广西钦州市高考数学一模试卷文(含解析)

1、2016年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高考数学一模试卷(文科)一.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1 .复数在复平面上对应的点的坐标是()1D. ( 1 , T )D -¥ S K+l3x - y=0,则点P的坐标为(A. ( 1, 1) B. (-1,1) C. ( - 1, - 1)2 .下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是(A. y=2冈B.尸 1 式/C- 丫=2、+2 x3 .若曲线f (x) =x4 x在点P处的切线平行于直线A. (0, 0) B, (1,0)C. ( 1 , - 3) D. ( -

2、 1, 2)4 .在 ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ avb”是使“ cosA>cosB”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 .函数 f (x) =sin2x - 4sin 3xcosx (xC R)的最小正周期为()JU JT 兀a IT B TC' T"兀6 .已知双曲线 Ar- J=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均和圆C: x2+y2-6x+5=0相切，则吊b2该双曲线离心率等于()7.已知菱形 ABCM边长为2, Z BAD=120，点 E、F分别在边BG DC上，标=入部,D

3、F-5 - / 22= -DC,若 AE?AF=1, ICE ?C二-=，则入+尸( )D.128 .若直线 l : ax+by+1=0 始终平分圆 M： x2+y2+4x+2y+1=0 的周长，贝 U ( a-2) 2+ (b-2) 2 的最小值为()A.诋 B . 5C. 2D. 109 .设b、c表布两条直线，a , 3表布两个平面，则下列命题是真命题的是()A.若 b? a , C / a ,贝U b / C B.若 b? a , b / C,贝U C / aC.若 C/y(x,a_L 3,贝 U C_L 3 D.若 ch a , C_L3,贝 U a _L 310 .已知数列xn满足

4、 xn+3=xn, xn+2=|x n+1 x/ (nC N*),若 Xi=1, x2=a (a< 1, aW0)则数列xn的前2010项的和 险010为(A. 1340 B. 1338)C. 670 D. 66911 .在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量 OA=a，OB =R 其中方=(3，1) , b= (1,3)，若廊=X；|+wg，且0W入1, C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )2212.已知点F是双曲线±7-J=1 (a>0, b>0)的左焦点，点 E是该双曲线的右顶点，过 日 b点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点， ABE是锐

5、角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A. (1, +8)B. (1,2)C. (1, 1/)D. (2, 1啦)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.1 钏14 »1r<正视图恻视图俯视图15 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知b- c=ja, 2sinB=3sinC ,则 cosA 的值为.16 .设函数f(x)二,八、,函数y=ff (x) - 1的零点个数log2x为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .已知数列an的首项ai=5,前n项和为 &,且Sn+i=2a+n+5 (nC

6、M).(I)设bn=an+1 ,求数列bn的通项公式；(n)求数列an的前n项和S.18 .每年春季在北京举行的“中国国际马拉松赛”活动，已经成为最具影响力的全民健身活 动之一，每年的参与人数不断增多.然而也有部分人对该活动的实际效果提出了质疑，对 此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留意见不支持男800450200女100150300(I ) 在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了 45人，求n的值；(n)接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9

7、.2, 9.6,19 7, 9.3, 9.0 , 8.2 ,把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率.20 .如图，已知三棱锥 A- BPC中，API PC, AC! BC, M为AB的中点，D为PB的中点，且 PM时正三角形.(I)求证：BC1平面APC(II)若BC=3 AB=10,求点B到平面DCM勺距离.21 .设椭圆-T+-=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,右顶点为A,上顶点为B.已知 |AB尸慢|FiF2| .(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆

8、经过点 Fi,经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率.21 .已知函数f (x) =ex+e x,其中e是自然对数的底数.(1)证明：f (x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf (x) < e x+nn- 1在(0, +8)上恒成立，求实数 m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在xoC 1 , +°°),使得f (xo) < a (- xo2+3xo)成立.试比较 ea1与ae1的大小，并证明你的结论.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图，在 ABC

