球坐标系中的分离变量法PPT课件

1、4.1 控制方程的分离变量图4-0 球坐标系及微元控制体第1页/共68页 球坐标系下三维、稳态、齐次球坐标系下三维、稳态、齐次热传导方程热传导方程第2页/共68页分离变量，令代入(4-1)式，得:第3页/共68页经整理后，得到第4页/共68页方程(4-2)左边是 r 的函数，右边是 的函数，而且两边相等，只有两边都为同一个常数。 令常数为 l (l+1),(4-2)式为第5页/共68页上式可以分解为两个方程：第6页/共68页r方向的方程是方向的方程是 欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程)44(0) 1(2222RlldrdRrdrRdr第7页/共68页解的方法:考虑如下方程第8页/共68页第9页

2、/共68页将(3), (4)代入(1)中，得:从而得到方程(4-4)的解：第10页/共68页考虑和?方向的方程的解：分离变量：代入(4-3)式，得到:第11页/共68页整理，有:第12页/共68页设常数为,得到两个方程第13页/共68页方程(4-8)的解为第14页/共68页方程(4-9)为第15页/共68页第16页/共68页方程(4-11)变为称为 l 阶的缔合Legendre方程。它的解为 n 阶 m 次第一类和第二类缔合勒让德函数： 和 。 xPmn xQmn第17页/共68页若球坐标对方位角是?对称的，则 T 与?无关，m = 0, 方程为该方程称为 l 阶的Legendre方程。第18

3、页/共68页4.2 4.2 Legendre方程的解法方程的解法Legendre方程的解法第19页/共68页改写成第20页/共68页第21页/共68页整理出来 x 相同次幂的系数，令其为零，得到一系列方程，可以求出 a0 , a1, a2, , ak，即求出了(x) 的解。第22页/共68页l 阶缔合Legendre方程的解法第23页/共68页第24页/共68页代入到(4-13)中，有 可以用同样的方法解出来。第25页/共68页4.3 用Legendre函数表示任意函数() 第26页/共68页 任意函数 F()用Legendre多项式 来表示, 处是无限大，应舍去。第27页/共68页第28页/

4、共68页第29页/共68页第30页/共68页将(4-21)式代入(4-20)式，得到第31页/共68页(2) T 与方位角与方位角?有关的情况有关的情况方程为第32页/共68页基本解为和第33页/共68页任意函数表示为第34页/共68页利用缔合Legendre函数的正交性：第35页/共68页和三角函数的正交性：第36页/共68页第37页/共68页第38页/共68页第39页/共68页(二) 半球半球 0 1 (1) T与 无关的情况第40页/共68页第41页/共68页第42页/共68页第43页/共68页第44页/共68页第45页/共68页第46页/共68页第47页/共68页(三三)部分球部分球

5、区域区域内内的表达式的表达式第48页/共68页第49页/共68页第50页/共68页其中!1mm(当m为整数时)第51页/共68页l若T与?有关，其基本解为 和第52页/共68页则有第53页/共68页其中第54页/共68页4.4 ExamplesExample 4-1 实心半球， 0 1，0 r b ， = 0，T = F( r, )，已知 0 ，r = b 处球面保持 T( b, ) = 0 ， = 0 处 底面绝热 ， 求 T ( r, , )。00T第55页/共68页图4-3 例41示意图00 T第56页/共68页控制方程：第57页/共68页边界条件边界条件：初始条件为初始条件为： T= F( r, ) 第58页/共68页第59页/共68页分离变量分离变量:第60页/共68页该方程的解为:第61页/共68页最后得到完整的解为第62页/共68页应用初