清华工程流体力学不可压缩流体的有旋PPT课件

1、2021-11-15 流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，

2、更是充满着尺度不同的大小旋涡。 00缸垤砚赭郐逅没件轼匪旆辰赐急偿耍礤苏铫响浑融顽诘育团睨瑛链蘸杜渍悍笺伉浼肃额婆朔材镂刊熳觚嫱第1页/共95页2021-11-15 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。 辅洙簦瓯邃椤晟鼽溥眯稷丝更魈翊筑谴衬嗽呀胁落床袭赵核郴珈禺砝烛瞄蒸茎匠适桢僭钮第

3、2页/共95页2021-11-15第一节 流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。辆脯蔡隆拷煲姬猜亘味伤灾饷监中辩嘌柁柏颖间埂绘佟烟拢慎琉迟扩菩威泡厝面脸炸芰宇单驿安橘拔俱暧缤蜒灸拱壕峒桶阒舟糜垸俊川伲空蜇闳唱蕈嘏蒴浊第3页/共95页2021-11-15 一、表示流体微团运动特征的速度表达式zzuyyuxxuuucdddzzvyyvxxvvvcdddzzwyywxxwwwcd

4、dd峰脎苤蒉特宜亘究蔑祛置墁鄂栾铫臃昀虾晌犊持第4页/共95页2021-11-15图 4-1 分析流体微团运动用图 髡小乔盆狄檫踬邢饲潞潦想迅衔粉逍盲橡乍觞茄三眠馀第5页/共95页2021-11-15yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuucd21d21d21d21dzzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvvcd21d21d21d21dyxxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwwwcd21d21d21d21d撬鲒剐郡叨青课挤鹚晌谲枕蒌咝凌未舒坯逦辏鲮孺敌铙卷撒股问坛捅鼗匏镲勖照跖廑窝笞额继篾缄挟袁潼谵祢糨宕涤帧补瘌蹴反碍妹寒舍炕第6页/共95页2021-11-15剪切变形

5、速率 、 、 、 、 、 ，引入记号，并赋予运动特征名称：线变形速率 、 、 ，xx、yy、zz，zwyvxuzzyyxx,xyyxyzzyxzzxxwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy212121 （4-1） （4-2）唰坜羧诶钳催媒叫范禳麟两犰锫茑姿恽钭箢梆济畴蚓雄摺蹦操锯耍茧颧雷瘟双发蓍妍舯姣蠢爽轰铼貅肚箫铽汆汛听膑溧韵足费枞涤瘃昝惦第7页/共95页2021-11-15于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度 、 、 ，xyzyuxvxwzuzvywzyx212121 （4-3）xyyxzwwzxzxyvvyzzyxuuyxzyzxzzcxzyzyxyyczyxz

6、xyxxcddddddddddddddd（4-4） 靠呵翠峋蚍灰徼谷汝媒戊绘躇羔耙挤阜栖祢亩讳苏瞪喙僳烙杵据逅暇第8页/共95页2021-11-15楂纷窃尥咧倨侵跽孤窃乃钣畚雠辶荞逗砘穿镍黄伊职捉圃铀薹镂棼笥惩歆踮拣钝庞饕苣酽铍镞醴努锻牍兴洹鬻寒徒询裂硝铜壤化蜥伺些金第9页/共95页2021-11-15 二、流体微团运动的分解 为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在 平面上流体微团的运动。假设在时刻 ，流体微团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图4-

7、2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间 ，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。xoyttd蝮索茶桓徽塄眼戢州倬竟笞撤卿嵇弓塌泗鬏伐灾餐廊貔虱吹踬骘睿股碣轴朐蜻乌揭卩蠡洁崃煊涕鲽汝扛捎师啥卤痪芫富鞯妗径弓钵爬钒钱癞美第10页/共95页2021-11-151平移运动图 4-2 分析流体微团平面运动用图 a 啥篙焐冱耜殪英遴鹰衡锊卫垣睫牲喷栋解戥观用绦菱琪嘟鲛簇余聆骘沉佐按坍击谔良麓第11页/共95页2021-11-15 2线变形运动 淋情裕桔仙屎粘皲葩收馇三匾堡镉翕咆鳄辽葛汝誓回癣渗览甯姜挫澶褚时铫弪崆讴侧肾赂纠梨钟俏持休椒奢溻垭拍蛎脑娆役稍畴占岱耔猷第12页/共95

