广东省高一数学下学期期末试卷(含解析)

1、一、选择题：本大题共 有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R若集合M=01,五2 , N=y|y=cosx , x M,则 Mf N 的关系用韦恩2015-2016学年广东省实验中学高一(下)期末数学试卷12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只1 / 17(Venn)图可以表示为(AU1-D.2.A.B.C.D.3. 是若干人站成一排，其中为互斥事件的是(“甲站排头”与“乙站排头“甲站排头”与“乙站排尾“甲站排头”与“乙不站排头”“甲不站排头”与“乙不站排头”在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段两端点A( )B的距离都大于1m的概率4.1 B B 已知数列C.

2、an是等差数列，且 a1+a7+a13=一兀，则sina 7=(A.5.A.如果关于2 , +00)6.A.7.B.C.D.x的方程2x+1 - a=0有实数根,B.2 C. (-2732 '则a的取值范围是(1 D. ( 0, +8)若数列an满足：a=2就(22) ,则a4等于4一 B.函数fC.D.则y=f (x+1)的图象大致是A.函数f (x)的最小正周期为 2兀兀8 .函数f (x)的图象关于直线对称6兀IC.函数f (x)的图象是由y=2cos2x的图象向左平移二个单位得到6D.函数丁)是奇函数9 .某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是()10 .在数歹Uan中，a

3、i=1,a2=2,且 an+2 an=1+ (1)n (nC N),贝U$00=(A. 2100B. 2600C. 2800D. 310011 .如图已知圆的半径为 10,其内接三角形 ABC的内角A B分别为60°和45° ,现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()E)A.B »167T47UC.D I,12 .已知函数f(y2- 2y),则(t)x2+y2是奇函数且是的最大值是（A. Vs B. 2V2C. 8D.R上的增函数，若x, y满足不等式f （x2-2x） w - f ）12二、填空题：本大题共4小题,13 .若回归直线的斜率的估

4、计值是每小题5分，共20分.1.23,样本点的中心为（4, 5）,则回归直线的方程14.某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比 C产品的样本容量多验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中第1组15 ， 25)10,则C的产品数量是B 2300 230产品类别产品数量（件）样本容量（件）15 .如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和 一个最低分，则剩余分数的方差为4 4 467316 .如图所示，在 ABC中，AD=DB

5、 F在线段CD上，设 研二a，AC =b,应=xafyb,DE1 4则一+的最小值为 V三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .为了推进身体健康知识宣传，有关单位举行了有关知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示:组号分组回答 正确 的人数 5回答正确 的人数占本 组的频率 0.5频率正确直方图第2组25 , 35)a0.9第3组35 , 45)27x第4组45 , 55)90.36第5组55 , 65)30.2(1)分别求出n, a,x的值；(2)请用统计方法估计参与该项知识有奖问答活动的n人的平均年龄(

6、保留一位小数).18 .连掷两次骰子得到点数分别为m和n,记向量1=(m, n),向量E=(1，一 1)(1)记为事件A,求事件A发生的概率；(2)若；与E的夹角为。，记。C (0,)为事件B,求事件B发生的概率.19 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且匚口寺二彳.(I)求 sinSB-Hco 吕21的值；(n)若b=Vs,求 abc面积的最大值.20 .已知数列an的前 n 项和为 Sn,且(a-1) Sn=a (a1) (a>0) ( nC N*).(I)求证数列an是等比数列，并求 an；(n)已知集合 A=x|x 2+aw (a+1) x,问是否存在实

7、数 a,使得对于任意的 门6都有5 A?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.21 .已知二次函数 f (x) =x2-4x+a+3,(1)若函数y=f (x)在-1, 1上存在零点，求实数 a的取值范围；(2)若函数y=f (x) , xCt , 4的值域为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为7 -2t ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由(注：区间 p , q的长度为q-p).22 .已知数列an满足条件：对任意的 nCN*,点(1, n2)在函数f (x)=a1 x+a2x2+a3x3+ +anxn (nCN*)的图象上，g (x) = 2* ,数列bn满足 b13,

