弹簧质量对振动系统的影响修改(1)

1、玉林师范学院本科生毕业论文弹簧质量对振动系统的影响The Influence of Spring Quality on Vibration System院 系物理科学与工程技术学院 专 业 物理学 学 生 班 级 2009级2班 姓 名 戴石贵 学 号 200905401240  指导教师单位物理科学与工程技术学院 指导教师姓名 关小蓉 指导教师职称 副教授 弹簧质量对振动系统的影响物理学2009级2班 戴石贵指导教师 关小蓉摘要弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有很多原

2、因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为、弹性系数为的弹簧和连接于弹簧一端质量为的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法

3、有很多种，像四阶龙格库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。关键词：弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能The Influence of Spring Quality on Vibration SystemPhysics2009-2 Dai Shi-guiSupervisor Guan Xiao-rongAbstractSpring oscillator is a typical model of physics, the spring oscilla

4、tor means to ignore the quality of the light spring an object composed of system. Experiment spring oscillator frequency of vibration and theoretical results there is a greater difference, there are many reasons, but mainly due to the quality of the spring have a certain impact on the vibration. In

5、the discussion of the spring oscillator vibration case, people tend to ignore the quality of the spring itself, the actual child of spring vibration by the spring-mass for m0, elastic coefficient k for the spring and quality connection on one end of the spring to m vibrating object composition, to a

6、ddress the actual spring oscillator spring-mass vibration system, energy research system, the establishment of the formula of kinetic and potential energy of the spring-mass system, a quantitative analysis of the quality of the spring between the period of the vibration system from different angles,

7、 the the actual vibration of vibration problems, the study has some reference value and significance.Spring quality, this spring vibration sub-vibration sub is not ideal, the quality of its vibration cycle with spring's has close ties, when we put this effect is only attributed to the quality fa

8、ctor, the oscillator cycle can be written as spring-effective quality-related expression, in fact, deal with such issues are many, like Runge - Kutta method, Rayleigh method, transfer matrix method for solving the wave equation method, heuristics for solving differential equations of conservation of

9、 mechanical energy approximation , iterative method, etc. In this paper, the use of mechanical energy conservation law and the iterative method of approximate solution to the actual spring oscillator cycle, and the results make a detailed discussion.Key words：Spring oscillator，Spring-mass，Cycle，Kine

10、tic energy，Potential energy 目录1前言12振动系统的动能和势能22.1弹簧振动系统的动能分析概况22.2弹簧振动系统势能分析概况42.3弹簧振动系统的机械能52.3.1弹簧振子放置水平位置（）弹簧振动系统的机械能52.3.2弹簧振子放置竖直位置（）弹簧振动系统的机械能62.3.3弹簧振子放置倾斜程度为位置（）弹簧振动系统的机械能63弹簧质量对振动周期的影响73.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响73.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响93.3弹簧质量对振动周期影响的分析11致谢13参考文献14玉林师范学院本科生毕业论文1前言弹簧振动作为自然界中最普遍的

11、最广泛的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型-简谐振子,它由质量为的振子和弹簧弹性系数为的无质量的理想的弹簧所组成,则其弹簧振动系统的周期为：简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型,实际上弹簧的自身质量相比振子的质量来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响,就必定会造成理论上计算值与实际测量值之间的不吻合,并且这种差异并非属于随机简单的计算误差,而是具有明显的系统误差性质,必要时还是应予以修

12、正的。在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异,其中原因可能有很多,但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似,可以将弹簧质量的三分之一有效质量加到振子的质量上去,从而将弹簧质量为、振子质量为的实际弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为的理想质量的弹簧振动系统,弹簧系统的振动周期为：为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角

13、度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。 2振动系统的动能和势能通常用弹簧振子来研究简谐振动问题，用到轻弹簧13，这里考虑到弹簧质量，系统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。下面就从振动系统的能量开始，按弹簧的动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。2.1弹簧振动系统的动能分析概况弹簧振子按照如下图2.1放置在一个光滑的倾斜程度为斜面上，弹性

14、系数为，弹簧的原长为，达到平衡位置时弹簧伸长量，物体的质量为，弹簧的质量为。图2.1 弹簧振子Figure2.1 spring oscillator因为弹簧振子中的弹簧质量为，弹性系数为，振子质量为，若弹簧的振动方程为 ： （2.1）那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那么对（2.1）式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度为： （2.2）因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹簧动能之和，即： 根据动能的表达式：其中为振子的动能为： （2.3）而则为弹簧的振动动能，如上图图2. 1所示，设弹簧总共绕匝数为匝,任意的振幅为： （2.4）由于与振子的振