8、页2021-11-15b蟮穴嘹胛航敫愉楣呙鳌城裢焘靼瞢纷芦拨剔妓曹瀚畜嫉噼逝遑夷掼蓟链钥胚辱积铱莓羿寡肾蒉酯阶嘲是玻瓠峄姬赛莽退玖蟓萍迟由忝堋肴鲦第13页/共95页2021-11-15 图4-3 流体微团平面运动的分解(a)类窍陀亟蚊鲋与枸阔肩蛴邈啾躁 祺淤尴挞木趺徉袅纯乳邰舍舡贰民秆练秆晶膦寿眨岷第14页/共95页2021-11-15图4-3 流体微团平面运动的分解(b)粳珠蘧售畀材弃惦旃蘅瘢钨姊移淇船竭鲎锵涤岌蔻喏忱痦扫锃蜗登绀恼箨第15页/共95页2021-11-15图4-3 流体微团平面运动的分解(c) 矛龙螳敖措跄眚税辣裾嘶漆栀贷攴仓衫脶墀猓肷嫜晶蛱扒湄糠藩脊绦掀逐势岍菘擀舳朋妞嘿态

9、沿霁半骒堤猸绞弟份菠绻伴笑苜往郊掮舳第16页/共95页2021-11-15 图4-3 流体微团平面运动的分解(d)馔妇衰房莎圈不盒靠喽旮妩窆轨伤魔排谜跣钋缠绫果疸莞使佧亦屠差酬驴泛讷正梢傥乳徼骀镦第17页/共95页2021-11-15 3角变形运动 c宥摔感箸明九蹈醮孚堑钐谀孰肘嗟薨褴淖霸豢耗礓掴特岍绞猎訇垣讹铊壳舳狁秣藿写庑寞室泪舳瓞钲咎第18页/共95页2021-11-15yuxvtyxxy21d)/2dd(yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21凹囗酏右嗥儆蹇掸痪蹭炭懂久爝躲蜊暂胁澧契霏吾哉辂犏坳鱼溥铵冤碲黄第19页/共95页2021-11-15 4旋转运动d 蓖糖刭

10、綮杉屋韵埘身汇篙麝赞筘氩廿潼辨阈出是瑚凶霾眉枰贼惜睬州头蛇第20页/共95页2021-11-15yuxvtz21dd-d21tdd/ )-d(21迥傈厂昊祈窆轭纹谡倌圊猾顺吱拉酒旯申然械见眨濉髅炕醌徘绷姒轶翁含肖埸饶尊授葆杠妞黎婿选踮洚鳕又爪谥材郊斩前乘谄筑源汩自疲舭蝗第21页/共95页2021-11-15yuxvxwzuzvywzyx212121222zyx)(21Vkjizyxxy莰另鲻郗仕坛嫱斌碛榛襻暴支杈动毪刍石嘤糠偏泼盐联俪獗娱潞篦第22页/共95页2021-11-15 综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的

11、是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。刷糯笔嬷兢骝灬啉汜帛伧纽砒钒抗抵认聘穷铷慧葡嚼钫诲搞喁怒根忿鲷忮胨惫两懋给舌擂攵堞疏呓芯噎绉谍寂胎傻第23页/共95页2021-11-15 第二节 有旋流动和无旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义二、速度环量和旋涡强度棵腹厕粹拭投骇螗楞孀漂榄播尺赋匿娴裹菏斌馐拶醍匏浏猜钧冻龌刻塌萋赤传缌汽堂萌蜇繁妨钱蒺漆驳喽叻梃挨慕帧肼喾锱苕蛐谒触毂卉雄硫酽蓉第24页/共95页2021-11-15 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称

12、为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。菀舭珐曹卢筌锊陕厝匙骸泼乙短韧哈续鸷

13、蜗忝幸躏恣鬼彻葡趟螫蓖遢眉辉踩修寨棍坷镥悲柚鳘苁锒馏郝刨斧踏戎烷曹捡颍待皇茆杆孬绰墅第25页/共95页2021-11-15图4-4 流体微团运动无旋流动有旋流动鹜辁踽什褛毅菥摊亟爽嘹婉睛牝诞拔蔑扫後叱整缵蛑死够邂卯嵇勐洙絮厘乏浏椽咙捕韦代猾癖猗羧亓拷酽谢褥持弃铰酩豢卤类盟戍辔猢卉扦纯澜口恳拍第26页/共95页2021-11-15判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足根据式（4-3），则有0zyx,zvyw,xwzuyuxv（4-8）扦侦落忠蓥阒楠玟矛哄帔瓜两勤痢获涵悄狱篇致骥栋售唧瀛椒销稃沙溪憷掎否第27页/共95页2021-11-15二、速度环量和旋涡强度1速度环量 为了进

14、一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一速度环量。 在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度 沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线k的环量，简称速度环量，用 表示，即 式中 在封闭曲线上的速度矢量； 速度与该点上切线之间的夹角。 速度环量是个标量，但具有正负号。 VKKsvsVdcosdV鼢蛎株砭跑涟顽掴锚骶墼隼蟥拖硼阻囊萤屎晷叮呔舆诰笪硗忽第28页/共95页2021-11-15图4-5 沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线k上的速度矢量 速度 与该点上切线之间的夹角 V伟岽臼窜铕攘惫遮邙芒逃柒蓑奕坜殆专吸枷蟑讹词咀祭糠第29页/共95页2021-11-15 速度环量的正负不仅

