理学自动控制采样控制系统PPT课件

1、 当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大小再进行调节。误差大小再进行调节。 采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。 由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。使采用较大

2、的开环放大系数仍能保持系统稳定。第1页/共67页一、 采样过程 采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程，下图表示采样的基本过程。 第2页/共67页*000( )( )()( ) ()() ()nnne te ttnTe ttnTe nTtnT 采样过程相当于一个脉冲调制过程，其中输入信号e（t）为被调制信号，载波信号 决定采样时刻。即采样开关输出信号 的幅值由e（t）决定，存在的时刻由 决定。( )Tt*( )et( )Tt采样开关的输出信号：第3页/共67页*1()()snEjE sjnT二、 采样定

3、理E*（j）采样信号e*（t）的频谱；E（j）连续信号e（t） 的频谱第4页/共67页 由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条件是： 采样频率s 必须大于或等于采样开关输入连续信号e（t）频谱中最高频率max的2倍，即：香农（Shannon）采样定理 如果 s 1|z|1）第13页/共67页解 因为 代入定义式中，得【例7-2】求 的z 变换( )atf te()anTf nTe122( )1aTaTnaTnF zezezez 11()( )1aTaTaTzZ eF zezze11aTez11( )( )innziipTiiiAAzF sF zspze 利用级数求和公式写成闭合形式，得第14

4、页/共67页【例7-3】已知 ，试求其z变换1( )()F ss sa11 11( )()()F ss saa ssa1( )1atf tea21(1)( )1(1)aTaTaTaTzzzeF za zzea zeze解 将F（s）展开成部分分式形式其对应的时间函数为由例7-1和7-2可得第15页/共67页1*( )( )()ZF zftf nT三、z反变换由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为 z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。1( )*( )ZF zft或表示为即1( )*(

5、 )( )ZF zftf t第16页/共67页对上式用分母去除分子，所得之商按 的升幂排列四、反变换方法四、反变换方法即把式 展开成按升幂排列的幂级数。因为式 的形式通常是两个的多项式之比，即 ( )F z110110( )()mmmmnnnnb zbzbF znma zaza( )F z1z120120( )kkkkkF zcc zc zc zc z最后求得相应采样函数的脉冲序列第17页/共67页例7-8求 的反变换( )(1)(2)zF zzz123456( )037153163F zzzzzzz解：*( )()3 (2 )7 (3 ) 15 (4 )fttTtTtTtT1212( )(1

6、)(2)321 32zzzF zzzzzzz进行长除得到第18页/共67页【例7-9】求 的z反变换0.5( )(1)(0.5)zF zzz( )1110.5F zzzz( )10.5zzF zzz()1 0.5kf kT 解 将 F（z）/z 展开成部分分式为所以则对应函数为第19页/共67页五、用z变换法解差分方程 离散系统的动态过程用建立在差分、差商等概念基础上的差分方程来描述。 差分与连续函数的微分相对应。分为前向差分和后向差分 ()(1) ()y nTy nTy nT()()(1) y nTy nTy nT一阶前向差分一阶后向差分k k阶前向差分k k阶后向差分11()(1) ()k

7、kky nTynTynT11()()(1) kkky nTynTynT第20页/共67页11010() (1) (1) ()() (1) (),()kmc n k Ta c n kTac nTa c nTb r n mTbr nTbr nTm k k阶线形差分方程的一般形式为式中 r（nT）输入量； c（nT）输出量2.2.差分方程 若方程的变量除了含有 本身外，还有 的 各阶差分，则此方程称为差分方程。( )f k( )f k第21页/共67页各阶差分的变换函数 10()( )( )nnkkZ r knzR zr k z例如 ()Z y kz Y zz yzy22201 ()Z y kzY

