高中数学概率大题(经典二)

1、实用标准文档高中数学概率大题(经典二)一 .解答题(共10小题)1 .某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照 明只与灯泡的寿命有关， 该型号的灯?寿命为 1年以上的概率为pi,寿命为2年以上的概率 为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.(I )在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(n)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； (出)当P1=0.8 , P2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).2 .已知盒

2、中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出 2个正品，每次取出1 个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设E为取出的次数，求E的分布列及EE .3 .某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和 张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系 k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(I )求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II )求使P (X=n)取得最大彳1的整数 m.4 .

3、在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔， 让蝇子一只一只地往外飞， 直到两只苍蝇都飞出， 再关闭小孔.以E表示笼内还剩下的果蝇 的只数.(I )写出E的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望EE ;(n )求概率 P (E > E E ).5 . A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部 分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时) ：A 班6 6.5 7 7.5 8B 班6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6

4、7.5 9 10.5 12 13.5(I)试估计C班的学生人数；(n)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(出)再从A, B, C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7, 9, 8.25 (单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为科1,表格中数据的平均数记为科0,试判断科。和科1的大小.(结论不要求证明)6 .某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的分布列为E12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，

5、采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为 300元，刀表示经销一件该商品的利润.(I)求事件A: “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A);(n)求刀的分布列及期望 E刀.7 .甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活 动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 三，乙每轮猜对的概率是 二;43每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)

6、“星队”至少猜对3个成语的概率；(II ) “星队”两轮得分之和为 X的分布列和数学期望 EX8 .某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.9 .购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，

7、且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为 1 - 0.999 104.(I )求一投保人在一年度内出险的概率p；(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)10 .某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8

8、293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C: “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率.B地区11 .某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6

9、个白球的甲箱和装有 5个红土5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.12 .端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3个.(I )求三种粽子各取到 1个的概率；(n)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.13 .为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，

10、现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手 2名，乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名，从这8 名运动员中随机选择 4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”， 求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.14 .已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出 3件正品时检测结束.(I )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(n)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出 3

11、件正品时所需要的检测费用(单位：元) ，求X的分布列和均值(数学期望)15 .某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定， 小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.16 .若n是一个三位正整数，且 n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字， 则称n为“三位递增数”(如137, 359, 567等)

12、.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有 的“三位递增数”中随机抽取 1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递 增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得 0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.(I )写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(n)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望 ex17 .设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I )求同一工作日至少 3人需使用设备的概率；(n)实验室计划购买 k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设

13、备的人数大于k”的概率小于0.1 ,求k的最小值.18 . 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：(I)求频率分布直方图中a的值；(n)分别求出成绩落在50, 60)与60 , 70)中的学生人数；(出)从成绩在50 , 70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在60 , 70)中的概率.-afra3a频率0 50 60 70 80 M 10019 .某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)

14、(I)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(n)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.20 . 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(I)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(n)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望文案大全一 .解答题(共10小题)1. (2005?湖北)某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡

15、的寿命有关，该型号的灯?寿命为1年以上的概率为pi,寿命为2年以上的概率为P2 .从使用之日起每满 1年进行一次灯泡更换工作， 只更换已坏的灯泡， 平 时不换.(I )在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(II)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；(出)当P1=0.8 , P2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).【解答】解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为P1,寿命为2年以上的概率为P2.所以寿命为12年的概率应为P1 - P2.其分布列为： 寿命 01122P 1 -

16、 P1 P1- P2 P2(1) 一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为P15,需要更换2只灯泡的概率为 C2P13(1 - P1)；(II )在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-P1)2;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为P1- P2.故所求的概率为 P3= ( 1 - P1)2+P1 - P2.(III )由(II )当P1=0.8, P2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率P

17、3= (1-P1)2+P1(P1-P2)=0.54 .在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：换5只的概率为P35=0.54 5=0.046 ;换 4 只的概率为 C51P34 (1 - P3)=5 X 0.54 4 (1 0.54 ) =0.196 ,故至少换4只灯泡的概率为：P4=0.046+0.196=0.242 .即满两年至少需要换 4只灯泡的概率为0.242.2. (2004?安徽)已知盒中有 10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出 2个正 品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出 2个正品为止.设E为取出的次数，求E的分 布列及EE .【解答】 解

18、：由题意知每次取 1件产品， 至少需2次，即E最小为2,有2件次品, 当前2次取得的都是次品时，E =4,.E可以取2, 3, 4当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品, 根据相互独立事件同时发生的概率公式得到丛X工图; 10 9 45一102_¥7. 2 x8 x+8 10 93 45P ( = =4) =1 284545 1523422EE =2X P ( E =2) +3X P ( E =3) +4XP ( E =4) =. g3. (2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次

19、活动均需该系 k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 该系k位学生，且所发信息都能收到， 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生 人数为X.(I )求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II )求使P (X=m)取得最大彳1的整数 m.【解答】解：(I)因为事件A: “学生甲收到李老师所发信息”与事件 B: “学生甲收到张老 - 1I I!L M _ 1 lr师所发信息”是相互独立事件，所以 X与B相互独立，由于 P (A) =P (B) =一工，故P Ck n(月)=p ( B) =1 -因此学生甲收到活动

