李庆扬-数值分析第五版习题答案0808培训资料

1、李庆扬-数值分析第五版 第 5 章 习 题 答 案( 201 30 80 8)精品资料复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主兀？哪些方程组可以不选主兀？答：使用咼斯消去法时，在消兀过程中可能出现akk 0的情况，这时消去法无法进行；即时主兀素a：0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行 和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般 选择列主元消去法。2、咼斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？ A要满足什么条件

2、？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上二角矩阵U, 个为下三角矩阵 L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。 A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1 ）不为零。3、楚列斯基分解与 LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU分解的一种，当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定 的算法。5、什么样的线性方程

3、组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性齐次性 三角不等式设x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）nllxlli|Xi|i 1 n1I|X|2（ Xi2）2i 1iixii max i Xi |7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = （ai j ）的三种范数| A| 1, | A| 2,.11 All II All 1与II All 2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162,需要满足四个条件。 正定条件齐次条件 三角不等式相容条件 矩阵的算子

4、范数有IIAIIiIIAII2 l|A|从定义可知，|A 11l更容易计算。&什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数 cond(A)v 当cond(A)1时，方程是病态的。A 1 A v ( v 1,2,)为矩阵A的条件数9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？(1 )矩阵行列式的值很小。(2 )矩阵的范数小。(3 )矩阵的范数大。(4) 矩阵的条件数小。(5) 矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有(1 )、( 2) 注：矩阵的条件数小说明 A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：(1 )只要矩阵A非奇异，

5、则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组 Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为 0,导致无法计算结果。(2 )对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。(3) 一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。(4) 如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。答：正确。解释：若 A|b与A的秩相同，贝U A有唯一解。若不同，则 A无解。(5) 如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。(6) 范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。(7) 奇异矩阵的范数- -定是零。 答：错误，|?可以不为0。(8) 如果矩阵对称，则| A| 1 = | A| *。答：

6、根据范数的定义，正确。(9) 如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。(10 )在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也 很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11) | A | 1 = | At| *。 答：根据范数的定义，正确。(12 )若A是n n的非奇异矩阵，则1cond(A) cond(A )。答：正确。A是n n的非奇异矩阵，则 A存在逆矩阵。cond(A) |a|?|a根据条件数的定义有：|cond(A 1) A1? (A1)1 A1 ?|AI |A|? A1仅供学习与交流，如有

7、侵权请联系网站删除 谢谢4精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7习题T3ii 3i1、设A是对称阵且an 0,经过高斯消去法一步后，A约化为 ii i0A2称矩阵。 证明：设对称矩阵ai1ai2ai nai2a22an2，则经过1次高斯校区法后，有Aaii0ai2ai2 a22ai2aii.a n.an2ain ai2 aiiainain0a2n2.annai2aiiaiiaia2ain0a22坐a62an2ai2ai naiiaii0an24nai2 .ann4 na nanaii所以 aiai2.an2】ai2 _ai2 _a22ai2.an2ainanaiiA.an2aia

8、c«2ann如qnaiiaii所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A (aj ) n，其中A (a)n,A(aj )ni ；证明：(i)A的对角兀素aH0 (ii,2,llln) ；(2) A2是对称正定矩阵；(i)依次取 Xi(0,0,0,i,0,i0)T, ii,2, ,n，则因为A是对称正定矩阵，所以有aHxT Ax 0。(2)A2中的元素满足a(2)Ujajaii ai jJ(i, j 2,3,n)，又因为A是对称正定aiiaina2nann矩阵，满足aij aji, i, j即A是对称矩阵。1,2, ,n，所以 a(2)aj3il ai

9、 jaiiaii a jiaji aii(2) ajiLk和单位阵I相3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第 k列对角元以下元素外, 同），即1Lk求证当i, j 矩阵。imk i,kiik时，LkIijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Ij为初等置换4、 试推导矩阵 A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角 矩阵。本题不推导。参见书上例题。Pi47页。5、设Ux d，其中U为三角矩阵。（i ）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组 Ux d的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求 u i的计算公式本题考查

10、求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算_n-i,T时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称正定矩阵，则 A i也是对称正定矩阵（2） 如果A是对称正定矩阵，则 A可以唯一地写成 A LL，其中L是具有正对角元的 下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组i2xi 3x2 3x3 i5i8xi 3x2 x3i5XiX2X36并求出系数矩阵A的行列式的值i233Ai8 3iiiii233i5A|bi83ii5iii6使用列主元消去法，有123315A|b1831151116183115123315111618311570153717310

