函数方程思想的应用举例

1、精品资源函数方程思想的应用举例函数方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想，也是历年高考的重点。函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学问题。具体来说，即先构造函数， 把给定问题转化为研究辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最 值、极值等）问题，研究后得出所需要的结论。函数方程思想就是将数学问题转化为方程 或方程组问题。通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题 得以解决。函数与方程思想是密切相关的，函数 尸二/（对，当尸口时，就转化为方程 "琦或看作方程o ；而方程=o的解是函数y=f（x）图象与x轴交 点的横坐标。函数与不等式

2、也可以相互转化，对函数 尸丁,当°时，就是不等式 丁°,而求式制的解则可比较尸二&）与x"烈外函数图象位置而得到。一.构造函数思想例i.证明不等式。成 方，色& i）分析：由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确定，即使分类后，当a、b巴产也都为正数时，其商 h也无法与1比大小，思路受阻。再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为e即可联想到函数丁=Z ,就只需证不了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。解：令''在兀W（8 1）上则”工）在（一0°，1）上为增函数则/S） '/，即g7 前7所以点或 b呼。点

3、评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的 有关性质。/=1口力3 j白，厄，苫 如例2.已知j I ，对于值域内的所有实数 m,不等式X。十溜兀十4 - 2那+ 4天恒成立，求x的范围。欢下载精品资源分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数y = # +（幽-4）齐+4 - 2的，于是问题转化为：当 L2 时，尸） 口恒成立，求X范围，但要解决这个问题要用到二次函数 以及二次方程的区间根原理。相当复杂。而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为加+（工一 2尸0,构造函数式=5- 2）掰+/为m的一次函数，在X , 312上恒大于0,这样就非常简单。1

4、e 庶，8 解：因为J d所以 M 1 J即L2 .原不等式可化为 踹5- 2） +工2） > °恒成立，又超所以xw 2 ,令g（询=为m的一次函数，问题转化为 式相）在1 JIitl G f 。.2上恒大于0的问题。,g眇。则只需另> °解得了> 2或工q T产 e Tu（2+g）点评：注意到本题有两个变量 x、m,且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为 m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为 主、变更主元”，重新构造函数。构造方程思想3c=1（外瓦 c eA）例3.已知J3。-b，则有（）A.匚J二 B

5、. ； ：口二C.2次D. 1 -3分析：原式变为 %-岛+5 = U ,则/ 是实系数一元二次方程 cx2-ax±b= 0的一个实根，故A = / 4/之口，故选c点评：通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。例4.已知外氏亡WK ,且+ L鼻+" +白n 1 ,则a的范围为。解：由g+c=1_q平方得上+白斗双二（1 -又产十= I _则3二一白，由此得到启示3 +4与加都可用a表示，故b、c是关于x的一元二次方程1。的两根。故 一一M 口 与 1解得3。点评：当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。三.函数方程统一思想例5.已知三次方程 1- 6升+ （1 用）=0恰有三个相异实根，求实数m的范围方程sb = °的根，即函数 尸图象与x轴交点横坐标，由题意函数"工-64 + （1-昭）应与x轴有三个不同产点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。解：令 ,- 1 一 则1''令“克）=。,得“土点为使A与x轴交于不同的三个点。只须“即 1-4应 <?n < 1+4J2。点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图象特点，特别用导 数法求得极值点，用限制极