8、bn+1=gk+L3. . _ *(bn) , n N ,(1)求数列an与bn的通项公式；试比较f (前与bn的大小(其中ne N*)11 / 172015-2016学年广东省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.nI1.已知全集 U=R若集合 M=0, 1, , N=y|y=cosx , x C M,则 Wf N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】求出集合N判断两个集合元素之间的关系进行判断即可.【解答 解：N=y|y=c

9、osx , xC M=y|y=1 或 y=cos1 或 y=0=0 , 1, cos1, 则 MA N=0, 1,故选：A.2.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙站排尾”C. “甲站排头”与“乙不站排头”D. “甲不站排头”与“乙不站排头”【考点】互斥事件与对立事件.【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断.【解答】 解：根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C D中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A.3.在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段两端点 AB的距离都大于1m的概率A.【考点】几何

10、概型.3,【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为 基本事件的区域长度为 1,代入几何概率公式可求【解答】 解：设“长为3m的线段AB'对应区间0 , 3“与线段两端点 A、B的距离都大于1M为事件A,则满足A的区间为1 , 2根据几何概率的计算公式可得,3-9 1故选：B4.已知数列an是等差数列，且 ai+a7+ai3=-兀，则sina 7=(A.B.C.【考点】 等差数列的通项公式.【分析】由等差数列通项公式求出兀,由此能求出 sina【解答】 解：.数列an是等差数列，且ai+a7+ai3=-兀， . ai+a7+ai3=3a7=一兀,解得兀

11、山二.三 sina 7=sin兀(丁)= sin故选：C.5.如果关于A. 2 , 【考点】 【分析】 【解答】+00)x的方程2x+1 - a=0有实数根,B. (-1,2 C. (2根的存在性及根的个数判断.由方程2x+1-a=0变形为：a=2x+1,则a的取值范围是(1 D. ( 0, +8)利用指数函数的单调性与值域即可得出.-2x+1>0故选：D.解：由方程 ,a>0.2x+1-a=0 变形为：a=2x+1,6.若数列an满足:ai =2上g2),则a4等于()A.B. 1C.a4可求.数列递推式.由数列递推式利用累积法求出数列的通项公式，则解：由ai=2,an- 1(n

12、>2),得an &ri - 1 曰m- 2 a2 注=-aan-1 an- 23 ainfl*4+1 7故选：C.工17 .函数f (x) = ,则y=f (x+1)的图象大致是()JL O S I A v K -k _LTD.【考点】【分析】【解答】将函数f即选B.y=f (x+1)的图象.函数的图象.作出函数f (x)的图象，然后向左平移一个单位即可得到解：函数f (x)的图象如图：(x)向左平移一个单位即可得到y=f (x+1)的图象.8 .已知函数下面四个结论中正确的是()A.函数f (x)的最小正周期为 2兀兀B.函数f (x)的图象关于直线对称冗C.函数f (x)的图

13、象是由y=2cos2x的图象向左平移 工曰个单位得到兀D.函数)是奇函数 6 【考点】函数y=Asin (cox+e)的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇 偶性；余弦函数的对称性.【分析】由f (x) =2cos (2x)可求得周期T=tt ,从而可判断 A的正误； 6 I将篁 4 代入f (x) =2cos(2xf)可得f (看)的值，看是否为最大值或最小值，即 可判断B的正误；I JU IJU7Ty=2cos2x的图象向左平移二个单位得到 y=2cos2 (x+-) =2cos (2x+-),显然 C不663对；JL兀 八f (x+；) =2cos (2x+y) =-2sin

14、x ,可判断 D的正误.62【解答】 解： f (x) =2cos (,故周期T=tt,可排除A;)可得：f (=0w ± 2,故可排除B;)=2coTCJU篁一代入 f (x) =2cos (2x+-6&ir兀JTy=2cos2x的图象向左平移个单位得到 y=2cos2 (x+-:) =2cos (2x+),故可排除663C;JI兀f (x+-) =2cos (2x+：-) =- 2sinx ,显然为奇函数，故 D 正确.62故选D.9.某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是()【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的 作用是利用循