11、61861831157173106186701531831157173106186666600217A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=3&用直接二角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解111_x1_X2X39456111_X2_X3834512 X1X22x38本题考查LU分解。解：111456A 111A3451122精品资料10 0L110311121114561113U06090957005409、用追赶法解三对角方程组Axb，其中210 0 01121 0 00A012 1 0，b0。001 2 10000 1 20解：追赶法实际为LU分解的特殊

12、形式。设U为、单位上三角矩阵。有（1）计算i的递推公式1G /bi1/ 20.52c2 / (b2a21）1/ (2(1)(0.5)2/33C3/ (b3a32)1/ (2(1)(2/3)3/44C4 / (b4a43)1/ (2(1)(3/4)4/5（2）解 Ly=fy1f1 / bi1/2y2(f2a2y1)/(da2 1)(0(1)(1/2)/(2(1)(0.5)1/ 3y3(f3a3 y2)/(b3a3 2)(0(1)(1/3)/(2(1)(2/3)1/ 4y4(f4a4y3)/a4 3)(0(1)(1/4)/(2(1)(3/4)1/5y5(f5a5y4)/(b5a5 4)(0(1)(

13、1/5)/(2(1)(4/5)1/ 6（3）解UX=yX5y51/ 6X4y44X51/5(4/5) 1/61/3X3y33X41/4(3/4) 1/31/ 2X2y22X31/3(2/3) 1/ 22/3X1y1X22 (1/2) 2/35/610、用改进的平方根法解方程组21 1 X,412 3 x2513 1x36本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710723X1, X2 , X3。99911、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。1 2 31 1112 6A 2 4 1 , B2 21 ,C 25 15。

14、4 6 73 31615 46LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或LDU可分解条件也相U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行 LU分解，但反之则不然。解：-10，所以A不能直接分解为0,所以B不能分解为三角阵1,所以C能够分解为三角阵因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0， 三角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0， 的乘积。因为C的一、二、三阶顺序主

15、子式分别为1, 5,的乘积，并且分解是唯一的12、设0.6 0.50.1 0.3计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。A A的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数 0.842613、求证:（a）|x|x|Ln|x| ；（b）十 Af |A2 Af。Xpii pj。试证明ii xi根据定义求证。IXIImax Xix|LnXi1 i n i 11 iiii21 n 2-IIAIIfajnn i,j 1

16、l|A22max( A A)14、设P Rn n且非奇异，又设n maxki nix 。|x为Rn上一向量范数，定义是Rn上向量的一种范数。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10精品资料0，根据向量范数的疋义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然旳p 鬥| 0，网p|PCX| |c|Px| |c|X|p、II |PX1| |PX2| |xp 卜罷，从而 | X|p 是 R卜1 X2 p |P(Xi X2) |PXi上向量的一种范数。Px2X215、设A Rn n为对称正定，定义1|x|a (Ax,x)2 ,试证明|x A是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明

17、：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。1显然 |XIA (Ax,x)2 JxtAx 01 1Cx A (Acx,cx)2c2(xT Ax) c(Ax,x)2 c x A1 X X2|A (A(X1 X2),(X1 X2)2 V(X1 X2)tA(X1 X2) X1T AX1 ，X2TAX2X1 |a |X216、设A为非奇异矩阵，求证.IIavII m.n因为A 1|a 1X maxj- x0 xmaxx 0AA 1x|y。ymax0將.11 aV|，11min-y 0 INI仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11min AAyy 0 Ivl所以得证1IT17、矩阵第一行乘以一

18、数，成为A 2，证明当时，cond (A)有最小1 13值。本题考查条件数的计算cond(A) A 1 I |a|首先计算A的逆阵11A1丄2llAll2|322|3I |32当3，取得最小值为A| 1-2I II，当1取值越大，则最小值为 22精品资料1从而 cond(A)|A|A( 2) max 3| |,2 ,又当-时，31 I3cond(A)(丄 2) max 3 1,2 (工 2) 2 7。22 当-时，37。2C31 I1cond(A)(一 2) max 3| |,2 (一 2) 3| | 3 62 综上所述，con d(A) 7时最小，这时|,即318、设 A 100"

19、，计算 A 的条件数 cond(A)v (v 2,99 98由 A 1009999可知，A198989999，从而100(A1)t(a1)98999899194051960299100 9910019602 19801(A1)t(A1)194051960219602ata100 99100991980199 9899981960219801I 1960219405 ，239206AtA19801196021960219405239206可得A2 A1|A HJIA2199， a|199，从而 cond(A)con d(A)212<19603 v 384277608，从而196033842776