Extrapolation of time series by their structural properties

1、由它们的结构性质外推的时间序列A. Zayezdny和S. Tiunov电气与计算机工程系，内盖夫本-古里安大学的贝尔谢巴，以色列收到1992年2月24日修订后的1992年8月24日摘要。本文对于时间序列的外推的新方法。 差异相对于它的主要观点其它方法是使用不仅推断系列的值也是它们的导数和这些导数之间的关系。 在本文中的方法和其使用的程序的基础上进行了描述和数值例子。 这些实例，其包括获得的结果由我们的方法之间和由比较其他的方法，令人信服地说明了该方法的效率相对于已知的方法特别是在大间隔推断。 通过结构特性，我们这里指的函数都透露出函数及其导数之间存在一

2、定的关系。关键词。 外推; 函数结构性能; 状态函数; 产生差分方程。1.简介首先，按照我们的方法用公式表达外推， 假定该实验的统计数据被给作为一个时间序列X（Ti），0 <Ti <To，并且T>T0，,可用值经过初步处理（如平滑），从而产生平滑序列X（Ti），0 <Ti <To 。这一系列被视为一个采样版本，确定性函数X（t），0 tt0在未来我们应指为了简单到x（t）的，但必须记住平滑后的x（t）是隐含的。初步处理的方法是应该被公知，故未在此讨论。 因此，外推这个问题是第2页转换成函数近似值的问题，从

3、已知的值（过去）逼近“未来值”。我们使用这种近似，不仅逼近X（t），0 tt0，而且逼近导数和它们之间的关系。 此外推方法使我们能够获得更精确的结果。然而，直接使用的初始值的函数和其近似的导数是不可能的，因为数学的困难。 我们通过使用的，而不是克服这些困难函数X（t）其中的一个特殊形式的图像产生差分方程（GDE），其中有一个简单的函数性结构。 所有的计算都是用GDE的。流程代表性的特征GDE形式是利用不仅是值的外推系列，但也是导数和它们之间的关系。 此是实现高的描述信息也是增加每个GDE符号的信息量。一方面使我们能够增加外推精度特别是对于一个大的外推时间

4、间隔，而在另一方面，为了自己局限这两个先前的最小量实验信息和可能的一个有关过程先验理论信息所需的近似和推断。因此，一个最小量的规定所需要的时间短的以前的信息系列推断可能是满意的。过渡的从函数的问题X（t）到GDE的问题在一定条件下。 其中重要的是以下情况：该GDE的结构必须比简单原有的函数的函数结构简单。这个问题有许多解决方案，我们要选择最合适的一个。 对于所有上述原因，我们使用一种特殊的数学设备。 下面给出该设备的简短介绍。 使用GDE的的想法外推 9，10。我们在下面提供的一些外推的数值例子我们要提醒大家注意，难点是估算外推法的有效性，与此相关的，理

5、论证明比其他方法的优点。问题的关键是，一个假设随机模型是任何外推法的基础。 据这种模式的确定性外推函数化（这通常被称为外推函数）会被发现。其优点是从具体例子中发现的。 对于参考的历史经验模型是有用的。这些模型的特征说明：他们提出没有任何理论和严密的数学基础被接受仅在其或多或少精确的基础对实际过程行为的描述。 该实验数据收集从只有检查所选择的模型的精度。 这些经验模型只有经历的变化和改进所获得的事实材料的基础。 在这种连接是适当的参考 2，5，6，12，也对“数学理论的争论“由沃尔泰拉13创建。这样的做法，由一个的假设的初始模型，随后检查其具体例

6、子的合理性。有必要重申一次的事实，即初步处理使平滑后的数据然后将其用于构造外推函数（t）的预测值X（t）为T> T0。不幸的是，这是不可能得到的一般用于计算外推分析方法化误差及其与外推关系化间隔。 因此，我们估计的效率通过比较的结果的新方法在新的执行外推的例子和常规的方法。 特别是对统计数据初步处理X（Ti），0 <Ti <To是严格按照詹金斯法进行。第3页我们的创新关注的只有第二部分的问题，也就是说，以外推法来逼近。2. 函数结构特性的基本原理和它的应用的问题外推文献14给出函数结构性质的理论。 在这里，我们将给出一个非常简洁该部分的理论，这是