20、信息的概率是1-(12)2A 2 k(II )当 k=n 时，m只能取 n,此时有 P (X=m) =P (X=n) =1当kv n时，整数m满足k<t,其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为(匚R) 2,当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k- m,仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m- k,由乘法原理知：事件X=m所包含的基本事件数为n K n k n H n k当 kw m< t 时，P (X=M v P (X=M+D ?假如kW2k-vt成立，则当(n+2k< 2k - L 

21、9; v 2k+1 -(k+1、& v tn+2n+2(m- k+1) 2< (n-nj) (2k-m) ? m< 2k )n+2k+1) 2能被n+2整除时，2- J1，故 P(X=hM m=2k-(k-1)'和 m=2k+1-5±l,L_n+2n+2处达到最大值;2当(k+1) 2不能被n+2整除时，P (X=M在m=2k-但LL处达到最大值(注：x表示 n+2不超过x的最大整数)，I2下面证明 kw 2k -(k+1 )<tn+2因为 1所以 2k-k=k>-而入(k+1 产 n_ (n- k+1 )2 将 (k+1) 2 7n 9k (

22、k+1)2 叩 2k n= -< 0, 敢 2k -< n, 显然 2k -< 2kn+2n+2n+2n+2，2因此 k< 2k- &+1v tn+2综上得，符合条件的 m=2k-=口十24. (2007?安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以E表示笼内还剩下的果蝇的只数.(I )写出E的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望EE ;(n )求概率 P ( > EO .【解答

23、】解：(I)由题意知以E表示笼内还剩下的果蝇的只数，E的可能取值是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 得到E的分布列为：E 0123456pjLJjLjLJLJLX2S五2828282828I 95+4+3+2+1 42828，数学期望为 EE= (1X6+2X5+3X4) =2.(II )所求的概率为P ( E > EE ) =P ( E >2)5. （2016?北京）A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时） ：A 班6 6.5 7 7.5 8B 班67 8910 11 12C 班3 4

24、.5 6 7.59 10.5 12 13.5（I）试估计C班的学生人数；（n）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概 率;（出）再从A, B, C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7, 9, 8.25 （单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为科1,表格中数据的平均数记为科°,试判断科0和科1的大小.（结论不要求证明）【解答】 解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K=-='-100 5故C班

25、有学生8 + J-=40人，5（n）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人, 共有5X 8=40种情况，当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为而且这些情况是等可能发生的，2种情况；3种情况;3种情况；3种情况;4种情况；6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P且空姆亘斗4086. （2016?东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的

26、分布列为E12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为 300元，刀表示经销一件该商品的利润.（I）求事件A: “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A）;（n ）求刀的分布列及期望 E刀.【解答】 解：（I）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设£表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知可表示事件“购买该商品的 3位顾客中无人采用1期付款”= - a 4尸二Q

27、”6，.PU）=l-Fffi=L-0.2W=OfT200 元，250 元，300 元.(n)根据顾客采用的付款期数E的分布列对应于Y的可能取值为 得到变量对应的事件的概率P (Y =200) =P ( E =1) =0.4 ,P (r =250) =P ( E =2) +P ( E =3) =0.2+0.2=0.4 ,P (r =300) =1 - P " =200) - P " =250) =1 0.4 0.4=0.2 .Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2Er =200X 0.4+250 X 0.4+300 X 0.2=240 (元).7. (2016?

28、山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则 “星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分.已知甲每轮猜对的概率是 二，乙每轮猜对4的概率是1_；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1) “星队”至少猜对3个成语的概率；(II ) “星队”两轮得分之和为 X的分布列和数学期望 EX【解答】解：(I) “星队”至少猜对 3个成语包含“甲猜对 1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率F 告

29、a-力争，+号壹"一夕+亭"电”(II ) “星队”两轮得分之和为 X可能为：0, 1, 2, 3, 4, 6, 22则P (X=。)=啜)?-台福,P (X=1) =9 P(X=6)=上*守(1勺).(1()-1)2字(14)尸瑞P (X=2)=_一 +P (X=3)P (X=4)=2/9«->03)需， .=2*”故X的分布列如下图所示：X01346P110-25.126036144144|144144144144数学期望EX=0X 1 +1X1。+2>< 25 +3X 12+4X 6。+6x|j_=t144 144一 144144 |乜14

30、14414468. (2016?天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1, 2,3的人数分别为3, 3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4"，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.【解答】 解：(1)从10人中选出2人的选法共有口 =45种，事件A:参加次数的和为 4,情况有：1人参加1次，另1人参加3次，2人都参加2 次；，事件A发生概率：P二C3C4+C3210(n) X的可能取值为0, 1,2.(X=0)二

31、C2 10(X=1)(X=2)X的分布列为:X04157152EX=0X1515(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【解答】解：由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为E ,由题意知EB (104, p).(I)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则飞发生当且仅当E =0,F(A)=1 - p (= =0) =1 - ( 1 - p) (2015?新课标II )某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了 20

32、个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C: “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以