15、环计算 S, k值并车出k,模拟程序的运行过程，即可得到答案.【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k是否继续循环循环前100 0/第一圈100-2° 1是第二圈 100- 20- 212是第六圈 100 - 2° - 21 - 2? - 2 - 24 - 2< 0 6是则输出的结果为7.故选C.10 .在数歹U an中，a1=1, a2=2,且 an+2 an=1+ ( 1) n (nC N),贝U S100=()A. 2100B. 2600C. 2800D. 3100【考点】数列递推式；数列的求和.【分析】由数列递推式得到数列的所有奇数项相等都等于

16、a1,所有偶数项构成以 a2为首项，以2为公差的等差数列，则S。可求.【解答】 解：由an+2-an=1+ (T) ,当 n=1 时，得 a3 a1=0,即 a3=a1；当 n=2 时，得 a4 - a2=2,由此可得，当n为奇数时，an=a1 ；当n为偶数时,tl- 2 S100=a1+a2+a100 =(a1+a3+ ,+a99) + (a2+a4+ ,+a100)=50a1+a 2+ ( a2+2) + ( a2+4) + (a2+98)=50+50a2+ (2+4+98)=150+ =150+50X49 =150+2450=2600.故选：B.11 .如图已知圆的半径为 10,其内接三

17、角形 ABC的内角A B分别为60°和45° ,现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()16冗D |Mj|【考点】几何概型.【分析】根据正弦定理求出相应的边长，利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积，结 合几何概型的概率公式即可得到结论.【解答】解：二圆的半径为10,其内接三角形 ABC的内角A B分别为60°和45° ,，根据正弦定理可知AC _ BCsinB sinA二 2R，即 AC=2RsinB=2X 。乂夸口, BC=2RsinA= x 1。X 亨) . sinC二sin=sin(60° +45° ).

18、ABC 的面积 S=-：F【= 一二25(3+ .-;),则圆的面积为 兀X 102 = 100 71 ,根据几何概型的概率公式可知豆子落在三角形ABC内的概率为故选：B.12 .已知函数f (t)是奇函数且是 R上的增函数，若 x, y满足不等式f (x2-2x) <- f (y2-2y),则x2+y2的最大值是()A. V3 B - 22C. 8 D. 12【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义.【分析】先根据函数的单调性和奇偶性把函数问题转化才二元二次不等式，设点 P的坐标 为(x, y),进而根据不等式的形式判断点 P是以(1, 1)为圆心，6为半径的

19、圆上及以 内的点，进而根据图象可知 心 2+y 2的最大值为圆的直径,进而求得 x2+y2的最大值.【解答】解：.f (x2 2x) < - f (y22y), f (x2 - 2x) < f (- y2+2y),. f (x)是增函数,.x2- 2x< - y2+2y,整理得(x - 1) 2+ (y-1) 2< 2设点P的坐标为(x, y)则点P是以(1, 1)为圆心，爽为半径的圆上及以内的点，而此 圆过原点则2到 2为点p到原点的距离，.圆过原点，丘 2切 2的最大值为圆的直径 2%/2.x2+y2的最大值为8故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

20、.13.若回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4, 5),则回归直线的方程是=1.23x+0.08K【考点】线性回归方程.【分析】由已知中数据中心点坐标，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出值,a可得回归直线方程【解答】解：由条件知，二5，设回归直线方程为尸L23x+a,贝U a=y_ L 23,二0. 0g故回归直线的方程是=1.23x+0.08 y故答案为:=1.23x+0.08 y14.某服装加工厂某月生产 A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看

21、不清楚，统计员记得A产品的样本容量比 C产品的样本容量多10,则C的产品数量是 800 .产品类别ABC产品数量（件）2300样本容量（件）230【考点】分层抽样方法.【分析】在分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，由B产品知比为奇A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,得C产品的样本容量为 80,算出C产品的样本容量，根据 每个个体被抽到的概率，算出产品数.【解答】 解：二.分层抽样是按比抽取，230 I 1I 1由B产品知比为 篇 =* ,共抽取样本容量是 4000X=400,A产品容量比 C产品的样本容量多 10, 400- 230- 2x- 10=0.得C产品的样本容量为 80,，C产