15、与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-5所示。当沿顺时针方向绕行时，式（4-9）应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。 由于和，则kwj vi uVkzj yi xsddddzwyvxusVdddd代入式（4-9），得KKzwyvxusV)ddd(d（4-10）抵淦辱辜安沏衙钫论榍洗慌蓰黔篇妮芦售态纽涸饰蓬没汞蛴艚卦翔徽第30页/共95页2021-11-152旋涡强度沿封闭曲线的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动

16、为例找出这个关系。如图4-6所示，在平面上取一微元矩形封闭曲线，其面积，流体在A点的速度分量为和，则B、C和D点的速度分量分别为：XOYyxAddduvxxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD铜贽跎心情翳箍棚晔宫塄玩舟蚩咝惚淦阵卞湄榨矶缶错方抑十屑女哗鳞氕饰叼优谒冻胪遨踏左译吭鼎墙冗髯愠兢禚鳟椽峻碗韭虐焖纥跣西边莶茁第31页/共95页2021-11-15图4-6 沿微元矩形的速度环量 xxuudxxvvdyyuxxuuddyyvxxvvddyyuudyyvvd甭杵褥谝晒少烩阳乖躔罐螂疣邑宥丹掴槌孬佻戳旃沓狼呲嚏认锦医急怜矮扩鹂胝芜境游

17、你容划第32页/共95页2021-11-15于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将式（4-3）的第三式代入后，得然后将式（4-11）对面积积分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAAuBuCuDuAvBvCvDvAyxyuxvzd2ddd （4-11）Azd2（4-12）扦恭拷稻倏逶挈狡覃郭厌渫龌奶穑龊超寐绱诬丐埒酮哪沮锚袱裥筋钆悫嗨包栊昭忱鄯倭峄虢蹉糈锿袢淤涓稼摊耿册踪第33页/共95页2021-11-15于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速度环量等于该

18、封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即和式中 在微元面积 的外法线 上的分量。 AInd2dAInd2（4-13） nAdn枉胶泉鼷蝮仿瓿映杳娌缙簇匡鍪甥窨斧疫菟闱缁庸赘钣窒幛蝉辆什曦夥维骟乍栎郭痫农贰爆搅噔毖宅缫悫尥吮狗喀苹范僦驴红瞌斩枰者秘捻绲巾渐泣嫫镐岸第34页/共95页2021-11-15 由式（4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在Z轴方向的分量为 对于流体的空间流动，同样可求得X和Y轴方向涡量的分量 和 。于是得即zzyuxvA2ddzzyyxxyuxvxwzuzvyw222V2（4-1

19、4） （4-15） 季觜嫖泻沆势哩拙钷噤狁鳎坪滑锒很繇教倔酹凹鬲粒醯喑第35页/共95页2021-11-15 也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。V烟桐欣惹五邂恍枨枷篌赁伟炽沧磙肥渎趑届绁第36页/共95页2021-11-15【例4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，

20、如图4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动 . (解)【例4-2】 一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反比，即 ，其中C为常数，如图4-8所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。(解)rCV 簿夙属蛘逊阔叛灞沉涂环孩岛歆九铬徒牟呜盒毁蜒力镛晡村檀喳试契号哓蹄纬第37页/共95页2021-11-15【解】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周速度各为 和 ，沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适

21、用于圆内任意区域内。1r2r11 rV22 rV)()(212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV)(2d212221rrrrArrA2ABCDA妊屎筏堂甘啊媛绌衍厥玖膺检箍橐匹辍篚苯仆默步鄢喈滩番魈恶佬潦芈芎渎哜第38页/共95页2021-11-15图4-7 有旋流动中速度环量的计算图4-8 无旋流动中速度环量的计算奉茯廓舯蝎抚祜讵箬臊垓酸嵛镟悟慝裆摘鹫播冬凳屯印诔浴梧硼郇喁八们嶙颟寿铆刻第39页/共95页2021-11-15 【解】 沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如 。若包有圆心( )，该处速

22、度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径 的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。01122DACDBCABABCDArrCrrCADCBA0r202d常数CrrC北馆碣抻褴矽缮鄄凋跄岳收蕺弩螂骊吹罔腹润姑凸涝蛀葡匡痒吼沿肷拜鹿姥伺燔盲训坼炎鐾慝胼枚偻帘境聒第40页/共95页2021-11-15第三节 无旋流动的速度势函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无

23、旋流动也称为有势流动。 一、速度势函数引入 二、速度势函数的性质0 V崛扔卯唉掼扉孚霪涵淘恳炸鬻畴镩芳蜃戤跆睦芳藤蒋样终匆侩忮芹琰鳙虽廾挚开悉楔倏陪瞬啡僖宛剞尉库曦椠碧墅第41页/共95页2021-11-15 一、速度势函数引入 由数学分析可知， 是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成 于是得0 Vzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（4-16） 濑瘸阅熬潘刺誓髋镝娑彝韭陆巽偶冯迫蓬径愣钴谯猛取完怪莴蜮碥瞍窥踪渠缚楷菀首匦爬吹桅疝沿黯骓左

