随机过程(4.3)第4章第3节西电宋月

1、各态历经性是各态历经性是1931年在统计力学中提出来的年在统计力学中提出来的,它的它的直观意义是直观意义是一个平稳过程如果是各态历经的一个平稳过程如果是各态历经的,则它的每一个样本则它的每一个样本函数几乎必须经历它所具有的各种状态函数几乎必须经历它所具有的各种状态.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性时间平均定义时间平均定义设X(t), -t+ 是平稳过程,若均方极限1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT存在则称为X(t), -t+ 在(-,+ )上的时间平均时间平均.1. 各态历经的定义各态历经的定义若对任意固定的R,均方极限1( )(). .( )()2TTTX

2、 t X tl i mX t X tdtT存在则称为X(t), -t+ 在(-,+ )上的时间相关函数时间相关函数.时间相关函数定义时间相关函数定义对参数集为对参数集为t0的平稳过程的平稳过程, 即即X(t), t0.01( ). .( )TTX tl i mX t dtT时间平均时间平均时间相关函数时间相关函数01( )(). .( )()TTX t X tl i mX t X tdtT各态历经性定义各态历经性定义设X(t), -t+ 是平稳过程(1) 若以概率若以概率1有有 =mX(t)则称则称X(t), -t+ 的的均值具有各态历经性均值具有各态历经性. .(2) 若对任意的若对任意的R

3、,R,以概率以概率1 1有有 =RX()则称则称X(t), -t+ 的的相关函数具有各态历经相关函数具有各态历经性性.若平稳过程若平稳过程X(t), -t+ 的均值函数的均值函数与相关函数都具有各态与相关函数都具有各态 历经性历经性,则则称称X(t), -t+ 具有各态历经性具有各态历经性.或或称称X(t), -t+ 是是各态历经过程各态历经过程.举例举例1( )cos(),U0 2 ( ),.X tattaX tt 设其中为常数， ，试研究的各态历经性解解2( )0,( ,)cos2XXamtRt t即过程是平稳过程.1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT由定义:1. .

4、cos()2TTTl i matdtT. .(coscossinsin)2TTTal i mttdtT0. .coscosTTal i mtdtTcossin. .0TaTl i mT2Tcossinlim E0aTT1( )(). .( )()2TTTX t X tl i mX t X tdtT由定义2. .cos()cos( ()2TTTal i mttdtT2. .cos(22 )cos4TTTtal i mdtT 22. . sin2cos(2 )cos42TTaal i mT 2cos2a22Tlim Esin2cos(2 )04TTa ( ),X tt 具有各态历经性.举例举例2(

5、 ),1(),1,2,33( ),.X tXtXP XiiX tt 设其中 具有概率分布试讨论的各态历经性解解214( )2,( ,)E3XXmtRt tX即过程是平稳过程1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT而1. .2TTTl i mXdtTX1( )(). .( )()2TTTX t X tl i mX t X tdtT21. .2TTTl i mX dtT2X2142113P XP X显然 （） 和（） 不成立( ),X tt 不具有各态历经性.2. 均值各态历经的判定均值各态历经的判定定理定理1设设X(t), -t+ 是平稳过程是平稳过程,则则 X(t), -t+

6、 均值具有各态历经性的均值具有各态历经性的充要条件是充要条件是221lim(1)( )022TXTTCdTT证明证明由定义 X(t), -t+ 均值具有各态历经性的充要条件充要条件是()1( )XX tPm而上式成立的充要条件充要条件是)0(X tD 1l.i.m)( )2(TTTXDDX t dtTt 又1lim( )2TTTDX t dtT1( )2TTDX t dtT由方差定义2E11E( )2)(2TTTTX t dtdtTTX tE ( )XX tm21E( )2TXTX tmdtT再由模的定义再由模的定义21E( )( )4TTXXTTX smdsX tmdtT21E( )( )4

