分布函数98f)(effk0Bv在一般电

43、场和弱磁场情况下，非平衡态电子分布函数与平衡态偏差不大。Efff00f)(eEfk0Bv为小量*mEfEfEEfff200k00kkkv可得的零级近似为kv*mee0在零级近似下，磁场对分布函数的影响没有体现，必须求高级近似零级近似零级近似99Efff00kkkkkEfEfff000)(kkEfEfEf000)(vk)(eeBvv忽略含有 因子的一项小量f)(eEfk0Bv一级近似一级近似100kBk)(*me*me222忽略了含有2小项k)(eeBvv0kkk*me0*me0kvk*m101kBBkBk)(*me)(*me*me333222kBk)(*me*me222)(*222Bmemek

44、高级近似高级近似k)(eeBvv102电磁场同时存在下高级近似的电子分布函数电磁场同时存在下高级近似的电子分布函数kBBkBk)(*me)(*me*meEfff33322200二、电流密度二、电流密度kkvjd)Ef( v4efd)e()2(2033Efff00kBBkBk)(*me)(*me*me333222103EdSdEdB)()()EE(Efk2F0kBBBB立方晶系中的电流密度立方晶系中的电流密度0*meF022*meF*20mneF对于弱磁场，B2项可忽略Bj0kjd)Ef( v4e03kBBkBk)(*me)(*me*me333222B)(20BBBj104000 xyxzyzBBBBBB当电场磁场都存在时，等