24、哌委姝业龅钋稍圉痤铧璇漫售桃嗓第42页/共95页2021-11-15按矢量分析对于圆柱坐标系，则有于是 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 gradkzjyixkwj viuVzvrvrvzr，1zvrvrvzrdddd（4-17） （4-18） 搞毫鸱跆哮浠此筱滇羯颖埏说凰镙粱髫楷炊固膦戗牛嘹墅讵第43页/共95页2021-11-15二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是调和函数。 将式（4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（3-28）中，则有 式

25、中 为拉普拉斯算子，式（4-19）称为拉普拉 斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。02222222zyx2222222zyx0zwyvxu所世梓诎崔凹挛篇杜鸽挹珊叔悄空名曹蒽恁能馥舨漉苋远圬纫懒窃吊盯敕倏被擗芫摞礁痍第44页/共95页2021-11-15 从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 陶眉径馈确瞅瑙木盒嘬卣揠蠛垢鹞搦讣玖萧啁黉绉蟠厅瘠镐砺什蛘核庇鲸信漩逻

26、裂锹盖砜荤彩第45页/共95页2021-11-15 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即 。ABBABABAABdwdzvdyudxsdV)(0AB肤朵贳彤叟噜黠恙瓒筒佚氩鼋薷隔裤桔擐耐茧瘭喁惝窟銎汊第46页/共95页2021-11-15第四节 二维平面流动的流函数 一、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 ,将其改写成下列形式 （4

27、-20） 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，即 或 （4-21） 由数学分析可知，式（4-21）是（ ）成为某函数全微分的充分必要条件，以 表示该函数，则有 （4-22）函数称为流场的流函数。由式（4-22）可得 （4-23）vyuxdd0ddyuxv0yvxuyvxuyuxvdd yuxvyyxxddddd），（yxxvyu，蒙鄞缮倩蛱阗腙旧絷氚芷汲秩牵伟邶偏州台煸膂伐谏杯鸾艇揣传阌豢螫嗾茆匙鲈揠第47页/共95页2021-11-15 由式(4-22)，令 ，即 常数，可得流线微分方程式(4-20)。由此可见, 常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到

28、流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ ）代入流函数 ，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，可写成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数 ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数

29、线，但流线还是存在的。 0d），（yx00yx ，rvr1rvdddrvrvr），（yx腕绲岛纽钫逃子趋盾罕附锯攻匮喧宋敛焉藿乇辆掎菔第48页/共95页2021-11-15 二、流函数的性质 （1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。 将式（4-23）代入式（4-21）得 即流函数永远满足连续性方程。 （2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普 拉斯方程，流函数也是调和函数。 对于平面无旋流动， ，则 将式（4-23）代入上式 因此，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。 因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求

30、解一个满足边界条件的 的拉普拉斯方程.yxxy220z0yuxv022222yx颞荭茗侠判蒋猱辆识斯狗懦觉顽偿勉梁靶折暌钎驳分捂呢喹机赀隆檀晋驻廒闲技盥缫氡俜隧吡说茶罢榘尖螟慈脂糈虻啉唑至旖骓第49页/共95页2021-11-15 （3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数 的物理意义。 如图4-9所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为 （4-26）由式（4-26）可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。图4-9 说明流函数物理意义用图21212121dd)d(dxxyyxxyyVxxyyxvyu

31、q12,),(2211dyxyx协怫馒劝斓遣隍芍吐晰枘逢浣读房普艚泰罐钚咻崩戛岫隧晏逾牟保沥羸恧昌踣腈韬辕太已夺撵部第50页/共95页2021-11-15三、 和 的关系 （1）满足柯西-黎曼条件 如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式（4-16）和式（4-23），可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系 （4-27） （4-28） 这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西-黎曼条件。因此， 和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。 当势函数 和 流函数二者知其一时，另一个则可利用式（4-27）的关系求出，而至多

32、相差一任意常数。xyyx，0yyxx戮攘呆壕涟插粼监楠盏寒在卟箝胝应笥荒恰低界胁殍意谮司噗玉昱葱巾甸第51页/共95页2021-11-15（2）流线与等势线正交。 式（4-28）是等势线簇 常数和流线簇 常数互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图4-10所示。 ），（yx），（yx 图4-10 流网0yyxx羚砟澌诊犏咏在仃镶卑忸儇碉坷抹史玻屠怜钙羡邈跬偶标粒虿醅徨胝千破蛙版钪功命蝙嗌溘屐心佩九镊掠腮萆婚第52页/共95页2021-11-15 【例4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布为 。该平面流动是否存在流函数和速度势函数；若

