高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)正式版

1、面 aA 3= C.求证：AB/ C.直线 b± 3,且 AB±a, AB±b,la, a'与b确定的平面设为T因为a' la, AB la,所以 ABJa',又 ABJb, a' n b=B,所以 AB±直线与平面、平面与平面垂直的性质（复习课）【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例1】如图，已知直线a± %证明如图，过点B作直线a'因为b3, c? 3,所以blc.因为aLz, c? %所以aJc,又a' a,所以a' !c.由可得c±T,又ABM 所以AB /C.

2、【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特 殊的几何体中（如正方体、长方体等）然后再判断它们的位置关系.【对点训练】1.如图所不平面 % 3,直线a,且a_L 3, aCl 3= AB求证：a± 3证明：1.a /a,过a作平面丫交a于a',则a/a'.a JAB,. a'必B.'-'a_L3, aCl 3= AB ,. a'邛，.'alp.题型二、求点到面的距离【例2】 已知 ABC, AC=BC = 1, AB=W，又已知 S是 ABC所在平面外一点， SA = SB=2, S

3、C=W，点P是SC的中点，求点 P到平面ABC的距离.解法一：如图所示，连接 PA, PB.易知SAC,那CB是直角三角5形，所以 SA_LAC, BC1AC./取 AB、AC 的中点 E、F,连接 PF, EF, PE,贝U EF/BC, PF/SA.所以 EF1AC, PF1AC.尸V因为PF A EF = F,所以 AC,平面PEF.又PE?平面PEF,所以PE1AC.易证ASAC0相BC.因为P是SC的中点，所以PA=PB.而E是AB的中点，所以 PE必B.因为ABAAC = A,所以PEL平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.在 RtMEP 中，AP = 2sC=中,

4、AE=；AB = ¥，所以 PE=正2AE2 =、/5二2 =喙,33即点P到平面ABC的距离为谖.法二：如图所示，过 A作AE/BC,过B作BF/AC,交AE于点D, 则四边形ACBD为正方形.连接 SD.因为 AC6A, AC1AD, SAP AD = A,所以 AC,平面 SDA.所以AC1SD.又由题意，可知 BC1SB.因为BC1BD, SBABD = B,所以BCL平面SDB,所以BC6D.又 BCAAC = C,于是 SDL平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离.在 Rt夕DA 中易得 SD= SA2-AD2 =22-12 =，3.因为P为SC的中点，故点P

5、到平面ABC的距离为 /=坐【类题通法】求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段.可通过外形进行转化，转化为易于 求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法.【对点训练】2.如图所示，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面边长为2M2,侧棱 长为4, E, F分别为棱AB, BC的中点，EFABD = G.(1)求证：平面 BiEF，平面 BDDiBi；(2)求点Di到平面BiEF的距离.解：证明：(i)连接AC；.正四棱柱ABCD AiBiCiDi的底面是正方形，ACJBD.又ACdDD1,且 BDADDi = D,故 AC，平面 BDDiBi,.E, F分别为棱AB, B

6、C的中点，故 EF AC,. EF，平面 BDDiBi ,，平面 BiEF，平面BDDiBi.(2)解题流程:题型三、折叠问题【例3】 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD, E是AB的中点，木、沿DE将 ADE折起.虫(1)如果二面角 ADE C是直二面角，求证： AB = AC;/一? (2)如果AB = AC,求证：平面 ADE，平面BCDE.证明 过点A作AM JDE于点M,则AM，平面BCDE ,. AM JBC.又 AD = AE,. M是DE的中点.取 BC中点N,连接 MN, AN,则 MN 1BC.又 AM JBC, AM A MN=M,. BC,平面AMN,.ANIBC.又

7、N是BC中点，AB=AC.(2)取BC的中点N,连接AN.AB= AC, . AN IBC.取DE的中点 M,连接 MN, AM,MIN IBC.又 ANA MN = N,. BC,平面AMN, . AM dBC.又 M 是 DE 的中点，AD=AE,AMIDE.X -DE与BC是平面BCDE内的相交直线，. AM，平面BCDE.AM?平面 ADE, 平面ADEL平面BCDE.【类题通法】解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量.般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变,跨过折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的

8、变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况.【对点训练】3.如图所示，在平行四边形 ABCD中，已知 AD = 2AB=2a, BD = <3a, ACABD=E,将 其沿对角线BD折成直二面角.CB1封求证：(1)AB，平面BCD;(2)平面ACD，平面ABD.证明：(1)在 AABD 中，AB=a, AD = 2a, BD=>/3a,. AB2+ BD2= AD2, ABD = 90°, . AB1BD.又平面ABD，平面BCD,平面 ABD n平面BCD = BD , AB?平面 ABD,. AB,平面 BCD.(2)二折叠前四边形A

9、BCD是平行四边形，且 ABJBD,. CDdBD；AB，平面 BCD, . ABJCD.又.ABnBD = B,，CD，平面ABD.又CD?平面ACD,平面ACD，平面ABD.【练习反馈】1 .如图所示，三棱锥 P-ABC的底面在平面 ”上，且ACLPC,平面PACL平面PBC,点P, A, B是定点，则动点 C运动形成的图形是()A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点解析：选D 二,平面PAC，平面PBC, ACJPC, AC?平面PAC,且平面 PAC n平面PBC =PC,. AC,平面 PBC.又BC?平面 PBC, . AC dBC, ACB=90&#

10、176;, .动点C运动形成的图形是以 AB为直径的圆，除去 A和B两点，故选D.2.在三棱锥 P ABC中，平面 PACL平面 ABC, /PCA = 90°, ABC是边长为4的正三 角形，PC=4, M是AB边上的一动点，则 PM的最小值为（）A. 2mB. 2用C. 45D, 4币解析：选B 连接CM,则由题意PC,平面ABC,可得PCJCM,所 以PM=4PC2+CM2,要求PM的最小值只需求出 CM的最小值即可， 在AABC中，当CM 1AB时CM有最小值，此时有 CM = 4x*=2V3,所以PM的最小值为2由.3 .若构成教室墙角的三个墙面记为“，3, %交线记为BA

11、, BC, BD,教室内一点P到三墙面& & 丫的距离分别为3 m, 4 m,1 m ,则P与墙角B的距离为 m.解析：过点P向各个面作垂线，构成以BP为体对角线的长方体.|BP|= "/32+42+ 1 = 26.答案：264 .如图所示，平面也平面 3, AC % BC 3, AA' LA' B' , BB' LA' B',且 AA'=3, BB' =4, A' B' =2,则三棱锥 AA' BB'的体积 V=.解析：由题意AAi,面A' BB' , B

12、B'，面A' B' A,则三棱锥AA' BB'中，AA'为高, 底面AA' BB'为 RtA.Va ABB =；AA' S 以 BB = !* 3X2 X 4= 4.332答案：45.如图，已知平面 a_L平面 ” 平面 p_L平面.ad尸a, 3rl尸b,且a / b,求证：a/ e /I AZzO#证明：在平面丫内作直线cla.a-L% aCl y= a, -'C_La.a 心，cdb.又,3。3n 尸 b,-'c_L.3,a/3学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊

13、大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，从从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以

14、能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：锲锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必

15、须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具

16、体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了 “针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文

17、中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测t:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为” 、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果

18、，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这7个方面，分别是学习模式，时间管理和本书的副标题为“增加学习技能与脑力”。正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 学习技巧规划，笔

19、记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任 何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系 统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与 伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的

20、国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和 感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全 世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她 把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短 了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受 用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为， 这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统 地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很