9、中，CD是/ ACB的角平分线， ADC的外接圆交 BC于点E, AB=2AC(I )求证：BE=2AD(n)当 AC=3 EC=6时，求AD的长.选彳4-4 :极坐标和参数方程23.已知：直线l的参数方程为2p cos2 0 =1.(t为参数)，曲线C的极坐标方程为:(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.选彳4-5 :不等式选讲24.已知函数 f (x) =log 2 (|x+1|+|x - 2| - m(1)当m=7时，求函数f (x)的定义域；(2)若关于x的不等式f (x) R 2的解集是R,求m的取值范围.- # - / 222016年广西钦州市钦州港经济技术开

10、发区中学高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点的坐标是()1A. ( 1, 1) B. (-1,1) C. ( - 1, - 1)D. ( 1, - 1)【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.【分析】复数分母实数化，再化简即可得到复数对应的点，得到选项.【解答】解：复数11叱)-1 - i ,所以复数13所对应的点的坐标(1,-1)i i "1故选D.2.下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是()A. y=2|x|B.产 1 式什式

11、有)C. y=2x+2 x D 尸【考点】函数奇偶性的性质.【分析】由奇偶性的定义判断.【解答】解：A-f (-x) =f (x) .为偶函数B-. f ( - x) =-f (x) .为奇函数O1- f (-x) =f (x) .为偶函数D定义域是(-1, +8),定义域不关于原点对称既不是奇函数，又不是偶函数.3.若曲线f (x) =x4- x在点P处的切线平彳f于直线 3x-y=0,则点P的坐标为()A. (0, 0)B, (1,0) C. ( 1 , - 3) D. ( - 1, 2)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设P (mi n),求出f (x)的导数，可得切线的斜

12、率，由两直线平行的条件：斜率 相等，解m的方程可得mi进而得到切点 P的坐标.【解答】解：f (x) =x4 x的导数为f' ( x) =4x31,设P(m n),可得曲线在点 P处的切线斜率为4ms-1,由切线平行于直线 3x - y=0,可得4n3- 1=3,4解得 m=1, n=m m=1 1=0.即有 P (1, 0),故选：B.4 .在 ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ avb”是使“ cosA>cosB”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】余弦函数的单调性；充要条件.【分析】根据在(0,兀)上，函

13、数f (x) =cosx为减函数，判断角的大小关系.【解答】解：(1) .a、b分别是角A、B所对的边，且avb, .0v/Av / Bv兀.而在(0,兀)上，函数f (x) =cosx为减函数.cosA> cosB 成立.(2)在(0,兀)上，函数 f (x) =cosx 为减函数，0v/A, / B< 兀,cosA>cosB, / Av Z B,从而 av b.所以前者是后者的充要条件.故选C.5 .函数 f (x) =sin2x - 4sin 3xcosx (xC R)的最小正周期为()A.D.7t-9 - / 22【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法

14、.【分析】利用二倍角公式，可将函数 f (x)的解析式化为得函数的周期.【解答】解：f (x) =sin2x 4sin 3xcosx=sin2x - sin2x?2sin 2x2 、=sin2x 11 - 2sin x)=sin2x?cos2x=-sin4x2.2兀冗故丁=-=-故选C6.已知双曲线-y-=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均和圆C: x2+y2 - 6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于()A.等B. Ac. | D.除【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线 岂=1(a>°，b>°)的两条渐近线

15、均和圆C: x2+y2-6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关 系，从而可求双曲线离心率.【解答】解：双曲线 式彳-上弓=1 (a>0, b>0)的渐近线方程为 丫=±b算，即bx土 ay=0 11 |b2|.圆 C: x2+y2- 6x+5=0 化为标准方程(x - 3) 2+y2=4. C (3, 0),半径为 2r a 2双曲线'彳-二7=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均和圆 C: x2+y2-6x+5=0相切a b9b2=4b2+4a25b2=4a2b2=c2 - a25 （ c2 - a2） =4a29a2