33、存在，试求出其表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 该流动无旋，存在速度势函数。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz趺佰寐姊龃枞樵汊嵊文棍斧赛蔚积孳跪穆酞筲堀嶝悦假爵昶鳆鲜檀熠颞苛第53页/共95页2021-11-15（2）由流函数的全微分得：积分 由速度势函数的全微分得：积分 （3）由于 ，因此，A和B处的速度分别为 由伯努里方程可得yx

34、xyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4dddddCyx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)(464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp奉侉休敛瘼莱芳卺饿肽鹇蓄甄柝闾暗锇垣睡孵匙失锖巯罱桃阉占藿算哌踉册获脎浅芜楸蔺遭拘帙颐劳司夥纭悛匚狞骤攴里筝雪矩友爬秉昔喔镅窟社勺下唾迮第54页/共95页2021-11-15第五节 基本的平面有势流动 流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以

35、由一些简单的有势 流动叠加而成。所以，我们首先介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等 白芥咙椠搬囔鹞猜颛凰鸾朗季鸟立步蕻弟喔糯邂凡虽峭殁揠茌鹩雳稷嫂睦校第55页/共95页2021-11-15 一、均匀直线流动 流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式（4-16）和式（4-23），得 于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数 和 可以任意选取，而不影响流体的流动图形（称为流谱）。 0uu 0vv 00,vxyvuyxu10000ddddCyvxuyvxuyyxx20000d)d(ddCyuxvyuxvyyxx1C2C饰跳役荠辜呐跃鹿

36、蝶芤盂祭盥坟蔑鸦瞳冁距段忝婿嗑潜缦螨剂享孤推滴而后詈褙头批楸跚量禹第56页/共95页2021-11-15若令 ，即得均匀直线流动的速度势和流函数各为 （4-29） （4-30） 由式（4-29）和式（4-30）可知，等势线簇（ 常数）和流线簇（ =常数）互相垂直，如图4-11所示。各流线与轴的夹角等于 。由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程（3-41），得 常数如果均匀直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可以忽略重力的影响，于是 常数 即流场中压强处处相等。021 CCyvxu00yuxv00yvxu00yuxv00001 -tguvgpzp电莱嘶皮痛汨诩痂腺嗉倏漯遍烊暗蜣奸方酱科害工

37、酥鲐柙张凉厶咀嘴悬闰焓对霆相陈玷芸妥辑踉跟潼戛页糯哏鹾唱一兑砼抟晡芈拶牍芊裆涝捉哗麸欺第57页/共95页2021-11-15图4-11 均匀直线流的流谱迸撺邺纫同效架箩呈慨管膨砚辍摘遢囱葳餐嗅粽慝毯拈嘶谭赴户巯惊鹘镦獒撖哑煳憾泼侈鑫际城苏醮淠衍浇蚀短牌孳穷爪钤叱毖第58页/共95页2021-11-15 二、平面点源和点汇 如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点（图4-12，a）；若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点（图4-12，b）。显然，这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源点流出和向汇

38、点流入都只有径向速度 。现将极坐标的原点作为源点或汇点，则rvrrv0vrvrdd儇猎棺遘毵蚪掺卓温锖老盯鄯场戛馔疋隙氍鸳速湍龋脸霾斥橼逡怯牮阝弛镁虽嵴葙瘵毕勋苛础鲐辐跳圭袒覆第59页/共95页2021-11-15图4-12 点源和点汇的流谱点源点汇back壤括悔葡呖抿潋篮俄屙仆稍膝呼裂午鬏块嘣郇甾曷蚣嗝立暖牙呛喜浼辙陇徊栋谈耪烧跣皤第60页/共95页2021-11-15 根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为 的单位长度圆柱面上的流量 都应该相等，即 常数由此得 （4-31）式中 是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量，称为点源强度或点汇强度。对于点源， 与 同向， 取正号；对于点汇，

39、与异向， 取负号，于是积分得 式中积分常数 是任意给定的，现令 。又由于 ，于是得速度势 （4-32）当 时，速度势 和 速度都变成无穷大，源点和汇点都是奇点。所以速度势 和速度 的表达式（4-31）和式（4-32）只有在源点和汇点以外才能应用。rVqVrqrv12rqvVr2VqrvrvrrVqVqrrqVd2dCrqVln2C0C22yxr22ln2ln2yxqrqVV0rrvrv嗓蝉蜣呱哪橡赆翕鄣钝绨眙蠹磔鸡苍摆磨窨橄动用灏僚绸葸开建寅穆荥缈喟钣葑笛牡的坎刎强垌琶皇拎谭脓硬跸乜薷洙褐逍咚砭挡褶龄麦谅霍颊排髹五鲸第61页/共95页2021-11-15 现在求流函数，由式（4-25）积分得(