7、用来说明在我们的论文。我们应考虑的时间函数 X（t），Y（t）而在之后，应丢弃参数，只用x、y来表示。 我们使用非线性函数来表示x（t）和其导数之间的关系。 这些关系有一个清晰物理意义，因此我们将在下文使用专业术语的解释。2.1。对于 dissipant x可以看出，'dissipant'表示X的相对变化率。 该dissipant存在于x 0，并当x> 0与对数导数一致。该dissipant构成的是一阶齐次微分方程的系数现在，让我们改写二阶齐次微分方程在此方程中dissipant 显示本身作为耗散项，并且确定的部

8、分与系数的a（）能量损耗：如果，就没有耗散能量，并且该过程是一个保守的; 如果能源将增加（如果a1> 0），如果能量将减少。 只是这些只是在“dissipant'的基础上。2.2。 对Y y的dissipant表示相对速度，二阶微分方程所述conservant可用作这个过程中接近X保守之一：如果kx=常数<0，这个过程将是保守的。 该conservant对应于第二阶微分方程所述condiant表示相的比率，这个过程的速度相对变化的变化该过程本身。 相应的微分方程具有形式上述非线性关系是时间函数，被称为 状态函数。如

9、果这些状态函数是独立的时间，然后他们对应于基本函数：x，y，指数函数；kx<0,三角函数；kx>0，双曲线；x，功率函数。因此，状态函数x，y，kx，x称为基本状态的函数，他们的组合被称为非基本的。任何状态的函数可以通过手段来表达的仅包含所述dissipantx组合和X本身的函数; 因而对于实际中，对应于任何基本或非基本的状态函数，一是新元素（）和公知的元素（加法器，乘法器等）是必要的。如图1该方法的主要思想基础使用该状态函数得到更多的在这一点上。使用状态函数是有效的，因为：三个主要理由（一）有简化的更多的可能性的初始时间序列的函数结构，最多一条直线。（二）数学描述的高信

10、息性，比权威的GDE更好（三）更多的可能性化的外推法的规则。确定性函数X（t）中，tto，结果从统计的初步处理数据X（Ti）tto 将由模拟分析近似开始间隔tto和外推间隔t>to。 根据传统的方法这种近似是任何函数的方式来完成一般U（T）逼近X（t）。在我们的方法中X（t）必须由GDE的手段被变换到下一个状态函数，根据以下条件：这个状态的函数与时间有关，其函数结构必须比X（t）简单得多。如果GDE按照状态函数代表写成直线方程式，推断会更简单，更精确（见附录A到本文）。从转型X（t）对状态函数化进行，不仅没有任何信息损失，而且保留了“内部”包含了导数的非线性关系GDE的信息状态

11、函数可以让我们表达简单的形式，所有这些信息通过相对简单的形式，它能够方便实现。3.合成产生微分方程如上述从过渡上述函数X（t）其GDE是根据制成条件：GDE的函数结构必须比X（t）简单。此函数结构的简化是通过表1的说明。在列2中的表达式的解该GDES，这都写在规范形式列3.这些GDES可以在被改写通过使用状态函数更简单的形式（列4）。外推由我们有GDE后返回到外插函数，这是一个解决这个GDE的。我们想再次强调，在我们的方法，我们使用的推断（即，对于近似值）不仅该函数的值，而且它的导数之间的关系 1注：该参数都是实数。现在的问题可能会被要求-为什么不使用逼近函数的独立的值和它的导数呢，而无需使用

12、GDES。 应该说在这一点上，通过使用的分离式的值和它的导数，所述的关系它们之间的不考虑。 在样条逼近技术的边界衍生对应仅用于所述相邻的点 8。 然而，在函数和导数之间的关系中包含很多信息，此外，有必要补充的是，我们的方法使我们能够使自动化的GDE的选择和计算过程。现在我们回到GDE合成的问题。在数学文献中的问题，合成GDE的被解决了以下方式：系数，通过它们的1,2，.，N - 1阶导数，被代入的一般n阶GDE然后微分方程表示出规范形式为： 其中，在ai（.）是包含x和t中的一个函数的最一般的形式。这样的解决方案不是我们的目标，因为规范形式不允许我们实现函数x（t