16、=5c2c e=a，双曲线离心率等于 故选：A.DF7 .已知菱形 ABCM边长为2, Z BAD=120，点 E、F分别在边 BG DC上,丁正，若凝国5 ICE ?H=-A.B.C.12【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE?AF=1,求得 4入 +4w 2入科=3 ；再由 |ce?CF=-求得一入一1 +（！= 合求得入+科的值.【解答】解：由题意可得若ae?af=（a5+be）?（而+而）=AB，薪+屈，而嗯，处呷 “近 一一一=2X2Xcos120° +燕口瓦+入而?而+入而？W嬴 2+4厂4入+入=4

17、入+4厂2入厂2=1,科 X 2X 2Xcos120°.4入+4厂2入科=3. CE?C?= - EC?（一箴）=SC 前=（1-入）BC? （1 r） 56=（1 -入）AD?（）屈=（1 入）（1 -科）X 2X2Xcos120° = （1入一科+入科）（-2）= 一即一入一由求得入 +='故答案为:8 .若直线 l : ax+by+1=0 始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，贝 U（ a-2）2+（b-2）2 的最小值为（）A.如 B. 5C.笳。10【考点】圆方程的综合应用.【分析】本题考查的是直线与圆性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定

18、直线必过圆M x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，则不难求出（a, b）表示的点在平面直线直角坐标系中的位 置，分析表达式（a-2） 2+ （b-2） 2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答 案.【解答】解：二直线l: ax+by+1=0始终平分圆 M x2+y2+4x+2y+1=0的周长，直线必过圆 M: x2+y2+4x+2y+1=0的圆心即圆心（-2, - 1）点在直线l : ax+by+1=0上则 2a+b- 1=0则（a-2） 2+ （b-2） 2表示点（2, 2）至直线2a+b- 1=0点的距离的平方=5则其最小值 故选B9 .设b、c表布两条直线，a , 3 表布两个

19、平面，则下列命题是真命题的是（）A.若 b? a , C / a ,贝U b / C B.若 b? a , b / C,贝U C / aC.若 C/y（x,a_L 3,贝 U C_L 3D.若 ch a , C_L3,贝 U a _L 3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，A选项用线线平行的条件进行判断；B选项用线面平行的条件判断；C选项用线面垂直的条件进行判断；D选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：A选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；B选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；C

20、选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内 也可能垂直；D选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直. 故选D* .10 .已知数列xn满足xn+3=xn,xn+2=|x n+1 -xn|（nN）,右x1=1 ,x2=a（ a<1 ,a W 0）则数列xn的前2010项的和S2010为（）A. 1340B. 1338C. 670 D. 669【考点】数列递推式；数列的求和.【分析】由已知求出数列的前 4项，判断数列是周期数列，得到周期，求出一个周期的数值 的和，然后求解数列xn的前2010项的和S2010.【解答】解：因为数列xn满足 x

21、n+3=xn,xn+2=|xn+1 xJ （nCN*）,若Xi=1, x2=a（a< 1, a*0所以X3=|a - 1|=1 - a, X4=X1=1,所以数列是以3为周期的周期数列，并且 Xi+X2+X3=1+1 - a+a=2,所以 S2010=X1+X2+X3+Xn=670（X1+X2+X3）=1340.故选A.11 .在平面直角坐标中，o为坐标原点，设向量6A弓，|o5 二%|，其中二=(3, 1),苫=(1, 3),若沅=入区+dE，且0W入w 1, C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )-11 - / 22【考点】平面向量的综合题.【分析】由斗(3, 1),司=(1

22、, 3),/=入)+通，知砺13%.3H)(3入+W，+ +3(1),由0W入w科w 1, 0< 3入+(iW入+3(iW4,由此能得到正确答案.【解答】解：,响量应；15s=口3= (3, 1)二国二(1,3), =入出|.，=(3 入 + 科，入 +3(1),. 0W入w-1, .0W3 入 + /4,0W入+3/4,且 3 入 +w 入 +3(1 .故选A.12.已知点F是双曲线=1 (a>0, b>0)的左焦点，点 E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A B两点， ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+8)B.(