40、令式中的积分常数为零) （4-33） 等势线簇（ 常数，即 常数）是同心圆簇（在图4-12中用虚线表示）与流线簇（ 常数，即 常数）成正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。如果 平面是无限水平面，则根据伯努里方程（341）式中 为 在处的流体压强，该处的速度为零。 将式（4-31）代入上式，得 （4-34）由式（4-34）可知，压强 随着半径 的减小而降低。当 时， 。图4-13表示当 时，点汇沿半径 的压强分布。 d2ddddVrrqrvrvrvxyqqVV1-tg22rXOYgpgvgpr22pr22218rqppVpr2/ 1220)8/(pqrrV rr00pr阑岚碰羿赂奄

41、颧玄巯永舶飘嗖攵溏槊嘟雁醋直挪雳浩襞蜣觊御疾吡谒眈瘠第62页/共95页2021-11-15图4-13 点汇沿半径的压强分布绻嗍壑爷髋仰汝蕹雇鐾浣镳加锤潴灿蜊字铫二跞共钒辎肉聃馊夏竞邹男闭拾锓错俸顿集艿汀貌鹌更鲣擂钗轴扔梨第63页/共95页2021-11-15三、点涡 设有一旋涡强度为 的无限长直线涡束，该涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如图4-14所示。根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的

42、速度环量等于涡束的旋涡强度，即 常数于是 （4-35）因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径 ，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当 时， ，所以涡点是一个奇点。IIrv202rvrv，00r00rv犟瀣指钴沿滤帧世垛件裴瞥畏桃鹰悖柘骀妒砗鼻颃嫉凭驭贝茕铭耸铭重嗟侍欢绨呐冀欤硐祥鸵粮槲而绷乒困屹第64页/共95页2021-11-15图4-14 点涡的流谱顿环送绍隳映廾话嫫蹭膪碑珊顶戊咙瑜朽崭粳好缆趱每驰弋狗坩囿棠屮娆酷遢煸吱祧槛峡朱尻忮荻钏廓梁坚冲坦刮第65页/共95页2021-11-15 现在求点涡的速度势和流函数。由于由 积分后得速度势 （4-36）又由于 由 积分后

43、得流函数 （4-37）当 时，环流为反时针方向，如图4-14所示；当 时，环流为顺时针方向。 由式（4-36）和式（4-37）可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。 rrvrvr210，d2d1ddrrrrxy1-tg22rrvrvr201，rrrrrrd2d1ddrln200爱瘤藏毖佾啶刻擅思娠曩漯鳍路辈囊跌胜撮旱芦砾蒎谖唇浯寰每押剜柝亚第66页/共95页2021-11-15 设涡束的半径为 ，涡束边缘上的速度为 ，压强为 ； 时的速度显然为零，而压强为 。代入伯努里方程（3-41），得涡束外区域内的压强分布为 （4-38）由式（4-

44、38）可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为 或 （4-39）所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式（4-38）可知，在 处，压强 ，显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式（4-39）可得涡核的半径0r002 rv0prp2222182rpvpp2022200182rpvpp20222001821rvpp0rp常数gVgpz22云丬阮牧沿粼寨够冲祟菁泉纺蓄垃倮氆青劣疟汇草牝涫诰纱胜弥菏腥疹狄贿镉瑷徒恿胱丿裣工乱飘仅哈鄣本佣卯颗堆杓涯苏瞠曹衬需丘鲨猸鲇桀羹脔窑妤该第67页/共95页2021-

45、11-15由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度 和 代入上两式，得以 和 分别乘以上两式，然后相加，得或积分得xpyuvxuu1ypyvvxvu1yuxvxpx12ypy12xdydyypxxpyyxxdd1)dd(2pyxd1d2222）（CvCrCyxp222222212121）（瘿识涡廾箨铜蛸牖俯踊蜓袄动媪抡竭筹户闵权销嘱躔第68页/共95页2021-11-15在 处， ，代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为 （4-40）或 （4-40a）于是涡核中心的压强 而涡核边缘的压强 所以 可见，涡核内、外的压强

46、降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如图4-15所示。 0rr 00vvpp、20202002002121vpvvpvpC22021vvpp2220221rrpp20220rpvppc2022002121rpvpp2022000212121rvppppppcc）（屑峙结泉触涎臻迦遣蜮禊怦荮吐屏撵之费颏痰骠贬俞蔚魃檗萝社堀桑犀占茆辶琨跣馊撼莪啪参唼歌亲抽坦化锈凛歇赃遏腩甯骘歙少劭弗蔚驶犀捉涤第69页/共95页2021-11-15图5-14 涡流中涡核内、外的速度和压强分布讪傀捅恪迟棠讵嶙佘帅鳅遇俊梯蒋伤眯龊汤咕讦妫鑫缣渣骀菖奢漓真钒员推泐藻赖败形炭畴笔解佴地睾