13、）通过简单的手段外推。 但如果GDE被表示在状态函数的形式，实现推断就成为可能，也可表示成自动化。 应当强调的是，综合的问题并不是只有唯一的解决方法。我们在这里使用的两种方法中，对应于齐次和非齐次GDE。3.1。 对应于齐次的GDE方法理想的是有一些类似表1的内容以实现此方法，此表可凭借知识和经验的增加扩大和发展。 我们给出一个实际实施的简要说明我们的方法。外推法的中心部分是基于使用的结构性能，是函数变换处理器（FTP）。 块图2中的FTP例子中，对应于表1中，此设备有一个输入端子和多个输出端子-基本和非基本状态和函数他们的组合。 在

14、输出端，我们得到了一组的输入函数的差分表示X（t），无论是在一个新的函数的形式U（T）或在相轨迹表示的形式V（U）。如果已知获得输出端的函数以及输出端是如何连接和构造的，这将是可能推断出究竟是什么产生GDE该输出的，哪些是输入的形式X（t）。该FTP选择该GDE的构造函数最接近一条直线。 输出还可以让我们估计一些输入函数的参数值。因此，如果输入函数X（t）对应于在内部的函数之一来实现，则函数和外推可以立刻表示出来，由于原函数被转换成一条直线。FTP的端子对应于最常见的函数和它们的GDEs。 当然，输出端可以无限扩展。 此外，我们在使用表1只是任意直线作为参考 “简

15、单映像'，但在更一般的情况下，我们可以使用其他简单的函数和相轨迹。 该FTP包含输入扫描块，由变量XO提供的沿横纵坐标t、X上下移位，可以具有正，负或零值。 此块允许我们形成新变量XX0，由此，可能性提出的方法可以大大扩展。 还有提出，输入的扫描块可能部分地或完全地通过使用各种自动化算法。应提醒注意的一个事实，即FTP只包含一个新元素（处理器） -“dissipantor”是能够执行的倒数除法运算的函数本身（参见图1）。 其他元素，在执行求和、微分、乘除法、取对数、倒数上都是标准的六个输出端产生6个状态函数U（T），U（v）和它们的转换形式;&#

16、160;我们假设其中有一个或两个近似一条直线。 该 “直线状态函数”或“直线状态转变函数 “可通过标准数值算法自动挑选。 “直线状态函数”或 “直线状态转变函数”在间隔T1期间外推，如果近似小于预定值更好。在下一个区间T2，我们开始选择另一种状态的函数（这近似于一个更好的直线），并执行类似的操作。 当然，在周期内找出最适合的最好。3.2。 对应于该方法的非齐次GDE在这种方法中，公式 其中Ui（t）是状态函数f（t）是时间函数。这样的GDE必须与X（t）一致。规范化此方法比齐次GDE更复杂，因为在这种情况下，同时也选择函数f（t）。这种方法的显着的帮助可

17、以是从公知的手册得到3。它可以被强调，在我们的经验某些情况下，该方法使用非齐次GDE是更方便。4.一些GDE合成的实用建议（a）我们推荐的一个给定的时间的处理系列由从其开始到结束，它足够可以用一部分来识别。（b）我们建议用最简单的公式平滑此系列其中，k = 1,2，.，和是一系列 X值 （Ti） 之间的时间间隔  11。（c）对于数值微分，我们建议公式7这一建议也是基于对比分析，10中进行了各种公式。 它是非常重要的强调效率的标准，两者考虑到差异化和平滑性10。（d）选择最适当的GDE可以实现上述（FTP）。5、时间序列的外推的实例在外推的例子

18、的选择时间序列我们不仅希望表明了该方法的可能性，但还由于需要其性能与比较。 在我们看来，box-jenkins方法1是最有效的常用方法; 比较是在此基础上的计算结果之间进行方法和我们自己。很自然地，在这一点上，问题是提出：如何更好的得到的结果通过使用状态函数逼近法（也称为结构性能的方法），比那些传统的近似方法，其中使用的平滑函数本身，即不考虑到它的导数。 我们进行许多比较，并把结果令人信服示的结构特性的优点方法。 因为它是上面提到的，这个事实是很容易解释，在结构的方法性能两者的函数价值和其导数和之间的关系他们都考虑在内。对于我们的方法跟传统比较，我们选择