23、1, 2) C. (1,1+>/2)D.(2,1+V1)【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰ABE中，/ AEB为锐角，可得|AF| < |EF| ,将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围.【解答】解：根据双曲线的对称性，得 ABE中,|AE|=|BE| ,.ABE是锐角三角形，即/ AEB为锐角由此可得 RtAFE中，/ AEF<45° ,得 |AF| V |EF|, |AF|=,|EF|=a+c2 _222< a+c,即 2a2+ac- c2> 0 a两边都除以a2,得e2-e-2v0,

24、解之得-1vev2:双曲线的离心率 e>1该双曲线的离心率 e的取值范围是（1, 2）故选：B二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13.对任意非零实数 a、b,若a?b的运算原理如图所示，则开始【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段娄匚，a阴a>bb函数值，并输出.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 aa+1函数值工9此时 a=3v b=4 ,4-1L =1 v 3故答案为：114. 一个几何体的三视图如图所示(单位:n),则该

25、几何体的体积为mi.恻视图正视图俯视图【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径, 的体积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,代入圆锥与圆柱，几何体的体积 V=tt X 12X 4+X兀X 22X2=4兀20故答案为:现冗居15.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知 b- c=-a, 2sinB=3sinC ,贝U4cosA的值为【考点】余弦定理；正弦定理.由条件利用正弦定理求得3ca=2c, b=一2,再由余弦定理求得22

26、2cosA=''-2bc值.【解答】解：在 ABC中，% ，2sinB=3sinC ,由可得a=2c, b=3"再由余弦定理可得 cosA= .2b=3c ,-17 -/ 22故答案为:16.设函数f（力二21（7<0）1 口窕式,函数y=ff （x） - 1的零点个数为 2【考点】函数的零点；根的存在性及根的个数判断.【分析】根据函数fG）二J严 G<0）lo （¥0）,根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数 y=ff （x） - 1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到 答案.【解答】解：二函数片 （i<0）l

27、o&>0）当XW0时y=ff (x) - 1=f (2X) 1=10吕2 2支1=x 1令 y=ff (x) -1=0, x=1 (舍去)当0VXW 1时y=ff(x) - 1=f (log 双)-1 =。叫" 令 y=ff (x) - 1=0, x=1当x > 1时y=ff(x) 1=f (log 双)1=log 2 (log 2x)1令 y=ff (x) - 1=0, log 2 (logzx) =1贝U log 2x=2, x=4故函数y=ff(x) - 1的零点个数为2个故答案为：2 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列an的

28、首项a1=5,前n项和为 S,且Sn+1=2$+n+5 (nCN) (I)设bn=an+1 ,求数列bn的通项公式；(n)求数列an的前n项和S.【考点】数列的求和.【分析】(I)根据条件，建立方程组即可求出数列bn的通项公式；(n)利用分组求和法或构造法求出数列的前n项和Sn【解答】解：(I)由 S+1=2Sn+n+5 (nCN*)得 Sn=2Sn 1+ (n1) +5 (nCN*, n>2)两式相减得a n+1=2an+1,1- an+1+1=2 (an+1)即 b n+1=2bn (nC N , n>2),又 a2=S2 - Si =Si+1+5=a1 +6=111. b2=

29、a2+1=12, b1=a1+1=6 b2=2b1.数列bn是首项为6,公比为2的等比数列%二8/一1 二 3尹.(n)法一由(I)知"二3眇1,乂* 一 1) .&=a1+a2+-+an=3X2+3X22+3?2n n=3X*-= n=6?2n n 6=3?2n+1 n-6.(n)法二由已知 Sn+1=2S+n+5 (nCN*)设 Sn+1+c (n+1) +d=2 (Sn+cn+d)整理得 S n+1=2Sn+cn+d - c对照、，得 c=1 , d=6,即等价于 Sn+1+ (n+1) +6=2 (S+n+6)数列Sn+n+6是等比数列，首项为 S+1+6=a+1+6