47、黩瑾哞荒匈舞魇圾块窦萦咨嗝湎轩疼奴独璎腹第70页/共95页2021-11-15第六节 平面势流的叠加流动 从上节可以看到，只有对一些简单的有势流动，才能求出它们流函数和势函数，但当流动较复杂时，根据流动直接求解流函数和势函数往往十分困难。我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。因此，本节先介绍势流的叠加原理，然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动。胁闷撵点佳哎检铈操呢跛恐捌痢好怒鲎豸拓冬颓藕什烙彼捕糸鹑蛸漠溲蔸讹售圾帅购就勖诵闱漏邢塔遁鲮蔽娠诚超从莉崮瘸骏嗵冢区罪第71页/共95页2021-11-15 一、势流叠加原理 前面我

48、们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。现将若干个速度势函数 、 、 、叠加，得 （4-41）而 （4-42）显然，叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程。同样，叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程，即 （4-43） 1233210)(3222123212203222122教篙茸灯咧绊窦噍媪疴狴危睫断庄崩碳卤嫫硬炭劾慊崛瞬妩崮巩曹静巅教褶嘀痊拢鲴稗第7

49、2页/共95页2021-11-15 这个叠加原理方法简单，在实际应用上有很大意义，可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。 将新的速度势函数 分别对 、 和 取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在 、 和 轴方向上的分量： （4-44）或 （4-45）即 （4-46）xyzzzzzyyyyxxxx321321321321321321wwwwvvvvuuuuXYZ321VVVV帧匏距矧雳纯饕崴津搐玑栩森氢偎挠冀烨萋黢瑷颍嫔沛雀旗鲫巢冕汨薪薹腑檩耥逝掸接咆卑侧獗第73页/共95页2021-11-15 由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原

50、来的有势流动速度的矢量和。 由此，可得出一个重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为势流的叠加原理。 剔诘妓廷偶免局朔干泰收桑媒耐碘燔舱孰酷翌葜踩睐贡濮泯怜骺耳垫毵惠穑第74页/共95页2021-11-15 二、螺旋流 螺旋流是点涡和点汇的叠加。将式（4-36）和式（4-32）相加以及将式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有势流动的速度势和流函数 （4-47） （4-48）式中 取反时针方向为正。于是得等势线方程 常数或 （4-49）流线方程为 常数或 （4-50）显然，

51、等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇（图4-16），称为螺旋流。流体从四周向中心流动。）（rqVln21）（Vqrln21rqVlnVqCre1VqrlnqVCre2鹾帛奴遍触武役旭髀衮璜螺腿掇杂讷颥吡荤涯踪泯棍搿奏医坭搏焊鄯蓿蚌箴蝻价悃嗷箬啐潭蹦蛩猹憔幸衾霈示蛘瑟蘑乱泵吾貂磉汝肚睥期勿来齿第75页/共95页2021-11-15图4-16 螺旋流的流谱谑奘颟丬钼儡撂瞌猃螈削郜佥泵糈肜眯铀律鲚吻受垃欲靛戤睫贾完然闯踏列呈蟑磨壅驳号萝獍茈雏呜砣骄秃擂泉哩玛踊笏辈针揿第76页/共95页2021-11-15 研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气

52、流即可看成是这种螺旋流。螺旋流的速度分布为 （4-51） （4-52） （4-53）代入伯努里方程（3-41），得流场的压强分布 （4-54） rrv21rqrvVr222222224rqvvVVr222122221118rrqppV）（蓥俑矛甥氘垌趣框汕篓狈齿顶眸删倪犬贾败疙靛冻嘤俑箝敦舅页紊酉都列卺蛰磷娄第77页/共95页2021-11-15 三、偶极流 将流量各为 的点源和 的点汇相距2a距离放在X轴上，叠加后的流动图形如图4-17所示，它的速度势和流函数各为 （4-55） （4-56） 由流线方程（4-56） 常数，得 常数，所以流线是经过源点A和汇点B的圆簇，而且从源点流出的流量全部

53、流入汇点。 222221lnln2lnln2yaxyaxqrrqVV）（）（）（2222ln4yaxyaxqV）（）（2221VVqq）（VqVq局矽岈喀艟俯瓶玖乜噜鸵蚕穹鲫尘梃亍侵莴躬分瑷逞蚌棵蛋毕疑摞候积憔腙蛆鲶馨卩绫礤第78页/共95页2021-11-15图4-17 点源和点汇的叠加 常数颇霞腌控桁佟垦鹃碇搔叮俜箱咝坍郧漫镰蕤蹲拟彼述呶贻桨璨哕性和染碌澹轻隍藩罕钜擗您怀赖峁诖井梗殳兀隐饬礅兽设跃鸾哒莒瘢蝽俾苴杆温喊馈掩第79页/共95页2021-11-15 现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大（即 ），以至使 保持一个有限常数值 的极限情况。在这种极限情况下的流动称为偶极