19、的例子。 前两个实例符合以时间序列表示一个选择的确定性函数和白噪声的混合的响应的。 这种系列中遇到在这样的区域作为测量化学过程的温度，飞机的轨迹和水上运输等可用于计算的唯一数据是的过程中的样品，而数学该过程的描述被认为是未知的推理。第三示例对应于从文献15采取的美国人口数量数据。 我们把数据分成两个阶段：（1），直到1971年-初始数据，作为已知的，（2）1971年后的数据，是通过外推法找到，即视为未知，然后与发表的数据相比较。第四实施例对应于测量化学过程的温度，其中，从噪音分离出确定性函数是不可能的。 取用于该实例中的数据是从文献1中获得的。外推的结果

20、，使用上述随机用于第三和第四实施例的模型，分别为在给定的4和1分别。 这些结果带来了提到的出版物以证明了随机的优点box-jenkins方法比其他方法。 我们选择这些例子明确的目的是即使在这些情况下，所提出的方法比box-詹金斯的方法更有效。5.1。 指数过程添加白噪声这个过程被描述为其中n（t）是用正态分布噪声; n（t）=0.01N（t），其中 N（t）是一个随机序列，其中N = 1，t是整数序列，a是一个正数。 对于本例a= 0.02。X（t）的值在t  = 0到t =19是确定的。 问题是通过外推，得到t=

21、 20的值。5.1.1。 使用随机的外推箱詹金斯法这种推断严格按照 1的方法。 该X（t），即X（0）到x（19） 的20个值 ，分别用来用于获得该过程的随机模型。作为计算下面的结果 其中为x的外推，从t=t0 （to=1，2，）到。根据该外推式中，为了得到预测每个点都大于t0=19，有必要使用数据的前三个点。 特别是用于获得预测的第3点， 原函数x（t）和外推结果，基于该箱詹金斯方法，在图 3呈现。外推误差呈现在图 4。图3外推曲线两种方法的结果：箱形詹金斯方法和结构性质的方法。 该过程是exp（-at）+ n（

22、t），n为白噪声，高斯（0，0.01），a= 0.02。 这里注意，该外推的曲线偏离基本上从在 X（t）的先前部分的趋势 ， 我们强调的是， 这有点奇怪的结果，严格按照获得中所描述的方法1。得到的数学模型，在后其基础上的外推进行，该进行该模型的测试程序。 在1给出该测试过程的方法。该测试程序的结果具有完全证实所得到的模型的适当性。 在我们认为，这一结果指出了用随机方法来推断的缺陷。5.1.2。 使用结构性能外推的方法在这种情况下，我们使用的方法在第4部分中描述。最后X（t）的11值被用来进行近似x(9)-x(19)。

23、0;作为利用上述外推法表明算法的一个结果，人们发现，在平滑函数X（t），也就是说，x（t），由GDE 1表示：以极大的精度，这意味着，如果（t）是由函数来近似，现在我们寻找整合常数c。外推的先前分析表明，所有这些时间序列都有小的不规则成分，因此X（t）是足够接近根据我们的经验，我们提出了这种情况下，找到常数c来取代的时间序列中的外推函数的一般表达，即，在此情况下，实现在t=t0时的零误差。有必要再次强调这种方法是仅对与时间序列不规则的小部件。 计算结果C约等于1.016，因此，我们得到我们接受从点t = 19推断的这种近似的计算公式外推的曲线和外推误差分别示于图3和4， 外推的比较结

24、果这实施例表明的精度通过使用获得的的结构特性的方法比该箱詹金斯方法要高得多，特别是对于大间隔。 例如，对于t = 40由箱詹金斯方法的误差是61.7，而结构性能方法是2.6。此外，通过导数等的变化显示箱詹金斯法比使用结构性能的方法更不敏感， 5.2。 加白噪声后更复杂的指数形式这个过程被描述为n（t）噪声符合正态分布， n（t）=0.0025N（t），t是离散时间t=k*t，其中，t= 0.05，K =1,2,3 .在t = 0.21.15时x（t）的值是已知的。 问题是要进行外推起始采用t = 1.20。函数的exp（-1 /t2）的拐点的出现在t0.816，其

