中考数学专题：二次函数中的动点有关的综合问题(解析版)

1、专题28 二次函数中的动点有关的综合问题1、如图，已知抛物线yax24amx+3am2（a、m为参数，且a0，m0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tanACB的值；（3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）B（3m，0）；（2）tanACB；（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或

2、（）【解析】解：（1）令y0，则有ax24amx+3am20，解得：x1m，x23m，m0，A在B的左边，B（3m，0）；（2）如图1，过点A作ADBC，垂足为点D，由（1）可知B（3m，0），则BOC为等腰直角三角形，OCOB3m，BC3m，又ABC45°，DAB45°，ADBD，AB2m，m，CD2m，tanACB；（3）由题意知x2为对称轴，2m2，即m1，在（2）的条件下有（0，3m），3m3am2，解得m，即a1，抛物线的解析式为yx24x+3，当P在对称轴的左边，如图2，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OPPF，易得OMPPNF，

3、OMPN，P（m，m24m+3），则m2+4m32m，解得：m或，P的坐标为（，）或（）；当P在对称轴的右边，如图3，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PNFM，则m2+4m3m2，解得：x或；P的坐标为（）或（）；综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=xax4a<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）若D点坐标为32,254，求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶

4、点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D'，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B'，在平移的过程中，求D'E'的长度；当E'D'B'=90°时，求点B'的坐标.【答案】（1）y=x2+3x+4;C0,4;（2）a=2±213； a1=2213，a2=62213;（3）B'1,0【解析】（1）依题意得：254=32a324解得a=1，抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或

5、y=x2+3x+4C0,4（2）由题意可知Aa,0、B4,0、C0,4a对称轴为直线x=a+42，则Ma+42,aMN/BC，且MN=BC，根据点的平移特征可知Na42,3a则3a=a42aa424，解得：a=2±213（舍去正值）；当BC为对角线时，设Nx,y，根据平行四边形的对角线互相平分可得a+42+x=4a+y=4a，解得x=4a2y=5a，则5a=4a2a4a24解得：a=6±2213a1=2213，a2=62213（3）联立y=2x+134y=x2+3x+4解得：x1=32y1=254(舍去)，x2=12y2=94则DE=25，根据抛物线的平移规律，则平移后的线

6、段D'E'始终等于25设平移后的D'm,2m+134，则E'm2,2m34平移后的抛物线解析式为：y=xm2+2m+134则D'B'：y=12x+n过m,2m+134，y=12x+52m+134，则B'5m+132,0抛物线y=xm2+2m+134过B'5m+132,0解得m1=32，m2=138B1'1,0，B2'138,0（与D'重合，舍去）B'1,03、如图，抛物线yx2+bx+c与直线yx3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（4，5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCx轴

7、于点C，交AB于点D（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1) yx2+x3；(2)见解析.【思路引导】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，PDAO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解【解析】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：yx3，设点P（m，m2+m3），点D（m， m3）（m0

8、），则PD|m2+4m|，PDAO，则当PDOA3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD|m2+4m|3，当m2+4m3时，解得：m2±（舍去正值），即m2+m31，故点P（2，1），当m2+4m3时，解得：m1或3，同理可得：点P（1，）或（3，）；综上，点P（2，1）或(1，）或（3，）【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G（1）求抛物线和直线AC的解析

9、式；（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若CGE和CGO的面积满足SCGE=SCGO，求点E的坐标；（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MNx轴交抛物线对称轴右侧部分于点N试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或【思路引导】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式（2）CGE与CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，

10、故把CGE构造在比较好求的三角形内计算延长GC交x轴于点F，则FGE与FCE的差即为CGE（3）设M的坐标（e，3e3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值【解析】解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，解得，设直线AC的解析式为y=kx+n，将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3直线AC的解析式为：y=3x+3（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GHx轴于点H，G（1,4），GH=4，若SCGE=SCGO，则SCGE

11、=SCGO=，若点E在x轴的正半轴，设直线CG为，将G（1,4）代入得，直线CG的解析式为y=x+3，当y=0时，x=-3，即F(-3,0)E（m,0）EF=m-(-3)=m+3= =，解得：m=1E的坐标为（1,0）若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，EF=-3-m=1-(-3)=4m=-7，即E（-7,0）综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e,3e+3），e-1，则，如图2，若MPN=90°，PM=PN，过点M作M