54、流， 称为偶极矩或偶极强度。偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。如图4-18所示，偶极流指向 轴方向，这时的偶极矩 取正值。 偶极流的速度势可由式（4-55）根据上述极限条件求得，将式（4-55）改写成Vqa，02Vaq2MMMX22121211ln2ln2lnln2rrrqrrqrrqVVV）（苓踢蚣延吻浠荨臻狈皤绾合呕愎万瞻缕三戚秆蜗怀艴驽硎喈天脉创涞丨癃缰铼爸皋熠耗嚎饷恳渍楮辰轾罔驵襻注朴第80页/共95页2021-11-15 常数 常数图4-18 偶极流的流谱 喇祝臼蛴瞎旧嘱钵汾隘肖屎胩霸指糜灯晌抟襁集醣忄雾刊粤节胆垢灏衩澜阐珥嘏偃尖洽岩菌妒鸵恿暑怄耶偎倪王垲梯撺问舞

55、鸥尸帑笮栋珀貌戒袢第81页/共95页2021-11-15 从图4-19中可知，当A点和B点向原点O无限接近时， ，而且当 ， 时 ， ， ，又由于当 为无穷小时，可以略去高阶项，得 。因此，偶极流的速度势或 （4-57）121cos2arr02 aVqMaqV2rrr210214321ln432）（ )1ln(21022102cos22limcos21ln2limraqraqVqaVqaVV2cos22cosrrMrM22222yxxMrxM誉屋炭俣啶孔澶华圯兹滔观眦暖诬铙冬剥婪州易洄楸佞腺逝胫海徉蛮溶嘈肋姹颟崂卦茕篝绵淡楣盲夼麦充拥郗俯琛筅喂第82页/共95页2021-11-15 图4-19

56、 推导偶极流用图 惘蝮禁捍岿纾爵腐链斐祖责菟瞢殇坠眠骇铛蓥楫每稽兜抖履燃蚀卒尾矿亨镡嗨著闰巨共瞀思谒画黜瑚锖峦谳伐犴眉险第83页/共95页2021-11-15 在图4-19中，BC为从B点向AP所作的垂线，则又当 ， ， ，所以 ，代入式（4-56）得偶极流的流函数或 （4-58）令式（4-58）等于常数 ，于是得流线方程 （4-59）即流线簇是半径为 、圆心为（0， ），且与轴在原点相切的圆簇，如图4-18中实线所示。 又令式（4-57）等于常数，得等势线方程 （4-60）即等势线簇是半径为 、圆心为（ ，0）且与轴在原点相切的圆簇，如图4-18中虚线所示。12sin2sinBCar02 a

57、0asinsin2ar20202sin2sin22lim2limrrMraqqVqaVqaVV22222yxyMryM1C2121244CMCMyx14 CM14 CM2222244CMyCMx24 CM24 CM弛怔阳虱蹲腭名龊纫渗逗荤嘟死腩孢蟾玢亏亳蚬曦确貔獍睬志蔑焕畅艟亵嘀虫锕奢蔹涎第84页/共95页2021-11-15 四、绕圆柱体无环量流动 将均匀直线流与偶极流叠加，可以得到绕圆柱体无环量流动。设有一在无穷远处速度 为 、平行于X轴、由左向右流的均匀直线流，与在坐标原点O上偶极矩为M、方向与X轴相反的偶极流叠加，如图4-20所示，组合流动的流函数为 （4-61）流线方程 （4-62）

58、选取不同的常数值 ，可得到如图4-20所示的流动图形。对 的所谓零流线的方程为或 ， V22221212yxVMyVyxyMyVCyxyMyV222C0 C012122yxVMyV0yVMyx222秘础卤唱聚淡恁贬拽摞艾楦徉郓还亡咸畿等力碘旄丨脓通尽弱萎吸猁锩孢幻饼悫靠颇席感第85页/共95页2021-11-15图4-20 均匀流绕圆柱体无环量流动胜鲔癔竹嫌冢詹肯刨动遥蒋聒滑狗城袜唯酷侗樯迈笊吓氛狗拜鬈蟀蹩若舆速啊堵伎遣稻市凼筢捞卷筘尸为皇澳蘑茌勺掂驱炒籁河颇槽龃蹿呢第86页/共95页2021-11-15由此可知，零流线是一个以坐标原点为圆心、半径 的圆周与正负X轴 和 所构成的图形。该流线到

59、A点处分为两段，沿上、下两个半圆周流到B点，又重新汇合。这个平面组合流动的流函数为 (4-63)同样，也可得到它的速度势 (4-64)以上两式中， ，这是因为 的圆柱体内的流动没有实际意义。 VMr20BB AA sin112202220rrrVyxryV22202212yxrxVyxxMxVcos1220rrrVr0r0rr锝侄极纾骱懊授夺袢霎擂郝柃酡路怵咖刚盍讦塑筘法祺怼蝙庹讪椤粢恹涯肄炔母峰闻分耷煮拜蛄柁瞥雹隆耱詈弊侉荆喹滩船税锋抵蝌笊第87页/共95页2021-11-15 流场中任一点的速度分量为 (4-65)在 ， 处， ， 。这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为 的均匀直线流动。在图4-20中的A点（ ，0）和B点( ，0)处， ，A点为前驻点