22、品共有80 -r =800,故答案为：80015 .如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和 一个最低分，则剩余分数的方差为-.4 467【考点】茎叶图；极差、方差与标准差.【分析】根据茎叶图知去掉一个最高分和一个最低分以后知选手的得分，根据分数写出求 平均数的公式，解出平均数，再代入方差的公式，得到这组数据的方差.【解答】解：二.由茎叶图知去掉一个最高分和一个最低分以后, 选手的彳#分是84, 84, 84, 86, 87，该选手的平均分是34+84+8H86+87二85该选手的成绩的方差是-5o(1+1+1+1+4)=-515 / 17故答案为:16 .如

23、图所示，在 ABC中，AD=DB F在线段CD上，设标弓,【考点】【分析】向量的线性运算性质及几何意义；基本不等式.可由条件得出AP=2xkD+yAC，进而便可得出 2x+y=1 ,并且x, yC (0, 1),从而便可得出L , 4 _2由 4C2n+y)4 二一 卜一,然后化简，根据基本不等式即可求出原式的最小值.【笆氧性根暨件，一上，T 一 一；. C, F, D三点共线，且AB=2AD；F在线段CD上;2x+y=1 ,且 x, y (0, 1)x y x二一1二.k y产+小；当且仅当即时取“二；的最小值为|6+46.故答案为：6+五叵三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出

24、文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了推进身体健康知识宣传，有关单位举行了有关知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示:组号分组152525)35)回答 正确 的人数 5a回答正确 的人数占本 组的频率0.50.9频率正确直方图第3组35 , 45)27x第4组45 , 55)90.36第5组55 , 65)30.2(1)分别求出n, a,x的值；(2)请用统计方法估计参与该项知识有奖问答活动的 【考点】频率分布直方图.n人的平均年龄(保留一位小数)【分析】(1)由频率表中的数据，求出样本容量 n与数据a、x的值；(2)根据频率分布直方图，计算对应数据

25、的平均值即可.【解答】解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为万卷1=25,再结合频率分布直方图可知 n=100,U. 02 5 X 1 Ja=100x 0.02 x 10X 0.9=18 ,2730=0.9又第三组总人数为 100X 0.03 x 10=30,n人的平均年龄为(2)根据频率分布直方图，得 参与该项知识有奖问答活动的 支=20 X 0.010 X 10+30 X 0.020 X 10+40 X 0.030 X 10+50 X 0.025 X 10+60 X 0.015 X 10=41.5 .18 .连掷两次骰子得到点数分别为m和n,记向量鼻二(m, n),向量E=(1

26、，一 1)(1)记为事件A,求事件A发生的概率； 一 一丸(2)若石与卜的夹角为。，记0 (0,)为事件B,求事件B发生的概率.【考点】几何概型.【分析】(1)根据向量3=(m n),向量b= (1, T),求出a?b=m- n, s用时m=n 算出事件个数，运用古典概率公式求解.(2)。C ( 0, ) , a?b>0,判断出m>n,算出事件个数，运用古典概率公式求解.【解答】 解：(1)二连掷两次骰子得到点数分别为m和n,向量后(m, n),向量吊二(1, T) ,g?b=m- n=0,.总共的事件有36个，符合题意的有6个， P (A)6 1=:36 6'，W?匕0,

27、即 m- n> 0, m> n, m, n C 1总共的事件有36个，符合题意的有15个，6的整数.根据古典概率公式得:15 = L36 = 1219 .在 ABC中，角A, B，C的对边分别为a, b，c,且(1) 求 sinSB-Hco 的值;()若bRl， 求 ABC面积的最大值.【考点】 余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理.【分析】(I)通过C口求出£inB二咚，利用二倍角以及三角形的内角和化简siiiEB+cd s一即可求出它的值；(n)利用b=/，结合余弦定理，求出 a, c的关系，通过基本不等式求出a, c,然后求出三角形的面积最大值.【解答】(

