随机波浪及工程应用第二章

1、1随机波浪及其工程应用随机波浪及其工程应用2n海洋、海岸工程荷载：风、浪、流等。 其中海浪是作用于海洋工程建筑物上的主要荷载。 如何描述海浪的运动成为求解波浪运动特性及其对建筑物的作用首先要解决的问题。一、概述3研究波浪的发展过程：n波浪理论：属于规则波，H, T保持不变。 线性波 非线性波：Stokes波；椭余波；孤立波等。理想化。4n 随机波浪理论：把波浪看作为一随机的过程，采用概论分析理论 Sverdrup-Munk(1943)首先提出有效波的概念，用于预报风浪，是最早开展不规则波浪研究的学者。Pierson(1952)最早把Rice无线电噪声理论(随机过程)应用于海浪的分析研究，建立了

2、在时域描述波浪的数学模型。 Neuman(1952)提出了能量谱的概念(频域特性)。Longuet-Higgins（50年代中）研究了随机波浪的概率分布理论：各种波浪要素的概率预报。1( )cos()nnnntat5工程应用：n由于实际的海浪是随机的波浪，目前国内外的“规范”中规定，海岸工程设计中都采用不规则波设计方法：防波堤设计；港内波况；波浪与建筑物的作用力等。n日本1979年出版的由运输省港湾局主编的“港湾设施技术标准及编制说明”，比较系统的引进了不规则波的概念，并采用了不规则波的设计方法。 西方国家多要求按不规则波进行试验。6n青岛海洋大学文圣常院士1960年提出普遍的风浪谱；62年出

3、版海浪理论n1966年国家科委组织提出“会战谱”n1973年交通部港口工程技术规范海港水文有效波H1/3、H1%波纳入规范n197778年翻译出港工建筑物的不规则波设计法，即Goda普及不规则波系列文章。n1979年10月，我校主办教育部校际“随机波动理论及其工程应用”讨论班。文圣常主讲。n80年代，南科院、大工等建立了不规则波浪水槽，开展不规则波波浪及其对建筑物的作用试验研究。国内开展不规则波浪的研究始于50年代：7n随机波浪理论的基础n海浪的统计特征(外部特征)n海浪谱(内部特征)n不规则波波浪的模拟和变形n不规则波对工程建筑物的作用课程的主要内容：8Chapter 1 随机过程1.1 随

4、机过程的基本概念随机过程的基本概念确定性过程：可以预先知道其变化过程随机的变化过程（随机过程）自然界中的两种变化过程9随机过程：n预先无法知道其变化过程n每次可以测得一确定的过程(一个现实或样本)n每次测得的结果各不相同： 风、浪、地震等10随机过程是随机变量系的推广：n为了得到随机过程的统计特性，必须进行大量的独立测量。x1x2x3xnn个样本x1(t)x2(t)xn(t).总体X(t1)X(t2)随机函数随机变量系的推广111.2 随机过程的统计特征及其运算随机过程的统计特征及其运算12( )sxf x dxn均值（数学期望）：一、随机变量的特征及其运算xmE X( )iisx p x离散

5、随机变量连续随机变量n方差(variance)：22() xxD XE xm2()( )ixisxmp x离散随机变量连续随机变量概率密度函数概率质量度函数2()( )xsxmf x dx11( ( )1)niiixxp xn独立的观测值（样本）2211()( ()1)nxiiixxp xn样本的方差反映了随机变量的离散程度13n随机变量均值的特性n随机变量方差的特性E aXaE X E XYE XE Y2() xD XE Xm222xxE XXmm2D aXa D X 0D a 222xxE Xm E XE m222xxxE Xm mm22xE XmD aXD X14n协方差(Covaria

6、nce)考虑两个变量的相关性, ()()xyCov X YE XmYmE X Y 中心化的随机变量(零均值) xyxyE XYm E Ym E Xm mxyE XYm m相关矩RxyxyxyRm m, xyCov X YR0 xymm当 E XYE X E Y当两个变量的相互独立时15n离散样本的协方差1,iisCov X Yxxyyn1iisx yx yn相关函数定义为无因次的协方差，即1,/,xyxyiisxyrCov X Yxxyyn 01xy反映了两个随机变量的相关反映了两个随机变量的相关程度程度随机变量：只需要均值和方随机变量：只需要均值和方差即可表征其特性差即可表征其特性16随机过

7、程是随机变量系的推广，是时间的函数，其统计特征随时间变化二、随机过程的特征及其运算n均值（数学期望）：n方差(variance)： xmtE X txf x dx xDtD X t 2xEX tm 22E X tE X t是每个时间截口的随机是每个时间截口的随机变量的分布中心，平变量的分布中心，平均函数，非随机的均函数，非随机的不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方差不足于描述随机过程的特性差不足于描述随机过程的特性17不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方差不足于描述随机过程不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方差不足于描述随机过程的特性

