普通物理学课件：第十讲 电磁学（IV）

1、9-11 电介质中的静电场电介质中的静电场 空间任一点总电场空间任一点总电场EEE0总电场总电场外电场外电场束缚（极化）束缚（极化）电荷电场电荷电场 电介质内电场电介质内电场000 EEE00PE EEe 0eEE 10+ 两板间电势差两板间电势差)1 (0edEdU 充满电介质时的电容为充满电介质时的电容为dSUSUqCe)1 (0 0)1 (Ce 则则er 100)1 (er 电介质内部场强减弱为外场的电介质内部场强减弱为外场的1/ r 这一结论并不这一结论并不普遍成立，但是场强减弱却是比较普遍的。普遍成立，但是场强减弱却是比较普遍的。电介质中的静电场电介质中的静电场介质球放入前电场为一均

2、匀场介质球放入前电场为一均匀场0E电介质中的静电场电介质中的静电场介质球放入后电力线发生弯曲介质球放入后电力线发生弯曲+E电介质中的静电场电介质中的静电场 介质球内的场强介质球内的场强已经在例题中求出为已经在例题中求出为0003ePEEPE 023EEr 03PE E 0E与与方向相反方向相反+靠近球的外部空间，上下区域，靠近球的外部空间，上下区域，合场强减弱；左右区域，合场合场强减弱；左右区域，合场强增强。强增强。电介质中的静电场电介质中的静电场9-12 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移1.1.有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移同时考虑自由电荷和束缚

3、电荷产生的电场同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场SSqq内)(1d00SE总电场总电场束缚电荷束缚电荷自由电荷自由电荷由电荷守恒定律和面上束缚由电荷守恒定律和面上束缚电荷，得面内束缚电荷电荷，得面内束缚电荷高高 斯斯定义：电位移矢量定义：电位移矢量PED0SSq内0dSD有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。于该面包围的自由电荷的代数和。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移 内SSdSqSSPdcosSSPd代入得代入得SSq内00d)(SPE同时描述电场和电介质极化的

4、复合矢量。同时描述电场和电介质极化的复合矢量。 电位移线与电场线电位移线与电场线性质不同。性质不同。 电位移矢量电位移矢量 +电场线电场线电位移线电位移线有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移PED 0EP) 1(0 rEED r0有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面， 求出电位移矢量。求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。）根据电极化强度与电场的关系

5、，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。2. 2. 三矢量之间关系三矢量之间关系PED、三矢量间关系三矢量间关系例例9-30 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半，外筒半径为径为R2，内外筒间充满相对介电常数为，内外筒间充满相对介电常数为 r的油，在的油，在内外筒内外筒间加上电压间加上电压U（外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。（外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。解：解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有柱对称

6、性。电位移矢量均应有柱对称性。设内圆筒单位长度带电为设内圆筒单位长度带电为 ，以，以r为底半径、为底半径、l为高作为高作一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则SSqrlD内02dSD内SqrlD021D有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移10rR122RrRr20rR1R2R由电位移与电场的关系，知由电位移与电场的关系，知E内外筒电势差内外筒电势差12dRRUlE21d20RRrrr120ln2RRr代入得到电场的分布为：代入得到电场的分布为：E沿半径向内沿半径向内有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移10rR 1202rRrRr 2

7、0rR 10rR 1221ln(/)URrRrRR20rR 1R2REP) 1(0r由由得电极化强度矢量的分布得电极化强度矢量的分布P沿半径向内沿半径向内由由得束缚电荷的分布得束缚电荷的分布nP束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移10rR 01221(1)ln(/)rURrRrRR 20rR 01121(1)ln(/)rUrRRRR 02221(1)ln(/)rUrRRRR 1R2R例例9-31 一平板电容器一平板电容器板间为真空时板间为真空时，两极板上所带，两极板上所带电荷的面密度分别为电荷的面密度

8、分别为+ 和和- ，电压，电压U0 = 200V。撤去。撤去充电电源，在板间按图示充以三种介质，介质充电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满充满一半空间，介质一半空间，介质2和和3的厚度相同。求介质表面的束的厚度相同。求介质表面的束缚电荷。（忽略边缘效应）缚电荷。（忽略边缘效应）解：解：1r2r3r忽略边缘效应，板间各忽略边缘效应，板间各处处 、 均垂直于板面均垂直于板面,且在同一介质中相同。且在同一介质中相同。ED 以以 1、 2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密度，度， 表示各介质中的电场和电位移。表示各介质中的电场和电位移。、1E、2E、3