8、zzy130第22页/共67页(2)3 (1)2 ( )( )y ky ky kr k22( )(0)(1)3( )(0)2 ( )( )z Y zz yzyzY zzyY zR z22(32) ( )11zzzzY zzzz222( )(1)(32)(1)(2)(1)zzY zzzzzzz【例7-16】用z变换法求二阶差分方程初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得将已知条件代入上式，得所以第23页/共67页/6/22 /3( )112zzzY zzzz112()(1)( 1)( 2)623kkky kT ( )1/61/22/3112

9、Y zzzzz所以利用部分分式法求Y（z）的z反变换作Z反变换第24页/共67页7.3 采样控制系统的数学模型 ( )( )( )C zG zR z一、基本概念 与线形连续系统类似，在线形离散系统中，零初始条件下，系统输出信号的z变换与系统输入信号的z变换之比，称为脉冲传递函数或称z传递函数。第25页/共67页 在实际的采样系统中，系统的输出信号常常是在实际的采样系统中，系统的输出信号常常是连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，可以连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在系统的输出端虚设一个同步采样开关，这样输在系统的输出端虚设一个同步采样开关，这样输出为离散信号出为离散信号( )( )

10、( )C zG z R z因为 从物理意义来看，离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的z z变换，即 0kkG zg kT z若系统的输入 ( )r tt则输出信号的z z变换 ( )C zG z第26页/共67页二、 开环系统的脉冲传递函数(a)串联环节之间有采样开关 1212( ) ( )( )( )( )( ) ( )X zG z R zC zG z X zG z G z R z1、串联环节的脉冲传递函数12( )( )( )( )( )C zG zG z G zR z第27页/共67页(b) 串联环节之间无采样开关1212( )( )( )( )( )( )C zG z

11、Z G s G sGG zR z)()()()()(212121zGzGzGGsGsGZ注意第28页/共67页11( )G ssa21( )G ssb1211( )( )( )1()()()()aTbTaTbTaTbTG zZ G s G sZsa s bzzz eeb a zezeb a zeze12211( )( )( )()()aTbTaTbTG zG z G zZZsasbzzzzezezeze【例7-11】设在前图中求系统的脉冲传递函数。图（a）图（b）通过以上分析，可见G1（z）G2（z）G1G2（z）第29页/共67页1Tses1(1)s s*( )c t( )c t*( )r

12、t( )r t例7-127-12试求下列开环系统的脉冲传递函数 122211111( )(1)(1)1111(1)11(1)1 (1)(1)TsTTTTTTeG zZzZss sssszTzzzTzzzzzezzeTezTezeze 第30页/共67页2 2、并联环节的脉冲传递函数 并联环节的等效 2( )G s1( )G s*( )c t( )r t*( )r t1( )r t2( )r t3( )r t3( )r t3( )r t3( )r t1( )r t2( )r t2( )r t1( )r t1( )r t2( )r t12( )( )( )( )( )C zG zG zG zR z

13、第31页/共67页三、闭环系统的脉冲传递函数1.1.闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法 第32页/共67页例7-137-13 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数( )( )( )1( )C zG zR zGH z( )( ) ( )C zE z G z( )( )( )B zE z GH z( )( )( )E zR zB z第33页/共67页例7-147-14 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数12( )( )( )C zE z G z11( )( )( )E zE z G z21( )( )( )( )E zR zG H z E z1212( )( )( )( )1( )( )G z

14、G zC zR zG z G H z第34页/共67页 将离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续将离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；系统的输出表达式； 表达式中各环节乘积项需逐个决定其表达式中各环节乘积项需逐个决定其“* *”号。号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打该项才能打“* *”号。否则需相乘后才打号。否则需相乘后才打“* *”号。号。 取取Z Z变换，把有变换，把有“* *”号的单项中的号的单项中的s s变换

15、为变换为z z，多项相乘后仅有一个多项相乘后仅有一个“* *”号的其号的其Z Z变换等于各项传变换等于各项传递函数乘积的递函数乘积的Z Z变换。变换。 2.闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法 第35页/共67页RCG1H1H3H2C*例7-15系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 解：显然该系统可解：显然该系统可用简易法计算。去用简易法计算。去掉采样开关后，连掉采样开关后，连续系统的输出表达续系统的输出表达式为：式为： 111123( ) ( )( )1( )( )( )( )( )G s R sC sG s H sG s Hs H s对上式进行脉冲变换（加“* *”） 111123*( )