7、TTXXTTX smX tmdsdtT 21( , )4TTXTTCs t dsdtT 21()4TTXTTCts dsdtT 1212(),()svuutstvuvts 令则11( , )221( , )21122s tu vJ 21( )4XDCu J dudvTuv2T2T2T2T2uvT2uvT 2vuT2vuT DD新积分区域0222211( )42T uXTT uduCu dvT（vu（先 后 积分）2202( )TT uXT uduCu dv0221( )(42 )8XTCuTu duT（20( )(42 )TXCuTu du021( )(1)22XTuCuduTT20( )(1

8、)2TXCuduuTuu uu221(1)( )22TXTCu duTTu221(1)( )22TXTCdTT221lim(1)( )(2)2TXTTDCdTtTX所以 X(t), -t+ 均值具有各态历经性的充要条件是221lim(1)( )022TXTTCdTT1. 若X(t), -t+ 是实实平稳过程,则均值具有各态历经性的充要条件是201lim(1)( )02TXTCdTT一些推论一些推论( )XC此时为偶函数2. 对参数集为t0的平稳过程 X(t), t0,均值具有各态历经性的充要条件是1lim(1)( )0TXTTCdTT02lim(1)( )0TXTCdTT特别当X(t), t0

9、为实实平稳过程,则相应结论为举例举例1设设X(t),t0是只取是只取1两个值的随机过程两个值的随机过程,其符号的改变次数是一参数为其符号的改变次数是一参数为的的PoissonPoisson过程过程N(t),tN(t),t0,且对任意的且对任意的t0,P(X(t)=1)=P(X(t)=1)=1/2.试讨论试讨论X(t),t0均值的各态历经性均值的各态历经性.解解20,( ,).XXmRt te为平稳过程2( )XCe20022lim(1)( )lim(1)TTXTTCdedTTTT211lim(1)02TTeTT所以所以X(t),t0的均值具有各态历经性的均值具有各态历经性.举例举例22( )c

10、ossin,N(0,)( ),.X tAtBtA BttX t 设其中相互独立，且都服从正态分布的随机变量， 常数.试讨论均值的各态历经性20,( ,)cos.XXmRt t为平稳过程解解221lim(1)( )22TXTTCdTT2( )cosXC2221lim(1)cos22TTTdTT 221 cos2lim()02TTTT( ),.X tt 所以的均值具有各态历经性lim( )0XC则 X(t), -t+ 的均值具有各态历经性. 定理定理2 设X(t), -t+ 是平稳过程,如果 证明证明lim( )0XC110,0T,(T)XC 对当时，有2222110(1)( )(1)( )222

11、2TTXXTTCdCdTTTT又221( )2TXTCdT11,22TTTT现限制:即2T2T1T1T0111211( )( )22TXXTTTCdCdTT11112(0)2(2)22XTCTTTT1(0)2XTCT11max(0),2MXTTTC取MTT则时，1(0)23XTCT221lim(1)( )022TXTTCdTT即所以所以 X(t), -t+ 的均值具有各态历经性的均值具有各态历经性.3. 相关函数各态历经性的判定相关函数各态历经性的判定设X(t), -t+ 是平稳过程,令( )( )(),Y tX t X tt E ( )E( )()XY tX t X tR则( )，所以所以X

12、(t), -t+ 的的相关函数各态历经性相关函数各态历经性的讨论的讨论可转化为对过程可转化为对过程Y(t), -t+ 的的均值各态历经性均值各态历经性的讨论的讨论.( )( )Xm tRY即同时还要求同时还要求Y(t), -t+ 是平稳过程是平稳过程.定理定理3 设X(t), -t+ ,以及对任意固定的, Y(t), -t+ 均为平稳过程,则X(t), -t+ 的相关函数相关函数具有各态历经性的充要条件是2221lim(1)( )( ) )022TYXTTuR uRduTT（证明证明22( )( )( )(YYYYXCuR uRR um因为由均值各态历经性的充要条件221lim(1)0,22T

13、TYTCuduTTu( )即222( )(1lim(1)02) )2TYTXTR uRuduTT（1. 设X(t),tR,以及对任意固定的, Y(t),tR,均为 实实平稳过程,则X(t),tR的相关函数具有各态历经 性的充要条件是2201lim(1)( )( )02TYXTuR uRduTT（一些推论一些推论2. 对参数集为t0的平稳过程 X(t), t0,其相关函数 具有各态历经性的充要条件是21lim(1)( )( ) )0TYXTTuR uRduTT（特别X(t), t0为实平稳过程,则其相关函数具有各态历经性的充要条件是202lim(1)( )( )0TYXTuR uRduTT（例例