30、=12,公比为q=2. I.Sn=3-2ntl-n-618.每年春季在北京举行的“中国国际马拉松赛”活动，已经成为最具影响力的全民健身活 动之一，每年的参与人数不断增多.然而也有部分人对该活动的实际效果提出了质疑，对 此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示:支持保留意见不支持男800450200女100150300(I ) 在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了 45人，求n的值；(n)接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9.2, 9.6,8.7, 9.3

31、, 9.0 , 8.2 ,把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取 2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差.【分析】(I)由分层抽样性质能求出n的值.(n)总体平均数二04乱2,从这6个分数中任取2个的所有可能取法有15种.由|x - 9.0| <0.5知，当所取的两个分数都在 8.5 , 9.5内时符合题意，共计6种，由此能求出该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【解答】 解：(I)所有参与调查的人数为800+100+450+150+200+300=2000,由分

32、层抽样知：/x 2000 =100 .y uu(H)总体平均数一 6+&升9,3+9.促8.2 a 6从这6个分数中任取2个的所有可能取法为:(9.2,9.6)、(9.2,8.7)、(9.2,8.2)、(9.6,8.7)、(9.6,8.2)、(8.7,9.3)、(9.3,9.0)、(9.3,8.2)、由 |x -9.0| & 0.5 知，(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(9.6,9.3)、(9.6,9.0)、(8.7,9.0)、(8.7,8.2)、(9.0,8.2),共计15种.当所取的两个分数都在8.5 , 9.5内时符合题意,即(9.2 , 8.7 )、( 9.2

33、, 9.3 )、( 9.2 , 9.0 )、(8.7 , 9.3 )、( 8.7 , 9.0 )、( 9.3 , 9.0 )符合，共计6种，所以，该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率p=V=4.15 519.如图，已知三棱锥 A- BPC中，API PC, AC± BC, M为AB的中点，D为PB的中点，且PM时正三角形.(I)求证：BC1平面APC(II)若BC=3 AB=10,求点B到平面DCM勺距离.【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算.【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MDL PB利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得 API PB,由线面

34、垂直的判定定理可得AP，平面PBG即API BC,再由AC± BC结合线面垂直的判定定理可得BC!平面APQ（II）记点 B到平面MDM距离为h,则有 V bc=Vb- mdc.分别求出 M球，取' BC/口 MDC 面积，利用等积法可得答案.【解答】证明：（I）如图，. PM斯正三角形，且D为PB的中点， MDL PB.又 M为AB的中点，D为PB的中点，MD/ AP, API PB.又已知 API PC, PBA PC=P PB, PC?平面 PBC .APL平面 PBG API BC,X / AC! BC, ACO AP=A .BCL平面 APG 解：（n）记点 B到平

35、面MDC勺距离为h,则有VM bckVB-mdc AB=10, MB=PB=5又 BC=3 BC± PG PC=4.,F'F7- -1 £ 在 PBC 中，CD=T-PB=7T,又 MDL DQ ,切-二二T，二U 一:5V32即点B到平面DCM勺距离为12520.设椭圆2 X a2-=1 （a>b>o）的左、右焦点分别为 Fi, F2,右顶点为A,上顶点为B.已知 |AB|二|F同.（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 Fi,经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

36、|F i F2I ,可得【分析】（1）由题意设椭圆右焦点F2的坐标为（c, o）,结合|AB|二 a2+b2=3c2,再结合隐含条件b2=a2-c2得到a, c的关系式，则椭圆的离心率可求;（2）由题意设出椭圆方程为1.设 P （x。，y。）.由 F1 （ c,。），B (0, c),的坐标，利用FP*FB=0得到（xo+c） c+yoc=0,从而得到xo+yo+c=0.再由点P在椭圆上,2 得到. 2c2二1.两式联立得到 3x2o+4cxo=O.根据点P不是椭圆的顶点得到4xo= - c .进R-J再”拿2rc,求出圆的半径r再由直线l与圆相切列式求得 k的值.即点P的坐标为(-【解答】解