25、中，二次导数改变符号。5.2.1。 使用随机的箱詹金斯法来外推在第一例中，外推是严格按照该方法进行根据1。 最后的X（t）的20个值即x（0.2）x（1.15），用于获得随机模型。计算得到以下的公式：根据该公式是必要的，可以得到第一个假设：;原函数x（t）与外推的结果，基于该箱詹金斯方法，见图 5。外推误差见图 6。 5.2.2。 使用结构性能的方法外推我们用第4部分中描述的方法。最后X（t）七个值用近似值值：x(0.85)/x(1.15)。用GDE外推法得到的x的平均值结果发现精度很高：发现平均值的结果近似等于：（2）这是简单的由前及时发现c

26、的值替代（2）的最后一个已知值即，X（1.15），来代替mean（X）。其计算结果我们发现，C = 0.610。因此，我们获得最后结果我们接受这种从点t = 1.15推断近似的计算公式。外推的曲线和外推误差示于图 图5和6，分别为。此外，在t = 2和t = 3的外推误差通过使用箱詹金斯方法和结构特性的方法计算。箱詹金斯方法的误差：et=2 = 27.3; et = 3= 81.5。结构特性的方法的误差：et= 2 = 3.3; et= 3= 12.1。结果用于本比较实施例表明，该误差由给定结构特性的方法，从L= 8是小于该箱詹金斯方法及随着L增加这些错

27、误之间的差异大大。此外，结果获得箱詹金斯法原来是不敏感既改变过程的导数的 X（t）的并且拐点（见上文）。5.3。 美国人口的数学预测我们使用在15中给出的数据。美国人口数据直到1971年被认为是已知的。 该问题是要进行的数学1972年开始以下预测美国人口，并通过与实际的比较测试结果从15的数据。5. 3.1。使用箱詹金斯法随机预测人口的预测在4中给出随机建模。年度统计数据1900年至1971年被用来在这项工作中用于获得时间序列的随机模型，即，总的数据量为72的值。根据这一点，外插式的形式其中l = 1,2,3 .年。初始预测：用x（t0）代替x（t0-1）的（x（

28、t）单位为：亿人）。美国人口曲线和使用箱詹金斯预测结果示于图7.预测误差示于图 8。5.3.2。使用结构性能的方法预测第4节给出符合算法的计算，美国在1966-1971年的人口数据形成函数在预测计算结果（1971）附近和外推结果。（单位为：亿人）。通过由GDE外推的精确结果为：此微分方程的解x（t）如下 带入由原数据x（t）求出的c的值，最后公式为：在这些方程的系数符合极高的精度从1972年的真实人口。预测及误差列于图7和8中。结果对于这样的比较分析例子完全印证了得出的结论：我们的方法箱詹金斯法比的优越性。5.4。 化学过程的温度的数学预测我们使用在文献1为基础给出的数据这

29、个例子。他们被称为 “C系列”。这些数据t=t0= 20分钟的值是已知的。 问题是要进行温度的校准预测过程中，在开始用t=21分钟，并以比较所得到的具有的实际值结果。5.4.1。使用随机箱詹金斯法预测5.4.2。使用结构性能的方法预测L=t-20【min】 C=40最后已知值替代X（t），为例如，X对于t = 20分钟，而不是X（t）的。因此，我们得到最后X = - 10 + 40 EXP（-9.042 X 10-3t）度，1 =叔20 分钟。这种近似可用于预测温该化学过程的perature，从T =21雨。预测及误差列于图。图9和10中。结果用于本比较实施例表明，该误差由下式给出的

30、事实的结构特性的方法，从升10.5分钟，小于该箱詹金斯方法和这些误差之间的差大大增加而增加升。它印证了在前述的实施例中得出的结论本节对结构的优点物业法在箱詹金斯的方法，特别是大型外推时间间隔。这个微分方程的解x（t）的亲duces函数X（t）= - 10 + C EXP（-9.042 X 10-3t）度。结论意见1.在本文中对于一个基本上新方法的时间序列的外推的建议。 其第一卷。 32，第3期，1993年6月第14页298A. Zayezdny，时间序列S. Tiunov /外推差相对于其他要点方法是利用不仅预算外的值的polated时间序列而且，值的导数和它们之间的关系导