16、*( )*( )1( )( ) *( )( )( ) *Gs RsCsG s H sGsHs H s变量置换得 111123( ) ( )( )1( )( )( )G z R zC zG H zG z H Hz第36页/共67页( )( )( )( )1( )( )C zG z D zR zGH z D z练习：系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 解：该系统可用简易法计算。连续系统的输出表达式： ( )( )( )( )1( )( )( )G s D sC sR sG s H s D s脉冲变换（加“* *”） *( )( )( )( )1 ( )( )( )G s D sCsR sG s

17、H sD s变量置换得脉冲传递函数第37页/共67页一、系统的暂态响应分析 与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂态响应相似，用态响应相似，用z z变换法分析离散系统的暂态变换法分析离散系统的暂态响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，求出离散系统输出信号求出离散系统输出信号 。 根据输出信号根据输出信号 ，可求出超调，可求出超调量量M Mp p，调节时间，调节时间t ts s等性能指标。等性能指标。7.4 采样系统性能分析 ( )c t( )c t第38页/共67页( )( )( )1( )C zG zR zG z210.38

18、60.264( )(1)(1)(0.368)TsezG zZsszz220.3680.2640.3680.264( )( )0.6320.6321zzzC zR zzzzzz1234567( )0.3681.41.41.1470.8950.802C zzzzzzzz解：系统闭环脉冲传递函数为而由以上两式可得取z反变换得例7-17 二阶系统如图所示，求单位阶跃响应第39页/共67页( )0.368 ()(2 )1.4 (3 )1.4 (4 )1.147 (5 )0.895 (6 )0.802 (7 )c ttTtTtTtTtTtTtT第40页/共67页离散系统的单位阶跃响应 ( )( ) ( )

19、C zG z R z),1/()(zzzR其中01( )1niiizzC zAAzz（Ai为留数） 01()1( )nkiiiC kTAkA120121120121( )( )( )mmmmmnnnnnb zb zb zbzbC zG zR za za za zaza闭环零、极点分布与暂态响应的一般关系第41页/共67页极点 在z平面不同位置时的暂态响应情况（1） i为正实数输出采样信号的暂态分量为当 i1时，ci(k)为发散的指数函数， ik随着k的增加而增加。当 i1时，ci(k)为衰减的指数函数， i距坐标原点越近， ik衰减越快。i01()1( )nkiiiC kTAkA1( )ia

20、kTkiiiiiizc kZAAAez第42页/共67页（2） i为负实数 当k为偶数时， ik为正；当k为奇数时， ik为负.随着k增加， ik符号交替变化，当i 1时，ci(k)为发散振荡；当i 1时，ci(k)为衰减振荡,振荡的角频率为 /T。第43页/共67页（3）有一对共轭复数极点 。 又因为当i 1时，ci(k)为发散振荡函数；当i 1时，ci(k)为衰减振荡函数ii和11*( )kkkkzzCtZAAzz( )iikkjkjkkkiiiiiiiiic kAAAeAe()()( )2cos()iiiikkj kj kiiiiikiiiic kAeAeAk,iijjiiiiAA eA

21、A e第44页/共67页第45页/共67页 在离散系统设计时,应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内,且尽量靠近原点第46页/共67页二、离散系统的稳定性分析二、离散系统的稳定性分析1、线性离散系统稳定的充要条件2、s平面与z平面的映射关系设sj则TsTj Tzeee ，即 s平面的虚轴映射为z平面上为以原点为圆心的单位圆周，为临界稳定区域。01j Tsjze当，第47页/共67页当 时， ，即右半s平面映射为z平面上圆外域，为不稳定区域。当 时， ，即左半s平面映射为z平面上单位圆内域,为稳定区域。01z 01z 第48页/共67页(1)Ks s*( )c t( )c t*( )e t( )