37、：（1）设椭圆右焦点 F2的坐标为（c, 0） .由 |AB尸旁|FE| ,可得 a2+b2=3c2.3 1又 b2=a2 - c2,贝U 2a2=4c2,-,/ 2 口椭圆的离心率e=% 2 ;222（2）由（1）知a2=2c2, b2=c2.故椭圆方程为 上二;工7二1.2 J 1设 P O, y” .由 Fi （ c, 0） , B （0, c）,得FJ= （xo+c, yo） , FB= （c, c）.由已知，有 FP*FB=0,即（xo+c） c+y0c=0.又 cw。，故有 xo+yo+c=0.又.点P在椭圆上，由和可得3x2o+4cxo=0.而点P不是椭圆的顶点，故 x°

38、;=-表.代入得-19 -/ 22设圆的圆心为进而圆的半径Ik町 一 y J 由l与圆相切，可得一k=r,即直线l的斜率为4+。五或4-S函.T （xi, yi）,则 xi= 3_+°=一争,yi=3=|'c,22r= J （.工-0） 十（门（一|产十（卷二-仃）2=.设直线l的斜率为k,依题意，直线l的方程为y=kx.,整理得 k2-8k+i=0,解得 k=4±/T5,2i.已知函数f (x) =ex+e x,其中e是自然对数的底数.(i)证明：f (x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf (x) < e x+nn- i在(0, +8)上恒成立，求

39、实数 m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在xo1 ,+8),使得f(xo)< a (- xo2+3xo)成立.试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论.【考点】函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小.【分析】(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f (x)是R上的偶函数；(2)利用参数分离法，将不等式mf (x) < e x+m- 1在(0, +8)上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数 m的取值范围.(3)构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】(1)证明：.f (x) =ex+e x,1. f ( - x) =e x+

40、ex=f (x),2. f (x)是R上的偶函数；(2)解：若关于x的不等式mf (x) < e x+m- 1在(0, +8)上恒成立，即 m (ex +e x T) < e x - 1,.x>0,.ex+e x- 1 >0,已一乂一 1即在(0, +00)上恒成立，一宣 一 11 - t设1=。， (t>1),则 mc-在(1, +oo)上恒成立,当且仅当t=2 ,即 x=ln2t2"什11 - tt - 1't2 - t+L = G - 1-1)+1时等号成立， .me 二； J(3)令 g (x) =ex+e x - a ( x3+3x),

41、贝U g' (x) =ex- e x+3a (x21),当x>1, g' (x) >0,即函数g (x)在1 , +°°)上单调递增,(-x03+3x0)成立,故此时g (x)的最小值g (1) =el-2a,由于存在xoC 1 , +8),使得f (x。)< a为 1 c c故 e+- 2a< 0,e即 a> (e+),2 e令 h (x) =x - ( e T) Inx - 1,则h'由h'当0vxve- 1时，h' ( x) < 0,此时函数单调递减,当x>e- 1时，h' (x

42、) >0,此时函数单调递增,，h (x)在(0, +8)上的最小值为 h (e-1),注意到 h (1) =h (e) =0,当 x (1, e-1) ? (0, e 1)时，h当 xC (e1, e) ? (e1, +°°)时，h1. h (x) < 0,对任意的xC (1, e)成立.aC(/ (e+上)，e) ?1(1, e)时，h(e-1) < h (x) < h (1) =0,(x) v h (e) =0,(a) < 0,即 a 1 v ( e 1) Ina ,从而 ae 1>ea-21 - / 22当a=e时,当 a (e, +00) , e)(e-1, +°°)时，当 a>e 1 时，h (a) > h (e) =0,即 a 1 > (e-1) Ina ,从而 ae 1< ea 1请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选彳4-1 :几何证明选讲22.如图，在 ABC中，CD是/ ACB的角平分线， ADC的外接圆交 BC于点E, AB=2AC(I )求证：BE=2AD(n