8、相关程度相关程度的特性相关程度相关程度mx(t) 和和Dx(t)相同，但是它们的特性很明显有本质的区别，这种相同，但是它们的特性很明显有本质的区别，这种差别可以用自协方差函数来描述差别可以用自协方差函数来描述n自协方差函数表示随机函数每一对时间截口间的相表示随机函数每一对时间截口间的相关程度关程度 12,Cov x tx t 1122xxx tmtx tmtf x dxX(t1)X(t2)X(t1)X(t2) 121122,xxCov x tx tEx tmtx tmt 121212,xxCov x tx tE x tx tmtmt 1212,xxRt tE X tX tx的自相关函数18二、

9、随机过程的特征及其运算 Y tX tt yxmtmtt1212,yxCovt tCovt t yxmtt mt 121212,yxCovt tttCovt t Z tX tY t1。随机函数加上一个非随机函数2。随机函数乘上一个非随机函数3。两个随机函数相加 (1.2.25) (1.2.26) (1.2.27) (1.2.28) (1.2.29) zxymtmtmt,zxyxyxyCovt tCovt tCovt tCovt tCovt t,xyyxCovt tCovt t19n如果随机过程任意时刻的统计特征相同1.3 平稳的随机过程平稳的随机过程平稳的随机过程 xxmtxf x dxm常数

10、xxDtD常数 ,xxCovt tCov ,00 xxxCovt tCovD常数数学期望是常数方差是常数自协方差仅取决于时间差数学描述：数学描述：平稳的随机过程：可以在长的历时过程中任意选择初始时刻。平稳的随机过程：可以在长的历时过程中任意选择初始时刻。20n随机波浪是平稳的随机过程i1( )cos()Miiiitak xt平稳的随机过程：可以在长的平稳的随机过程：可以在长的历时过程中任意选择初始时刻。历时过程中任意选择初始时刻。但是仍需要进行大量的观测，但是仍需要进行大量的观测，需要考虑总体的统计特征需要考虑总体的统计特征问题：能否用一个足够长的问题：能否用一个足够长的样本统计意义上代替总体

11、呢？样本统计意义上代替总体呢？n一些非平稳的随机过程可在一定条件下看作平稳的随机过程（实际波浪并非完全平稳，一般观测1020分钟）n有时把空间平稳的随机过程称为均匀的随机过程21如果平稳的具有以下特点，我们称随机过程是如果平稳的具有以下特点，我们称随机过程是平稳的、各态历经的随机过程平稳的、各态历经的随机过程1.4 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性n总体中每个现实与其它现实相当(各个样本的统计特征相同)n一个充分长时段的现实能够统计地代替同一时段地总体22 tiEx t iiiEx t x t定义时间均值定义时间均值和协方差函数和协方差函数 01limTiTx t dtT 01

12、limTiiTx t x tdtT各态历经性的数学条件：各态历经性的数学条件： 121122ti =Ex= tttittiEx tExtEx tEx t x tExt xtt x t titiiEx tE X tEx t x tE X t X t23如果随机变量如果随机变量xi(t)，符合正态分布，整体符合符合正态分布，整体符合正态分布，随机过程称为正态的随机过程。正态分布，随机过程称为正态的随机过程。1.5 正态随机过程正态随机过程一般过程的概率分布函数难于确定，但是如果随一般过程的概率分布函数难于确定，但是如果随机过程满足某种理论分布，只要知道统计特征机过程满足某种理论分布，只要知道统计特

13、征参数即可确定其概率密度函数参数即可确定其概率密度函数n一维正态分布：一维正态分布：(数学期望和方差数学期望和方差) 2211exp/22xxxf xxm2412/21/21111,exp22nnnijijnijf x xxD X XDD121212212nnnnnRRRDRRRD1DD= ijijRE Xt Xt223232331123nnnnnDRRRDRDRRDn多维正态分布：多维正态分布：(数学期望和方差数学期望和方差)25正态随机过程的特征n统计特征完全由其均值和方差来确定n正态随机过程通过线性变换得到的随机过程也是整体的n如果正态的随机过程具有窄谱，则过程的峰谷波高值符合瑞利分布261.6 随机变量的变换随机变量的变换已知某一随机变量的概率密度函数及其与其它变已知某一随机变量的概率密度函数及其与其它变量的函数关系，求其它变量的概率密度函数量的函数关系，求其它变量的概率密度函数n单变量之间的变换随机变量X 函数关系 ( )( )f x dxf y dy发生的概率相同( )( )