15、动频率相同且相一致的，所以弹簧的振动方程为： （2.5）所以弹簧的任意时刻的速度为： （2.6）因此弹簧的振动动能为： （2.7） 又 而为振子的振动速度。所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为： （2.8）如图图2.1，已知弹簧放在光滑的倾斜程度为（）斜面上，所以综上所述，考虑了弹簧质量的振动系统的总动能为： （2.9）2.2弹簧振动系统势能分析概况弹簧振子按照如图图2.2，放置在一光滑的斜面上，图2.2中弹簧水平放置时原长为，当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧伸长量为。坐标原点、弹簧弹性势能以及重力势能零点都选在平衡位置，任意时刻振子运动到位置为考虑到弹簧的质量，因此弹簧的重力势能不能够忽略不

16、计，那么弹簧振子系统的势能等于弹簧的弹性势能和弹簧振子的重力势能以及弹簧的重力势能之和，即为：图2.2 弹簧振子Figure2.2 spring oscillator （2.10）因为弹簧的弹性系数为，根据弹簧的弹性势能的式子：，而重力势能的式子为：；又弹性势能和重力势能的零势能点选择在弹簧振动系统的平衡位置，所以在平衡位置上的弹簧弹性势能、重力势能为零势能面。对于弹簧的弹性势能，又根据微积分学，对其积分得到其表达式： （2.11）又因，所以弹簧的弹性势能为： （2.12）对于弹簧振动系统中振子的重力势能为： （2.13）对于弹簧振动系统中弹簧的重力势能为： （2.14） 综上所述，弹簧振子振

17、动系统的势能为： （2.15）2.3弹簧振动系统的机械能综上根据弹簧系统的动能与势能分析情况，则弹簧振动系统的机械能为弹簧系统的动能与势能之和，即： （2.16）弹簧振子是按照如图图2.1放置在一光滑的倾斜程度为斜面上，弹性系数为，弹簧的原长为，达到平衡位置时弹簧伸长量，物体的质量为，弹簧的质量为 。又因其倾斜程度为，且其范围在之间，所以可以分为以下可能出现的情况、三种情况进行概括和总结系统的机械能。2.3.1弹簧振子放置水平位置（）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于水平放置时，即，并且此时，弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能不存在，不必考虑进来了，只存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹

18、簧振子和弹簧振动的动能，因此弹簧振动系统的机械能为以上的动能与势能之和，即： （2.17）2.3.2弹簧振子放置竖直位置（）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于竖直放置时，即，并且此时的，不仅存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能为整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即： （2.18）2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为位置（）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于竖直放置时，即，并且此时的，不仅存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起

19、的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能E为整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即： （2.19）3 弹簧质量对振动周期的影响理想的弹簧振子系统是指弹簧的质量为零的振子系统,其振子的运动形式是简谐振动，振动是一种最简单的运动形式之一。大量实验数据表明，弹簧质量对振动系统的周期存在一定的影响，实际测出的数据振动系统的周期总是略大于理论上简谐振动的理论公式得出的值：弹簧质量对振动系统周期的影响已有文章研究1,2,3,5,弹簧的质量会对振动系统周期产生影响,采用不同的方法分析计算周期,所得结果的精度也会有所不同,通过对其分析,将有助于对实际振动系统应用。对于需考虑弹簧质量的弹簧振

20、子的振动这一经典问题,国内外已有许多文献从不同的角度加以研究17，一般将弹簧视作均匀的弹性介质,从波动方程出发进行研究1,2,或将弹簧离散化为一系列小的弹簧振子进行分析6,7.在假定弹簧各点振动相位相同,且振幅与质点平衡位置成正比的条件下,文献1,2,5,6均得出振动周期的公式：式中弹簧的劲度系数为,振子的质量为,弹簧的质量为。当把弹簧质量的加到振子质量上,即可以把弹簧振子系统视作理想的振子系统。这个附加到弹簧振动系统振子上的质量称为弹簧的有效质量(等效质量)，接下来主要运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出的讨论和总结。3.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对

21、振动周期的影响如下图图3.1，弹簧振动系统中振子水平放置在光滑的水平平面上，弹簧的弹性系数为，弹簧水平放置时的原长为，令达到平衡位置时弹簧伸长量，而物体的质量为，弹簧的质量为，图3.1 弹簧振子水平放置Figure3.1 Place the spring oscillator level设弹簧质量比振子的质量小，近似地我们假设弹簧的各截面位移是按线性的规律变化，因此，弹簧在某一质点离弹簧固定那端的距离为，即振子任意时刻的位置，截面位移可表示为 ,其中为弹簧振动物体离开弹簧平衡位置O的位移，又水平面光滑，不计其在平面上的摩擦阻力等其他阻力引起的能量损失，弹簧系统振子的能量守恒。弹簧系统中弹簧为时