9、E、1D、2D3D1122有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移111r2r3r22电介质中高斯定理电介质中高斯定理侧面下底上底SDSDSDSDddddS下底SDd下底SDSDddS分别考虑三种介质：分别考虑三种介质：SD 1S1介质介质1下底SDSDddSSD 2S2介质介质2下底SDSDddSSD 3S2介质介质323211DDD 在各电介质中作圆柱在各电介质中作圆柱形高斯面，两底面平行于形高斯面，两底面平行于极板，上底在上极板内。极板，上底在上极板内。 侧面、上底面电场电位侧面、上底面电场电位移通量均为零。移通量均为零。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位

10、移可解得可解得32312130224rrrrrrrE32312120324rrrrrrrE323121320122rrrrrrrrE111r2r3r22112233由电场与电位移关系得：由电场与电位移关系得：1011011rrDE2022022rrDE3023033rrDE平衡时导体是等势体平衡时导体是等势体2/2/321dEdEdE电荷守恒电荷守恒SSS2/2/21有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移nEnP) 1(0r由由得束缚电荷的分布得束缚电荷的分布1101) 1(Er3231211322) 1)(2rrrrrrrrr上负下正上负下正2202) 1(Er上负下正上负下

11、正323121232) 14rrrrrrrr（3303) 1(Er上负下正上负下正323121322) 14rrrrrrrr（有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移例题例题9-32 一半径为一半径为R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀浸埋在均匀“无限大无限大”电介质（电容率为电介质（电容率为 ），求球外任一点），求球外任一点P的场的场强及极化电荷分布。强及极化电荷分布。解解: 根据金属球是等势体，而根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高球对称性，用

12、有电介质时的高斯定理来。斯定理来。 如图所示，过如图所示，过P点作一半点作一半径为径为r并与金属球同心的闭合并与金属球同心的闭合球面球面S，由高斯定理知，由高斯定理知RQ0rPS 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移204 rqDrrqD304 所以所以写成矢量式为写成矢量式为024dqrDSD DE , 所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因rrErrqrrqDE 3003044有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移rrqrrqrrqPrrr 144430300030 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介结果表明：带电金属球周围充满均匀

13、无限大电介质后，其场强减弱到真空时的质后，其场强减弱到真空时的1/r倍倍, 可求出电极化强可求出电极化强度为度为neP 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电极化强度电极化强度 与与 有关，是非均匀极化。在电介有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为面在无限远处），其电荷面密度为P r 因为因为 r 1，上式说明，上式说明 恒与恒与q0反号，在交界反号，在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为面

14、处只有电荷和极化电荷的总电荷量为 总电荷量减小到自由电荷量的总电荷量减小到自由电荷量的1/ r倍，这是倍，这是离球离球心心r处处P点的场强点的场强减小到真空时的减小到真空时的1/ r倍的原因。倍的原因。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移0214rrqR 0001rrrqqq 解解 （1 ）设场强分别为）设场强分别为E1 和和E2 ，电位移分别为，电位移分别为D1 和和D2 ，E1和和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高

15、斯定理得自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题例题9-33 平行板电容器两板极的平行板电容器两板极的面积为面积为S，如图所示，两板极之间，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为充有两层电介质，电容率分别为 1 和和 2 ，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2 ，电，电容器两板极上自由电荷面密度为容器两板极上自由电荷面密度为 。求（。求（1）在各层电介质的电）在各层电介质的电位移和场强，（位移和场强，（2）电容器的电容）电容器的电容.+ E1E2D1D2S2S1d1d2AB 1E2 2有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移所以所以21DD 1D2D即在两电介质内，电位

16、移即在两电介质内，电位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于0d211SDSDS SD222111,EDED所以所以121221rrEE 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移 为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介

17、质时的高斯定理，得有电介质时的高斯定理，得 SSDSDS11 再利用再利用222111,EDED可求得可求得0111rE 0222rE 方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移 221122112211ddSqdddEdEVVBA2211 ddSVVqCBA q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的

18、两表面必须都和电的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移9-13 电荷间相互作用能电荷间相互作用能 静电场的能量静电场的能量 电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能转化为其它形式的能量。转化为其它形式的能量。1. 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能1.1 两个点电荷两个点电荷假设假

19、设q1、q2从相距无穷远移至相距为从相距无穷远移至相距为r。 先把先把q1从无限远移至从无限远移至A点，因点，因q2与与A点相距仍然为无点相距仍然为无限，外力做功等于零。限，外力做功等于零。1qA1q2q 再把再把q2从无限远移至从无限远移至B点，外力要克服点，外力要克服q1的电场力的电场力做功，其大小等于系统电势能的增量。做功，其大小等于系统电势能的增量。1qA1q2q)(22 VVqA2qBrV2是是q1在在B点产生的电势，点产生的电势，V是是q1在无限远处的电势。在无限远处的电势。rqV10141 0 V所以所以22VqA rqq21041 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能 同理