31、数。计算结果的比较分析针对上述考虑例子可以让我们得出以下结论。2.时间序列的基础上的外推亲在许多情况下，它们的结构性质提供比可通过以下步骤获得更好的精度传统的方法。它的相对精度提高特别是对于大的时间间隔。这有两个主要的原因：（一）的基础上构造ProperTies（属性）的方法的时间序列（关系在对比的随机方法，例如）使用大量的信息，即他们使用的相关信息的函数和它的导数和它们的关系。（二）随机方法反映要少得多，例如该系列的动态特性，对例如，趋势的急剧变化，其衍生表3-6等，在与该方法相比结构特性。3.外推的结构的基础上时间序列的性质要求其实现在该区域中的数据量相对较小的从该外推法的情况下的点。而不

32、是如此，外推的基础上建设随机模型，需要一个COMparaTively大量的数据，以获得可靠的估计。4.外推的结构的基础上时间序列的性质是比较简单统一和自动化。因此能够显著简化计算亲的框图塞斯施工的基础元素 - 一个dissipant计算器 - 如通过dissipants其他手段状态的函数可被表达。随机的，而不是如此，该方法外推是笨重和复杂计算1，并为不良反应的统一和自动化。不幸的是，有限的空间不允许我们阐述的材料说明有条不紊所提出的结构特性的背景方法完全。诚然，这部分研究的是一个独立的1，因此，该纸是自遏制。但是，我们给了一些额外方法论的解释在附录中。总之，我们可以强调以下几点：在这篇文章中新

33、的外推法是亲构成，其实际效率显示和对获得改进使用一个新的方法元素 - dissipantor - 描述。附录A的方法学基础比较的时间序列的各种方法外推的问题1.声明当然，出现的棘手问题如何估算的定量的效率每个方法通过比较的各种方法时间序列外推。在本附录中，我们将考虑这个问题仅相对于该基于变换函数的方法X（t），它表示一个给定的时间序列，其改造U（T）。所选择的类反 -地层必须满足明显的要求：（1）给定的函数，可以通过它的反式还原形成; 转化的（2）的外推给出比外推更好最终结果的函数。第一个要求并不需要的解释系统蒸发散; 因此，我们应注意第二个要求。很显然，如果的数学结构的转

34、化是更加简单，外推化效果会更好。后者是指最简单的变换为直线，其定义由至多两个参数，也是最好的。从这得出首先它是必要的，用于估计特定方法的有效性包括在给定的类，以确保由意味着转型的选择形式变换的近似的直线或以更简单的曲线1是可能的。 该声明的证明用N-每个函数信号处理第15页A. Zayezdny，S. Tiunov连续导数可以由下式表示其在一条直线上的形式变换，是在一个定理的形式在附录B给出本文。从这一部分的溶液的结论这个问题必须遵循的，当然，由什么是由简化的意思解释数学结构。有必要再引入量化的“简化的数学struc-措施TURE“。一种方法可称为“最好的一个”，如果它简化了math

35、e-更大的权力maTical结构“为同一信息内容。 它是可能的，例如研发到后结合其它比较的具体方法，与符合荷兰国际集团的预算外效率的选择标准插补。这种比较是不可访问的一般的分析形式作为一项规则，必须CAR-仅通过使用例子RIED出来。因此，核心问题是制定quan-简化了数学的TitaTive措施职能结构。这是足以让我们陈建构成，以证明所提出的基础上外推的方法，实现了simplifica-的外推时间的函数结构的灰系列是可能的。2.准则用于估计'简化的函数的数学结构的'从一个给定的函数的过渡X（t）其改造U（T）通过一个结构状况简化在近似的感转变到结构结构直线，或提一次，

36、到一个struc-的简单的函数之一的TURE是基础所考虑的方法。在我们的方法中，generat-荷兰国际集团微分方程（GDES）被接受作为转换。该GDES由表示装置的状态的函数，根据该的“结构性ProperTies（属性）数学工具联系方法“14。让我们考虑的定量测量简化作为参这样，数ETERS所必需的重建时间序列/外推299函数X（t）在其存在的整个间隔。简化/系数由过渡.T从X（t）到U（T）可以写成如下形式PN“其中，N，怒江表示参数号码函数X（t）和U（T）分别。我们应该注意到，在这一点上，该数据REP-怨恨的GDE的初始条件没有包括在的函数的参数数量U（T）因为它们被认为是已知的，并且

