离散型随机变量的数学期望（课堂PPT）

1、.1离散型随机变量的离散型随机变量的数学期望数学期望.2复习引入复习引入.31.独立重复试验定义：独立重复试验定义： 一般地，在相同条件下重复做的一般地，在相同条件下重复做的n次试验次试验称为称为n次独立重复试验次独立重复试验1、每次试验是在每次试验是在同样条件同样条件下进行；下进行；2、每次试验都只有、每次试验都只有两种结果两种结果:发生与不发生；发生与不发生；3、各次试验中的事件是、各次试验中的事件是相互独立相互独立的；的；4、每次试验、每次试验,某事件发生的某事件发生的概率是相同的概率是相同的。注：注：独立重复试验的基本特征：独立重复试验的基本特征：1.基本概念基本概念.4基本概念基本概

2、念2、二项分布：、二项分布： 一般地，在一般地，在n次独立重复试验次独立重复试验中，设事件中，设事件A发生的发生的次数为次数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么，那么在在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次次的概率为的概率为()(1),0,1,2,., .kkn knP XkC ppkn此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作，记作XB(n,p),并并称称p为成功概率。为成功概率。.551.概率分布列 一般地，假定随机变量一般地，假定随机变量X有有n个不同的取值，它们分别是个不同的取值，它们分别是x1,x

3、2, ,xn且且P(X=xi)=pi, （i=1,2, ,n） 则称为随机变量则称为随机变量X 的分布列，简称为的分布列，简称为X的分布列的分布列.Xx1x2xnPP1,p2pn此表叫此表叫X概率分布列，概率分布列，表格表示表格表示.61、某人射击、某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？；则所得的平均环数是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041)(XE.7一、离散型随机变量取值的均值一般地，

4、若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE2211)(则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x1p2pipnxnpX它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。.8他他们们的的射射击击技技术术分分别别为为乙乙两两个个射射手手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0.9解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),(

5、1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别设设甲甲故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.10 3(2011福建福州质检)已知某一随机变量的概率分布列如下，且E6.3，则a的值为() A.5 B6 C7 D8 解析：由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4 E40.5a0.190.46.3 a7.故选C. 答案：C4a9P0.50.1b.11 类型一求离散型随机变量的期望 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤： 列出离散型随机变量的分布列；利用公式Ex1p1x2p2xipi，求出期望值 【典例1】(2

6、011福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为. (1)为何值时，其发生的概率最大？说明理由 (2)求随机变量的期望E.12.13 点评本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题(1)，对的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可.14（广东卷17）随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂

7、的某种产品200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件件次品亏损次品亏损2万元设万元设1件产品的利润（单位：万元）为件产品的利润（单位：万元）为X（1）求）求X的分布列；的分布列；（2）求）求1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X的数学期望）；的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高

8、为一等品率提高为70%如果此时要求如果此时要求1件产品的平均利润不小件产品的平均利润不小于于4.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？高考链接：.15【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， , 故的分布列为：63. 0200126)6(XP25. 020050)2(XP1 . 020020) 1(XP02. 02004)2(XP0.020.10.250.63P-2126X34. 402. 0)2(1 . 0125. 0263. 06EX（2）)29. 00(76. 401. 0)2(1)01. 07 . 01 (27 . 06)(xxxxxE73. 4)

9、(xE73. 476. 4 x03. 0 x（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为3%.16设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(.17P1x2x1p2pnxnpXP1x2x1p2pnxnpXbax 1bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE)(YaXb.18一、离散型随机变量取值的均值nniipxpxp

10、xpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE )(.191、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)= . 2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,则a= b= .0.40.1.20例例1 1：已知随机变量已知随机变量X X的分布列如下：的分布列如下：11762;,63015.21例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服

11、从两点分布，X10Pp1p则pppXE)1 (01)(两点分布的期望.22变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P33 . 0分析： XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 27 . 03 为什么呢？Ex=.23例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？变式2

12、.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分x的均值是多少？x x01knp111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qx的概率分布如下：xB(n,p)00nnC p q为什么呢？能证明它吗？E(X)=np.24证明：n n) ), ,0 0, ,1 1, ,2 2, ,( (k kq qp pC Ck k) )P P( (k kn nk kk kn n 0 0n nn nn nk kn nk kk kn n1 1n n1 11 1n nn n0 00 0n nq qp pn nC Cq qp pk kC Cq

13、qp pC C1 1q qp pC C0 0E E ) )q qp pC Cq qp pC Cq qp pC Cq qp pn np p( (C C0 01 1n n1 1n n1 1n n1 1) )( (k k1 1) )( (n n1 1k k1 1k k1 1n n2 2n n1 11 11 1n n1 1n n0 00 01 1n n 所以若B(n，p)，则E（）np 证明：若B(n，p)，则Enp 1().nnp pqnp.252；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p.263，

14、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .34，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)= . .27例例2.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，个黄球，从中摸出从中摸出3个球个球.（1）求得到黄球个数）求得到黄球个数的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则 NnMXE超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望.28例3. 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促

15、销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6410PXE X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元2万元,故应选择在商场外搞促销活动。.29例例4：一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个选项个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得其中仅有一个选项正确，每题选对得5分分.不选或不选或选错不得分，满分选错不得分，满分100分分.学生甲选对任一题的

16、概率为学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2， 问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= E(Y2) =E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2).30解： 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则 X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，EX1200.91

17、8， EX2200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525.31.32 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产取出的产品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产

18、品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求，求X的分布的分布列和数学期望列和数学期望作业：.33【解】【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=.34X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P1828

19、109()123.5454545E X .351(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试是否合格互不影响求：影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学