20、，先把同理，先把q2从无限远移从无限远移B点，再把点，再把q1移到点，移到点，外力做功为外力做功为1qA1q2q2qBr11VqA rqq21041 V1是是q2在在A点产生的电势。点产生的电势。两种不同的迁移过程，外力做功相等。两种不同的迁移过程，外力做功相等。根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能W。rqqAW21041 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能可改写为可改写为rqqrqqW10220141214121 22112121VqVq 2121iiiVq 两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势

21、能）等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能的代数和的一半。能的代数和的一半。 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能1.2 三个点电荷三个点电荷依次把依次把q1 、q2、 q3从无限远移至所在的位置。从无限远移至所在的位置。A1q把把q1 移至移至A点，外力做功点，外力做功01 A再把再把q2 移至移至B点，外力做功点，外力做功2qB12r1201224rqqA 最后把最后把q3 移至移至C点，外力做功点，外力做功3qC13r23r)44(2302130133rqrqqA 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能三个点电荷组成的系统的相互作

22、用能量（电势能）三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）A1q2qB12r3qC13r23r321AAAW )44(423021301312012rqrqqrqq 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能可改写为可改写为)44()44(21230312012130312021rqrqqrqrqqW )44(230213013rqrqq )(21332211VqVqVq iiiVq 3121V1是是q2和和q3在在q1 所在处产生的电势，余类推。所在处产生的电势，余类推。 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能1.3 多个点电荷多个点电荷 推广至由推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能

23、个点电荷组成的系统，其相互作用能（电势能）为（电势能）为iniiVqW 121Vi是除是除qi外的其它所有电荷在外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。所在处产生的电势。 点电荷间的相互作用能点电荷间的相互作用能2. 电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能 以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元 dV从从无穷远处迁移到物体上，无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为系统的静电能为 VVWd21 是体电荷元处的电势。是体电荷元处的电势。同理，面分布电荷系统的静电能为：同理，面分布电荷系统的静电能为： SSWd21电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能3

24、. 静电场的能量静电场的能量平板电容器的能量平板电容器的能量VESdECUWAB222212121 电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为DEEVWwe21212 任一带电体系的总能量任一带电体系的总能量VDEVwWVVed21d 静电场的能量静电场的能量例题例题9-34如图所示，在一边长为如图所示，在一边长为d的立方体的每的立方体的每个顶点上放有一个点电荷个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个，立方体中心放有一个点电荷点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。求此带电系统的相互作用能量。+2e e e e e e e e e 静电场的能量静电场的

25、能量 静电场的能量静电场的能量解一解一 相邻两顶点间的距离为相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有相邻负电荷的相互作用能量共有12对，即对，即 ；面；面对角线长度为对角线长度为 。6个面上个面上12对对角顶点负电荷间的相互对对角顶点负电荷间的相互作用能量是作用能量是 ；立方体对角线长度为；立方体对角线长度为 ，4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是对对角顶点负电荷间的相互作用能量是 ；立方体中心到每一个顶点的距离是立方体中心到每一个顶点的距离是 ，故中心正电荷，故中心正电荷与与8个负电荷间的相互作用能量是个负电荷间的相互作用能量是de0

26、2412 d2de241202 d32/3d2/34802de 20443ed所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为 dedededeW33234212124122220 解二解二 任一顶点处的电势为任一顶点处的电势为dedededeVi2342)34()24(3)4(30000 静电场的能量静电场的能量 在体心处的电势为在体心处的电势为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为 deV234800 结果与解一相同结果与解一相同. dedededeVeVeWi022220034.03282121241221218 静电场的能量

27、静电场的能量例例9-35 求半径为求半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能。的均匀带电球的静电能。)(430RrRQrE ，)(4130RrrQrE ，rrRQrdVEWRd4422122030020 解一：解一：计算定域在电场中的能量计算定域在电场中的能量球内球内 r 处电场处电场RQrrrQR0222200203d442 静电场的能量静电场的能量解二：解二：计算带电体系的静电能计算带电体系的静电能334rq再聚集再聚集rrrd 这层电荷这层电荷dq，需做功：，需做功：)4(420drrrqdqUdW外外334RQ而而RQdWWR5341200外外所以所以球体是一层层电荷逐渐聚集

28、而成，某一层内已聚集电荷球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷 静电场的能量静电场的能量例题例题9-36 一平行板空气电容器的板极面积为一平行板空气电容器的板极面积为S，间距，间距为为d，用电源充电后两极板上带电分别为，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开。断开电源后再把两极板的距离拉开到电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1）外力克）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为相互吸引力。（空气的电容率取为 0）。）。dSCdSC2,0201 SdQWSdQCQW0220210212212121 ，板极上带电板极上带电 Q时所储的电能为时所储的电能为解解 （1 ）两极板的间距为）两极板的间距为d和和2d时，平行板电容器时，平行板电容器的电容分别为的电容分别为 静电场的能量静电场的能量SdQWWW021221 （2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板时所加外力应等于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以SQdAF022 故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的后电容器中电场能量的增量