37、不重要的是，外插过程本身。现在，让我们解释，通过从过渡X（t）到U（T）参数的数目被减少而不丢失信息。相对函数的观念，的变化，改变的相对速度等，在使用结构特性的方法14。这些概念，用数字或变量来表示，含有较多比初始的概念“每符号信息”函数及其变化。例如，该函数U（T）= 6 = YC（T）/ X（t）=DX / X / DT包含有关的函数信息X（t）本身，其相对变化（DX / X）（t）的也这些相对变化率（DX / X）/ DT）（吨）。因此，该函数的信息内容U（T）比函数的较高X（t）尽管事实U（T）从获得X（t）。该函数化U（T）=（t）是的一简要的表示微分方程（GDE）：YC - （T）

38、×= O.我们总是有可能通过求解GDE从返回U（T）到X（t），考虑到初始条件。很显然，现在的结构是简化是通过使用之间的关系来实现导数。也许这是有利的注意，估计时间序列数学的简化结构也能够使用熵的概念17。第一卷。 32，第3期，1993年6月第16页300A. Zayezdny，时间序列S. Tiunov /外推我们通过给一个完成这样的考虑例如简化数学结构的的函数。3.示例问题是外推时间序列其中经初步处理，可以表象由函数sentedS（T）= 0.4Ë-at COS婴儿床。（A.1）当然，外推器并不知道这依赖性，因此可以认为这个未知的函数是由一个大决定

39、参数的数量。函数（A. 1）可被表示，通过使用的状态的函数，如下的溶液GDE：SC = - 2a3s- TO0 2，（A.2）其中的CO 2 = CO 2 + 2。表达式（A.2）表示的直线仅由两个参数上的相位确定飞机6，CS，即是简单的推断。这是很容易从函数CS（6S）返回函数 S（t）的，因此，完成该溶液的问题。我们可以给出这样的例子在一个伟大的数字。附录B的线性化定理函数每个函数 X（t），其具有N个连续的导数，可以表示为一条直线V = A + BU，其中u，v为状态函数，阻止-仅由给定函数开采 ×（吨）。证明。函数X（t）的可写在多项式形式

40、41;X（T，A）= A，T'。N = 0此函数的一般形式的GDE是F XT，X <NL） .，英镑，; 一_， = 0。（B.1）ñ该GDE包含N + 1的参数一， = 0。一般GDE（B.1）可以被转化成局部和合奏GDES。部分GDE可以通过保留获得在一般的GDE的一个或两个参数和消除休息。这些操作使POS-sible来表示的直线形式的GDE线V = BU，或V = A + BU。乐团GDE可以通过消除得到荷兰国际集团的所有参数; 在这种情况下，a = 0时，B = 1，即，该直线是平分V =的诉妳，表示妳的坐标系统。因此能够

41、概括上述的一GDE，它包含独立的变量t中明确表F X锡，X（NI）.。，X; 一，  吨 = 0。时间t可以消除作为一个参数; 的当然，时间t被包含在状态的函数，也就是说，在表达式X <“），N = 1，2 . N，在隐形式。对于GDES的合成过程是illus-通过下面的例子trated。例子B.1和B.2对应于同质GDES和B.3 corre-sponds到非均质的GDE。示例1 B.函数 X = A E - '给定; 有两种参数，A和。用于局部和合奏GDES的合成，即，对于不包括一个和两个参数，我们有找到两个导数：Y

42、C = -AA Ë-a'= -斧头，X（O）= A.2 = a2Ae-A'=嘧菌酯， X（0）= A，（0）= - ？AA。我们得到的部分GDE（带有一个参数一）通过组合X和克，）+ AX = O;直线 V（U）是V = -au;V = :,U = X。信号处理第17页A. Zayezdny，时间序列S. Tiunov /外推合奏GDE（不带参数）是K2- = 0X和直线（二等分线）V = U; V = X2，U = 0.2。等式V = u是等同于所述图像给定函数。该GDES也可以通过编写使用状态函数的概念; 在这个例