12、Qx轴于点Q，过N作NRx轴于点R，MNx轴MQNR3e3RtMQPRtNRP（HL）PQPR，MPQNPR45°MQPQPRNR3e3xNxM3e33e37e6，即N（7e6，3e3）N在抛物线上（7e6）22（7e6）33e3，解得：（舍去），APt，OPt1，OPOQPQt1e3e3t4e4，如图3，若PMN90°，PMMN，MNPM3e3xNxM3e34e3，即N（4e3，3e3）（4e3）22（4e3）33e3解得：e11（舍去），e2，tAPe（1），如图4，若PNM90°，PNMN， MNPN3e3，N（4e3，3e3）解得：etAPOAOP14e3

13、综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或【方法总结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算5、如图，已知直线AB与抛物线C：yax2+2x+c相交于点A(1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标【答案】(1) yx2+2x+3；(2) MAB的面积最大值是，M(，)【解析】

14、(1)由题意把点(1，0)、(2，3)代入yax2+2x+c，得，解得，此抛物线C函数表达式为：yx2+2x+3；(2)如图，过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，将点(1，0)、(2，3)代入ykx+b中，得，解得，yABx+1，设点M(x，x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MKx2+2x+3(x+1)x2+x+2，SMABSAMK+SBMKMK(xMxA)+ MK(xBxM)MK(xBxA)×(-x2+x+2)×3，当x时，SMAB最大=，此时，MAB的面积最大值是，M(，)6、如图，直线y34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y34x2+bx

15、+c经过点A，B点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N（1）填空：点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；求出使BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积【答案】（1）（0，3），y34x294x3；（2）是3，3或119；（3）6或6+62或626【解析】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y34x+a， 解得：a3，则：直线表达式为：y34x3，令x0，则：y

16、3，则点B坐标为（0，3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b30，解得：b94，故抛物线的解析式为：y34x294x3，（2）M（m，0）在线段OA上，且MNx轴，点P（m，34m3），N（m，34m294m3），PN34m3（34m294m3）34（m2）2+3，a340，抛物线开口向下，当m2时，PN有最大值是3，当BNP90°时，点N的纵坐标为3，把y3代入抛物线的表达式得：334m294m3，解得：m3或0（舍去m0），m3；当NBP90°时，BNAB，两直线垂直，其k值相乘为1，设：直线BN的表达

17、式为：y43x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n3，则：直线BN的表达式为：y43x3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m119或0（舍去m0），当BPN90°时，不合题意舍去，故：使BPN为直角三角形时m的值为3或43；（3）OA4，OB3，在RtAOB中，tan43，则：cos35，sin45，PMy轴，BPNABO，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n34m294m3，过点N作

18、AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y34x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y34x+（n34m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x212x12+3m4n0，1443×4×（12+3m4n）0，将n34m294m3代入上式并整理得：m24m+40，解得：m2，则点N的坐标为（2，92），则：点P坐标为（2，32），则：PN3，OB3，PNOB，四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N、N，直线ON的表达式为：y34x，将该表达式与二次函数表达式联立并

19、整理得：x24x40，解得：x2±22，则点N、N的横坐标分别为2+22，222，作NHAB交直线AB于点H，则hNHNPsin125，作NPx轴，交x轴于点P，则：ONP，ONOP'sin54（2+22），S四边形OBPNBPh52×1256，则：S四边形OBPNSOPN+SOBP6+62，同理：S四边形OBNP626，故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+62或6267、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点

20、P在点Q的左侧）若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1）1；（2）（3）【解析】解：（1） 经过点，将点的坐标代入 ，即 ，得直线 与抛物线 的对称轴交于点 ，将点代入，得 (2)抛物线 的对称轴为， ，即 抛物线的顶点坐标为 (3)当时，如图，若拋物线过点 ，则 结合函数图象可得 当时，不符合题意综上所述，的取值范围是8、如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以