22、r t( )e t例7-18如图所示系统中，设采样周期T=1秒，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。 111TTKzeKG zZs szze开环脉冲传函为 闭环脉冲传函为 ( )(1)( )1( )(1)()(1)TTTG zKzezG zzzeKze第49页/共67页系统的闭环特征方程为(1)()(1)0TTzzeKze21.160.3680zz120.5800.1780.5800.178zjzj ，K=4时解得均在单位圆内，所以系统是稳定的。21.7920.3680zz120.2371.555zz ， K=5时解得因为 在单位圆外，所以系统是不稳定的。 2z第50页/共67页3、劳斯稳定

23、判据在离散系统中的应用 离散系统不能直接使用劳斯稳定判据。需要采用 变换，或称双线性变换，将z平面上单位圆周映射到新坐标系中的虚轴。 分析离散系统的稳定性时，先令 代入离散系统的特征方程进行 变换，再用劳斯判据判其稳定性。双线性变换11zz同时有 11z11z第51页/共67页(0.11)Kss*( )c t( )c t*( )e t( )r t( )e t例7-19 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.1s，试求使系统稳定的K的取值范围。1011( )()(0.11)10()1TKG zZZ KsssszzKzze解：开环脉冲传递函数为第52页/共67页将T=0.1s代入上式可得

24、20.632( )1.3680.368KzG zzz系统的闭环脉冲传递函数为( )( )( )1( )C zG zR zG z系统的特征方程为1+G(z)=0，将G(z)代入上式，整理得 2(0.6321.386)0.3680zKz令 代入上式得211()(0.6321.368)()0.368011K11z第53页/共67页化简后得根据上式写出劳斯表为 2 0.632K 2.736-0.632K 1 1.264 0 2.736-0.632K要使系统稳定，劳斯表中第一列各项系数均要大于零。即 2.736-0.632K0所以 0K4.32使系统稳定K的取值范围为 04.32。20.6321.264

25、(2.7360.632)0KK 比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开关的引入会使系统的稳定性变坏。 第54页/共67页(2)Ks s*( )c t( )c t*( )e t( )r t( )e t练习 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.5s，试求使系统稳定的K的取值范围。08.66K答案第55页/共67页11( )lim( )lim(1) ( )lim(1)1( )sstzzR zee tzE zzGH z三、离散系统的稳态误差设采样系统的结构图如图所示 系统的误差脉冲传递函数为 ( )1( )1( )E zR zGH z1( )( )1( )E zR zGH z由Z变换终

26、值定理得稳态误差为误差信号的z z变换为 第56页/共67页( )1zR zz101psspKKeK，10pssKe ，三种典型输入作用下的稳态误差(1)单位阶跃函数输入r(t)=1(t),稳态误差为11111lim(1)lim1( )11( )1sszzPzezGH zzGH zK式中 为系统的静态位置误差系数1lim( )PzKGH z对于0型系统对于1型及以上系统第57页/共67页2( )(1)TzR zz(2)单位斜坡函数输入r(t)=t，稳态误差为静态速度误差系数21111lim(1)lim1( ) (1)(1) 1( )111lim(1)( )sszzVzTzTzezGH zzzG

27、H zKzGH zT11lim(1)( )VzKzGH zT式中从定义式中可以看出，系统在斜坡输入信号作用下，无差的条件是开环传函中至少要有两个 的极点。1z 第58页/共67页223(1)( )( )22(1)tT z zr tR zz，(3)单位抛物线函数输入稳态误差为系统的静态加速度误差系数2312211(1)lim(1)1( ) 2(1)111lim(1)( )sszazT z zezGH zzKzGH zT2211lim(1)( )azKzGH zT式中系 统 在 抛物 线 函 数输 入 信 号作 用 下 ，无 差 的 条件 是 开 环传 函 中 至少 要 有 三个 的极点。1z 第59页/共67页( )r tt 时21( )2r tt时11PK系统型别0