43、子中，我们有局部GDE，fx- -a;对于乐团GDE，F =修复或f（FX）= 0。因此，该线性方程V = U在这种情况下，是相当于函数x =图像罪（00吨+ 9）。通过使用状态函数的概念上面GDES可以写为如下：对于局部GDE，：X = _00z，对于乐团GDE，肯塔基州=K“X。例如B.2函数x = A罪（00吨+ TP）给出; 有三个参数，A，CO和9。对于部分和合奏GDES合成我们必须找三导数：= A09 COS（00吨+ O），X（0）= A罪页。英镑=-A00 2罪（00吨+ P）= -002x，YC（O）= A类COS TP。=-A00 3COS（OT + P）= -C

44、O2，5（0）= -ato 2罪9。301有一个参数合作的部分GDE可能得到的相结合的x和5：五- = - 00 2'5 + 002x - 0;X直线是不带参数的合奏GDE可能获得通过组合衍生产品：X- = 0;直线是V = U; V = X）; U =）2。例如B.3函数X = A +吃饭要-t（B.2）具有四个参数A，B，a和英尺该函数具有非均匀的GDE：T + FLX = A（A + F）电子时，与条件是a + FL0 B是常数整合。用于局部和合奏GDES的合成，即，排除三个和四个参数中，我们要找到四导数：YC =机管局eat- BFLê-Or，X（

45、O）= A + B.5 =机管局2等+ BFL 2 E- ,X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL。= AA三EC“-Bfl 3 E-T，X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL，5（0）=法2 + 2 BFL。$ C“= AA四E”T + 4 BFLê-at，X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL，2（0）=机管局2 + 2 BFL，英镑（0）=AA 3- BFL 3。第一卷。 32，第3期，1993年6月第18页302A. Zayezdny，时间序列S. Tiunov /外推我们得到的局部GDE（与一个参ETER）结合X，2个，2个和英

46、镑。现在，我们添加了表情 船尾 éAT- 船尾EA = 0到2式的右手侧。因此，我们应当取得需要添加到的右手侧公式中的表达Aflct 2 E AT-BFL 3 C - T-AFLA 2 E AT-BF 3Ë-fit =O.因此，我们得到：C = -fx + A（A + J6）一，即EA，_ 2 +修复A（A + /）（B.3）3 =（AA 3 + 2 AFLA）电子AT-F12。的（B.3）置换成最后一个表达式可以让我们获得我们添加表情AAFeat-的Bf 2E-T- Aafl EA'+ 2的Bf EF / = 0到

47、2式的右手侧。因此，我们获得2 = -f2 +（HA2 + Aafl）Ë的。的（B.3）置换成最后式可以让我们获得2+（FL-一）2- FLX = 0。（B.4）因此，我们得到一种自然的结果，该函数（B.2）具有二阶线性齐GDE。有利的是重写了最后表达表单+（FA）×-'- AF = O。XX- -（B.5）英镑=A2（：C +修复） - F2，F = 2 - A2X“我们代替（B.5）为（B.4）A2 （）2 - 2倍 +一个（ZX- 2）+（2）2 - ：Z = O，一, 2 =（22 - X）+ X /（）× - 22）2 - 4（2）2

48、- 2倍 （2）2 - 9X2 （2）2-2倍 - '，（2：C-：ZX）.4-，J（ZX- 2：C）2-4 （F- 2倍 （2）2- Z= 1,22一（）2 - 2倍。我们表示V =（2 - ZX）4- X / 0X - 22）z的 - 4 - （2）z - 2×（2）2 - ）2U = 2 （2）2-2倍。因此，我们最终得到直线 V（U）是升）=人，2U。（B.6）22V = AF +（A-FL）U;- = V; - = U。XX这GDE也可以通过编写使用状态函数概念：X = AF +（AF）。参数a和FL可以简单地找到通过GDE的合成与应用实验数据。我们也试图获得（B.3）一个简单的形式该GDE的，即v = BU。为了实现这一目标是不带参数的合奏GDE可能通过组合衍生获得的。有必要为此目的添加到“公式中的表达Aa3fl eat- BFL 4 E-T- Aa3f吃-F BF 4电子商务英尺= 0。因此，我们得到“= AA三EA”（A + FL） - F12。