21、每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接PQ（1）填空：b ，c ；（2）在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且AOM的面积与AOC的面积相等，求出点M的坐标。【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【思路引导】(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当APQ是直角三角形时，

22、则APQ90°，从而得出AOCAPQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，m2+m+4），再根据AOM的面积与AOC的面积相等，从而得出m2+m+4=，解方程即可【解析】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x+3）（x4）将a代入得：yx2+x+4，b，c4（2）在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形理由如下：在点P、Q运动过程中，PAQ、PQA始终为锐角，当APQ是直角三角形时，则APQ90°将x0代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4）点A的坐标为（3，0），在RtAOC中，依据勾股定理得：AC5，APOQt，AQ=3+t，O

23、ACPAQ，APQAOCAOCAPQAP:AO=AQ:AC= t=4.5由题意可知：0t4，t4.5不合题意，即APQ不可能是直角三角形(3 )设点M的坐标为（m，m2+m+4）AOM的面积与AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4） m2+m+4=当m2+m+4=-4时，解得：m=或,当m2+m+4=4时，解得：m=1或0当m=0时，与C重合，m=或或1 M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【方法总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键9、如图，关于x的二次函

24、数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1

25、秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当PB=PC时，OP=OB=3，P3（0，-3）；当BP=BC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（

26、0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=×（2t）×2t=t2+2t=（t1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒

27、时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），见解析.【解析】解：（1）在抛物线上代入得c=x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，顶点横坐标,又A（-3，0）在抛物线上，9a3b+=0由以上二式得;（2）由（1）,B（1，0），连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点设t秒后有,设P（x，y），B（1，0）O1为P、B的中点可得，即,A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代

28、入得t=,即；（3）假设成立；若有ACBQNB，则有ABC=QBN，Q点在x轴上，ACQN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，则ACB不与QNB相似若有ACBQBN，则有设，则，代入（1）得，或，当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；当y=有Q（-1，）则，存在点Q（-1，）使ACBQBN综上可得：Q（-1，）.11、已知，如图1，二次函数yax2+2ax3a（a0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：ykx+3对称（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BDAC交直线l于D点，M、N分

29、别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值【答案】(1) 点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y33x+3;(2) 二次函数解析式为：y32x23x+332；(3)8.【解析】解：（1）yax2+2ax3a，令y0，则x1或3，即点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0），点A坐标代入ykx+3得：03k+3，解得：k=33, 即直线l的表达式为：y=33x+3.，同理可得直线AC的表达式为： y=3x+33.直线BD的表达式为：y=3x3.，联立并解得：x3，在点D的坐标为（3，23）；（2）设点C的坐标为（1，m），点C、B

30、关于过点A的直线l：ykx+3对称得AC2AB2，即：（3+1）2+m216，解得：m=±23（舍去负值），点C（1，23），将点C的坐标代入二次函数并解得：a=32. 故二次函数解析式为： y=32x23x+332； （3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值MB+MD的最小值BQ，DQAC，ACBD，QDB90°，作DFx轴交于点F，DFADsinDAF=43×12=23, B、C关于直线l对称，即直线l是EAF

31、的平分线，EDFD23，则QD43，BD4，BQ=432+42=8. 即CN+NM+MD的最小值为812、如图，点A、C分别是一次函数yx+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数yx2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形（1）求二次函数的表达式；（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒当t为何值时，有PQ丄AC？当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【答案】（1）yx2x3；（2）当t秒时，PQAC，当t时，四边形PDCQ的面积最小，最

32、小面积为【解析】解：（1）当x0，yx+33，则点A（0，3），当y0，x+30，解得x4，则点C（4，0），点B与点C关于原点对称，点B（4，0），BC8，四边形ABCD是平行四边形，ADx轴，ADBC8，D（8，3），将点B（4，0），点D（8，3）代入二次函数yx2+bx+c得，解得，二次函数表达式yx2x3；（2）A（0，3），C（4，0），AC5，当点P运动了t秒时，则APt，CQ 作QHAD于H，如图，HAQOCA，AQHCAO，即，解得QH（5t），S四边形PDCQSACDSAQP38t（5t）t2t+12（t）2+，当t时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为13、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A（1）求该抛物线所对应的