14、. 设X(t),tR,为实平稳的正态过程,若lim( )0XR则 X(t),tR的相关函数具有各态历经性.证明证明( )( )(),Y tX t X tt 令E ( )E ( )()Y tX t X t则,XRt ( )，与t无关常数.R ( ,)E ( ) ()Yt tY t YutuE ( )()()()X t X tX tX tuu以上为四维正态变量积的期望.它等于两两二阶原点矩的积之和.(第一章14题）22( )( )()()XXXXRRuRuRutu与 无关，仅与 有关. ( ),.Y tt 为平稳过程2( )( )YYYCuR um又2lim( )lim( )YYYuuCuR um

15、222lim( )( )()()XXXXYuRRuRuRumlim( )0XR（）0 ( ),.Y tt 的均值具有各态历经性( ),.X tt 即的相关函数具有各态历经性例：设均方连续的平稳过程 X ( t) , - t 的期望为m、自相关函数为R()、协方差为C() , 试证:若R| C() | d , 则X 的均值具有各态历经性.221lim(1)( )022TXTTCdTT例例：设随机过程设随机过程X ( t) = Asin t + Bcos t, - t , 其中其中A、B 是相互独立的均值为零、方差为是相互独立的均值为零、方差为2 的高斯的高斯(正态正态)随机变量随机变量,试问试问

16、:(1 ) X( t)的均值是否各态历经的均值是否各态历经?(2 ) X( t)的均方值是否各态历经的均方值是否各态历经?解：由题意容易得到解：由题意容易得到E X( t) = E Asin t + EBcos t = 0 ,RX ( s, t) = E X( s) X ( t) = E( Asin s+ Bcos s) ( Asin t + Bcos t)= E( A2 sin ssin t + A Bsin scos t+ A Bcos ssin t + B2 cos scos t) =2 cos ( s - t)故故X( t)是是平稳过程平稳过程.X( t)的均值具有各态历经性的均值具有

17、各态历经性.或者也可以用或者也可以用定义判断如下：定义判断如下：EY( t+) Y( t) = E A2 sin2( t +) + B2 cos2( t +）记Y( t) = X2 ( t) , 则E Y ( t) = E X2 ( t) =2 = mY+ ABsin 2( t+) A2 sin2t+ B2 cos2t+ ABsin 2t= 34 sin2t sin2( t + ) +4 sin2t cos2( t + )+4 cos2t sin2( t +) + 34 cos2t cos2( t+)+ 44 sin t cos t sin ( t + ) cos ( t +)= 24 sin

18、2t sin2( t + ) +4 sin2( t + )+ 4 cos2( t + ) + 24 cos2t cos2( t +)+ 44 sin t cos t cos ( t +) sin ( t + )= 24 cos2+4 = RY () .由此可见由此可见Y( t) 是平稳的是平稳的.RY () - mY 2= 24 cos2+4 - 4 = 24 cos2.于是就有于是就有Y( t) 的的均值不具有各态历经性均值不具有各态历经性, 也即也即X( t) 的的均方均方值不具有各态历经性值不具有各态历经性.4. 各态历经性的应用各态历经性的应用一般，要在理论上验证一个平稳过程的是非一般，要在理论上验证一个平稳过程的是非具有各态历经性是很困难的。具有各态历经性是很困难的。例例：设：设X(t)，t0是具有各态历经性的平稳过是具有各态历经性的平稳过程，程，x(t)是是X的一个样本函数，试用样本函数的一个样本函数，试用样本函数x(t)近似估计近似估计X的均值函数和相关函数的均值函数和相关函数.解解：由于X的均值具有各态历经性，即以概率1有01. .( )TXTml i mX t dtT采用将采用将0,t等分的方式计算上式中的积分，即等分的方式计算上式中的积分，即01