大学数学微积分课件：第04讲 第四节、无穷小与无穷大 第五节、极限运算法则

1、苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一1第四讲第四讲 内容内容第四节、无穷小与无穷大第五节、极限运算法则苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一2第四节、无穷小与无穷大苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一3一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.由此定义可知无穷小由此定义可知无穷小和过程有关和过程有关比如：比如：苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一4例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的

2、无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注：注：1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小零是可以作为无穷小的唯一的数的唯一的数.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一52.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx )(lim)(lim00 xAx

3、fxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一6定理定理1 1在应用中的意义在应用中的意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小); 02.( )( ),( ).f xxf xAxAx给出了函数 在 附近的近似表达式误差为苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一73.无穷小的运算法则：无穷小的运算法则：定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小的代数

4、和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小. .仅就如下情形证明：仅就如下情形证明：,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx ,)(0 x苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一8注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一9定理定理 有界函数与

5、无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .证证 000(,)lim0.xxu xUxx设函数在内有界而00,0.MxxuM则存在使当时有0,xx又 是当时的无穷小010.xxM使得当时恒有10,0, 1min , , 取恒有恒有时时则当则当,00 xx uu, 0,.xxu即：时为无穷小苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一10推论推论3 3 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小. .推论推论1 1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 有限个无穷小的乘积也是无穷

6、小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一11二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一12特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注：注： 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必

7、是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一13xxy1sin1 11,0,sin,.xyxx当时是一个无界变量 但不是如无穷大例), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界无界，苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一14.11lim1 xx证明证

8、明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx00:lim( ),( ).xxf xxxyf x 如果则直线是函数的图形的铅直定渐近线义11 xy苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一15三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .定理的意义：定理的意义： 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关都可归结为关于无穷小的讨论

9、于无穷小的讨论.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一16四、小结四、小结1、主要内容、主要内容: 定义定义; 定理定理; 推论推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是无穷小与无穷大是相对于过程相对于过程而言的而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，淆，零是唯一可看作无穷小的常数零是唯一可看作无穷小的常数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日

10、星期一17第五节、极限运算法则第五节、极限运算法则苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一18定理定理3证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得lim( ),lim ( ),(1)lim ( )( );(2)lim ( )( );( )(3)lim,0.( )f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设则其中苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一19)()()(BAxgxf . 0(1).成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA.

11、0(2).成立(3).类似可： 成立证苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一20推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2定理定理4是关于数列极限的运算法则是关于数列极限的运算法则定理定理5就是我们上次讲的保序性就是我们上次讲的保序性苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一210000lim( )( )lim( ) ( ) lim (

12、 )lim( ).xxuaxxuaxaxxaf uAfxxxfxf uA（）设，且在点附近，又，则复合函数当时定理6复合函的极限也存数的极限在，且：运算法则)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 定理定理6 6的意义在于引入新变量，改变极限过程，的意义在于引入新变量，改变极限过程，以简化计算一般称为以简化计算一般称为换元法换元法苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一22求极限方法举例求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim

13、(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一23小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则则商商的的法法则则不不能

14、能应应用用若若 xQ苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一24解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一25解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()

15、1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一26例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一27小结小结: :为非负整数时有为非负

16、整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一28例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一29例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一30例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )