理学经济数学微积分PPT课件

1、回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题( )dbaAf xx 一、定积分的元素法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第1页/共59页面积表示为定积分的步骤如下iiixfA )( iix （3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA （4）求极限，得A的精确值iinixfA )(lim10 ( )dbaf xx 第2页/共59页ab xyo)(xfy 提示提示lim( )dAf xx ( )d .baf xx xdxx 面积元素第3页/共59页第4页/共59页元

2、素法的一般步骤：第5页/共59页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。第6页/共59页xyo)(xfy ab二、平面图形的面积xxx 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为 ,d x xx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值记作值记作dA； 如何用元素法分析？dA？第7页/共59页xyo)(xfy abxxx 如何用元素法分析？ xxfA 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为 ,d x xx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量

3、部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 第8页/共59页xyo)(xfy abxxx ddAfxx如何用元素法分析？第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为 ,d x xx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 第9页/共59页xyo)(xfy ab第二步：写出面积表达式。 ( )dbaAf xx xxx 如何用元素法分析？ ddAfxx第10页/共59页xyo)(1xfy )(2xfy abxxx 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为 ,d x xx ，求出，求出相应于这小区间的相应于

4、这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 如何用元素法分析？dA？第11页/共59页xyo)(1xfy )(2xfy abxxx 如何用元素法分析？ 21ddAfxfxx 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为 ,d x xx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 第12页/共59页xyo)(1xfy )(2xfy ab21( )( )dbaAfxfxx xxx 第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？ 21ddAfxfxx 第13页/共59页例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy

5、 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素2d()dAxxx选 为积分变量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 第14页/共59页例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选 为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( x321d(6)dAxxxx,3 , 0)2( x232d(6 )dAxxxx2xy xxy63 第15页/共59页于是所求面积21AA

6、A 0322(6)dAxxxx 3230(6 )dxxxx .12253 积分变量只能选 x 吗？第16页/共59页y( )0yx AabxoAoyxab0 )x(fy( )dbaSxx ( )dbaSxx ( )dcaSxx 2A3Axyab( )yx 1Acd( )ddcxx ( )dbdxx 1.基本型基本型第17页/共59页y0 )y(x Acdxo( )ddcSyy ( )dacSyy y0 )y(x cdxo( )ddcSyy xac)y(x byd( )dbayy ( )ddbyy 第18页/共59页21( )( )dbaSxxx 21( )( )ddcSyyy X-型区域Y-型

7、区域2( )y xxoyab1( )yx2( )xyxycd1( )xyo2.组合型组合型第19页/共59页xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd用元素法分析：用元素法分析：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？ 第20页/共59页( )ddcAyy xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd21( )( )ddcAyyy yyy yyy 选择合适的积分变量：选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？ 第21页/共59页解解两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选 为积分变量y4, 2 y2d4d2yAyy42dAA xy

8、22 4 xy24d2yyy 4232426yyy 18. 第22页/共59页例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积04daAy x 204sin d( cos )btat 2204sindabt t .ab 第23页/共59页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱三、旋转体的体积(volume of body)（1）第24页/共59页圆锥圆台（3）（2）请思考球体、椭球

9、体如何得到？第25页/共59页一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，2d ( ) dVf xx xdxx xyo旋转体的体积为2 ( ) dbaVf xx )(xfy 第26页/共59页yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx xo直线 方程为OP第27页/共5

10、9页2ddrVxxh 圆圆锥锥体体的的体体积积20dhrVxxh hxhr03223 2.3hr yrhPxo第28页/共59页a aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0( a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay 332322 xay,aax 32233daaVaxx .105323a 旋转体的体积第29页/共59页xyo)(yx cd 2ddcVyy 第30页/共59页解解 120 arccosdVyy 012 xyyxarccos ytarccos 设设 220d costt 22200cos2cos dtttt t 202d

11、 sintt 22002sin2sin dttt t 2202 cost 22例例 3 3 求由 20cos, 0, 0 xxyyx所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积. 第31页/共59页补充补充2|( )|dbyaVxf xx 利用这个公式，可知上例中 2222002002202cosd2d sin2 sin2sin d2cos2Vxxxxxxxx xx 园周长为2x|( )|高为f x厚为 dx第32页/共59页例例 4 4 求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解取取积积分分变变量量为为y,4 ,

12、0 y体积元素为22ddVPMQMy22(34)(34) dyyy12 4d ,y y40124dVy y .64 3dyPQM第33页/共59页例例5. 求圆形22(3)4xy绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.yxO312-2解. 所求体积为:2222( ) dyVxyy 2212( ) dxyy 222212( )( )dxyxyy 2222102( )( )dxyxyy 2222202(34)(34) dyyy 220244dyy 2204244arcsin222yyy 224. 2234xy2134xy第34页/共59页xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一

13、定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数d( )d ,VA xx ()d .baVA xx 立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积第35页/共59页例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21

14、)(22 xRxA 立体体积221()tan d2RRVRxx .tan323 R 第36页/共59页例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA 立体体积22dRRVhRxx .212hR 第37页/共59页五、小结定积分的元素法定积分的元素法( )dbaUf xx 平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积

15、平行截面面积已知的立体的体积( )dbaVA xx 2 ( ) dbaVf xx 2 ( ) ddcVyy 21( )( )dbaAfxfxx 第38页/共59页思考题思考题1 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.第39页/共5

16、9页思考题思考题1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS 20( )dxSf xx 120( )dxSxySxyf xx 00( )d2( )d xxf xxxyf xx 03( )d2,xf xxxy 两边同时对 求导x第40页/共59页yxyxf 22)(3yyx 2积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为.223xy 第41页/共59页)(xfy 设函数曲线 y = f (x) 及直线 y = kx + b ,)0(k、11bxky)(1212bbbxky所围成的曲边梯形,

17、 求D绕直线y = kx + b旋转所成立体的体积.,21xx在上有连续导数, D为思考题思考题2第42页/共59页如右图示, bkxyL：NTMMN1xxdxx 2xxy y =f (x)dlD为曲线设),(yxM,)(上任一点xfy 曲线在M点处的切线MT为：)()(xXxfxfY的垂线为：点作直线过bkxyLM)()(1xfxXkYMM：0)( xkfxYkX即即思考题思考题2解答解答第43页/共59页应用定积分的元素法，考虑子区间x, x+dx. 设相应于x, x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl, 则当子区间的长充分小时, 取切线MT上对应于右端点x +dx的点 到垂线 (d

18、,( )( )d )N xx f xfxx MM 的距离为dl, 则21d(d ) ( )( )d ( )1lxxk f xfxxxkf xk 21( )d(0)1kfxxdxk 第44页/共59页而M点到直线L的距离为21)(kbkxxfd从而得22221( ) ( )ddd11kfxf xkxbVdlxkk 223 2 ( ) 1( ) d(1)f xkxbkfxxk 所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为21223 2 ( ) 1( ) d(1)xxVf xkxbkfxxk 第45页/共59页思考题思考题3 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转

19、构构成成旋旋转转体体的的体体积积.第46页/共59页思考题思考题3解答解答xyo 14yxy交点),1 , 4(立体体积21dyVxy 2116dyy 116y.16 1 y第47页/共59页练练 习习 题题！2( )dbafxx 2( )dbaxf xx 202 ax ,. 132/3已知平行截面面积的第48页/共59页二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：xy1 xy 2 x1. 与直线 及解：求 的交点得(1,1),1与yyxx211dSxxx 221ln2xx12ln223ln2.2 2. 与直线 及2yx yx 2 .yx 解：求 的交点得(1,1),2与yxyx 122012d2d

20、Sxxxxxx122320123xxx 求 的交点得(2,4),22与yxyx1811741.2336 1 2 x yO 1 2 x yO第49页/共59页三、 曲线 y = x2与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积S,其中一条切线与曲线相切于点A(a,a2) (a0) ,求 a 为多少时?面积S最小. 解：2 ,2 ,x ayx ya 切线l1: y = 2ax- a2由两切线相互垂直条件,可设切线l2: y = -(2a)-1x+b 2210,122yxxxbayxba 2211:,216lyxaa 2211040,416bbaa 由由判判别别式式，得得214yxxa 且且与与交交于

21、于点点，22122241,118216yaxaallxayxaa 求求 与与 的的交交点点： O x yA第50页/共59页2241222841128411()d(2)d216aaaaaaSxxxxaxaxaa 2241228411841() d() d4aaaaaaxxxaxa 224183341184111()()343aaaaaaxxaa 33221 4111 4138438aaaaaa 322 4138aa 求面积S最小时的a值31143aa 22114(4),Saaa 10,()2Sa 令令负负值值舍舍去去 ，22231111(4)(4)24Saaaaaa 120aS 当a=1/ 2

22、面积S最小.第51页/共59页四、抛物线 y=- -x2+4x- -3 及其在点(0,- -3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：求两切线l1、l2，设其斜率为k1、k2120324,4,2,xxyxkyky 12:43,:26,lyxlyx y 3 2-3O 1 2 3 x切线l1、l2交于3,2x 33222302(43)(43) d( 26)(43) d ,Sxxxxxxxx 33222303d(69)dxxxxx 3333223023933xxxx 9.4 992727927278842 第52页/共59页解：222120(1 cos)dcosd ,aaSssxxx x y

23、 1O a xs1s2五、如图曲线 y=cosx2 与直线 y=1, x=a( ) 所围成图形的面积为s1，与直线 y=0, x=a所围成图形的面积为s2，试问 为何值时S=为最小.02a 两边对a求导数：222d1 coscos12cos,dSaaaa d0,d3令，则Saa (负值不合题意，舍去)222d4 sin0,dSaaa 故当 时S最小。 ,3a 第53页/共59页解： 双曲线 xy=1(y0)与直线 y=2交于 x=1/2.1222120212ddVxxx 六、如图双曲线 xy=1(y0) 与直线 y=2, x=2 所围成图形绕x轴旋转的旋转体体积. y 2O 2 x 2120124 xx 222 7.2 图形绕y轴旋转的旋转体体积怎样求？第54页/共59页解七、求x2+y2=a2绕x =- -b (ba0)旋转所成旋转体的体积 .-b -a O a x y a-a222221 2,xyaxay 2212() d() daayaaVxbyxby 222222()()daaaybayby 22222202()()daaybayby 2208dabayy sin ,dcosd ,00,2yatyatytyat 令令则则且且时时时时22208cosdVbat t 于于是是2204(cos21)da btt 220sin242ta bt 220sin242t