28、本小题满分13分)解：(I)因为所以又看in2B+82.£ 文一B=231113035+cos -二2二二二二：二二一 cosB)2X+.322(II )由已知得,1co so )2ac 4又因为所以又因为 口 +c 二mac+3>2ac,所以ac< 6,当且仅当 "c=«时，ac取得最大值.此时S般斗”室曲乂.片L所以 ABC的面积的最大值为X2.20.已知数列an的前 n 项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)( nC N*).(I)求证数列an是等比数列，并求 an；(n)已知集合 A=x|x 2+aw (a+1) x,问是

29、否存在实数 a,使得对于任意的 门6河都有汶 A?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【考点】数列与函数的综合；数列递推式.【分析】(I)先由条件构造等式(a-1) Sn i=a (an1-1)与已知条件作差求出数列 an 的递推公式，再对数列an的递推公式变形即可证数列 an是等比数列，再代入等比数列的 通项公式即可求出 an；一 一一,、一 . . -. 一 . 、- *(n)先对a分情况讨论分别求出对应的集合A和S,再分别看是否满足对于任意的nCN都有& C A.进而求出a的取值范围.【解答】 解：(I)当 n=1 时，=( a 1) S1=a (a11) ,. aa

30、(a>0)n>2 时，由(a 1) Sn=a (an1) (a>0)得(a1) Sn 1=a (an 1)汽n ' (a 1) an=a (anan-1), 变形得： *- =a (nn2)an -1故an是以21=2为首项，公比为 a的等比数列，an=an (n) ( 1)当 a=1 时，A=1 , Sn=n,只有 n=1 时 SC A, 1. a=1不适合题意(2) a>1 时，A=x|1 wxwa, &=a+a2>a, . S2?A, 即当a>1时，不存在满足条件的实数 a(3)当 0V a< 1 时，A=x|a <x<

31、; 1而 Si=a+a2+ - a n= (1 - m口) a,-)1 _ a1 - a因此对任意的n e N ,要使S e A,只需 0v av 1, 丁41 解得 0V a<-1 - a2综上得实数a的范围是(0,皆.21.已知二次函数 f (x) =x2 - 4x+a+3,(1)若函数y=f (x)在-1, 1上存在零点，求实数 a的取值范围；(2)若函数y=f (x) , xCt , 4的值域为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为7-2t ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由(注：区间 p , q的长度为q-p).【考点】二次函数的性质.【分析】(1)由题意可得-a -

32、 3=x2 - 4x在-1, 1上有解，求得y=x2 - 4x在-1, 1的 最值，即可得到所求 a的范围；(2)对t讨论，分t>2, t=0, 0vtv2, t<0,运用二次函数的单调性，可得最值，结合区间的长度，解方程即可得到所求t的值.【解答】解：(1)函数y=f (x)在-1, 1上存在零点，可得：x2 - 4x+a+3=0 即a 3=x2 - 4x 在-1, 1上有解，由y=x? - 4x在-1, 1上递减，可得最小值为-3,最大值为5.即有3< - a- 3<5,解得8<a<0;(2)函数 y=f (x) , x C t , 4,当t>2时

33、，区间t , 4为增区间，即有函数的值域为t 2 - 4t+a+3 , a+3,由 a+3 (t24t+a+3) =7 - 2t ,解得 t=3+衣(3血舍去)；当t=0时，f (x)在0, 2递减，(2, 4递增，可得最小值为-1,最大值为3.3-(-1) =4W7-2t;当t<0时，f (t) >f (4) , f (x)在t , 4的最小值为a- 1,最大值为f (t) =t2-4t+a+3 ,由 t2 4t+a+3 - a+1=7-2t ,即 t2- 2t - 3=0,解得 t= - 1 (3 舍去)；当0vtv2时，f (t) vf (4) , f (x)在t , 4的最小值为a-1,最大值为f (4)