22、的动能为： （3.1）弹簧系统振动振子的动能为： （3.2）弹簧系统振子的弹性势能为： （3.3）弹簧系统弹簧在平衡位置时的弹性势能为：又结合能量守恒定律，则有 ，且c为常数，将其对时间的求导后，整理到简谐振动的谐振子的振动的动力学方程相结合比较的弹簧系统振子的周期为： （3.4）由此可见，该结果可等效认为是轻弹簧时，即为轻弹簧时振子的等效质量，在弹簧系统振子上附加了m03的弹簧质量的理想弹簧振子，显然真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大些。利用机械能守恒近似法，比较简便，不过其前提条件是弹簧上的各个位置其振动是一致且按线性规律变化。3.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的

23、影响对于考虑弹簧质量对弹簧系统振子，已有许多文献从不同的角度予以研究15，文献1给出了弹簧系统的能量表达式,然后令能量的一阶导数等于零,得到运动方程,再通过该运动方程的求解得弹簧系统的周期;文献9,10是从有质量弹簧的波动方程出发,并结合牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法,给出定解问题,然后通过分离变量法,直接求解波动方程,得到弹簧系统所满足的本征值方程,并采解出弹簧振子的本征频率,导出弹簧的等效质量的渐进级数表达式,从而得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解。设弹簧总共绕匝数为匝，弹簧系统中，弹性系数为，弹簧水平放置时的原长为L，具体如上图图3.1所示的，实际弹簧系统振子运动可归为不同频

24、率的谐振动的合成，即 ，且使，又根据文献11可知 （3.5）其中是描述弹簧系统弹簧的弹性系数和有效质量引入参数，由弹簧系统振子的本征方程： ， （3.6）和本征值为： （3.7）来决定振子的各个阶段振动周期为： （3.8）其中 （3.9）将式子（3.7）代入式子（3.6）有： （3.10）再利用级数的展开式将式子（3.10）可以写成： （3.11）为了简单方便，我们分析讨论了时，弹簧系统振动周期。取式子（3.11）右边前两项有： （3.12）再取初始值代人式子（3.12）有： （3.13）代人式子（3.9）得： （3.14）因此由迭代法近似可以得出基频弹簧振动系统的周期为： （3.15）所以由

25、迭代法弹簧振动系统的振动周期就可表示为： （3.16）3.3弹簧质量对振动周期影响的分析通过对弹簧质量与弹簧振动系统之间的研究，在物理学中的基础理论研究中具有显著的重要地位,正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践指导，特别是弹簧质量对弹簧振动系统的周期的影响就非常有实践指导的意义。本节通过运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期。第一种方法是机械能守恒近似法，此法主要结合了机械能守恒定律以及大学计算常用的微分求导，又结合振动系统的运动方程进行分析，得到了其振动周期与弹簧质量之间的关系为：这在很多的文献中也有相同的结论，

26、也是通过多种方法到得一比较普遍的式子，显然弹簧系统振子上附加了的弹簧质量的理想弹簧振子，真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大一些，因而得到了社会中广泛应用,其精度可以满足一般工程应用领域的需要。但对于更高精度的应用领域或进行理论分析就需要考虑更准确的计算公式，第二种方法就是迭代法，很显然方法比较的复杂，中间涉及的知识内容、理论准备、计算方法等等都是比较繁杂，但是却能得到更准确且具有更加普遍意义的结果，对于一些更高精度的计算，显而易见是十分必要的；在弹簧振动中，基频的振幅是最大的，弹簧质量对基频的弹簧系统振动周期的影响也很大，所以在弹簧振动系统中弹簧质量与振子质量相对可比

27、的情况下，讨论弹簧振动问题一般是不能够忽略弹簧其本身的质量，只是当弹簧质量远远小于弹簧振子的质量且对其结论要求不是十分精确的情况下是可忽略弹簧本身质量对振动系统的振动状况的影响。致谢在玉林师范学院四年的学习生活即将结束，时间匆匆而过，回首大学四年往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中，以及给予我关怀、关爱和支持的老师和同学们，非常感谢你们。同时大学的四年里，也是我此生的一个重要的阶段，非常荣幸在大学四年结识这么多的老师、同学、朋友。四年的学业生活即将在这个季节划上一个句号，对我的人生却是一个短暂的重要的过程，我将又再一次踏上新的征程。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，我能够顺利地完成本科阶段学习，首先要感谢各位老师的辛勤教导，特别是关老师在论文前期指导，学生受益匪浅，在论文即将付梓之际，思绪万千， 纵然伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我最真诚的敬意和赞美献给一位平凡而伟大的灵魂工程师，我的导师关老师。我虽然不是您最出色的学生，但您却是我最尊敬的